《射雕英雄傳》中的數(shù)學問題

文若璇 吳駿 茶紹好

《射雕英雄傳》是武俠宗師金庸的奠基之作。小說以寧宗慶元五年至成吉思汗逝世這段歷史為背景，反映了南宋抵抗金國與蒙古兩大強敵的斗爭。故事講述了傻小子郭靖背負著家恨國仇闖入江湖，在聰明伶俐的黃蓉幫助下，一路上通過了無數(shù)的艱難歷程，最終成為“心系天下，為國為民”的一代大俠。這部武俠小說呈現(xiàn)了排列組合、幻方、開方術、四元術、中國剩余定理、乘法口訣等數(shù)學問題，通過對這些數(shù)學問題的分析，可以進一步加強對文學作品的理解。

一、排列組合

《射雕英雄傳》第十二回中，黃蓉設計了一道叫“玉笛誰家聽落梅”的菜肴。黃蓉在酒杯里斟了酒，放在洪七公前面，笑道：“七公，您嘗嘗我的手藝兒怎樣？”洪七公哪里還等她說第二句，也不飲酒，抓起筷子便夾了兩條牛肉條，送入口中，只覺滿嘴鮮美，絕非尋常牛肉，每咀嚼一下，便有一次不同滋味，或膏腴嫩滑，或甘脆爽口，諸味紛呈，變幻多端，直如武學高手招式之層出不窮，人所莫測。洪七公驚喜交集，細看之下，原來每條牛肉都是由四條小肉條拼成。洪七公猜出有5種肉品，但是未猜出有幾種變化。黃蓉微笑道：“倘若次序的變化不計，那么只有二十五變，合五五梅花之數(shù)，又因肉條形如笛子，因此這道菜有個名目，叫作‘玉笛誰家聽落梅。這‘誰家兩字，也有考人一考的意思。”

“五五梅花數(shù)”涉及數(shù)學中的排列組合問題。這里的次序變化不計，只需考慮組合。如果每次咀嚼1種肉，就吃不出變化的味道，至少要咀嚼2種肉才行，而且每根牛肉都是由4條小肉條拼成。那么，可以吃到的不同味道種數(shù)為：

C+C+C=25。

在小說中，黃蓉為了讓郭靖得到洪七公的武功真?zhèn)?，通過一道美食的吃法，變化多種做法，把一道菜做出25種不同的味道，蘊含著基本的排列組合問題。

二、幻方

在《射雕英雄傳》中第二十九回說到黃蓉和郭靖為了躲避鐵掌幫來到黑泥潭之地，在那里他們遇見了神算子瑛姑。瑛姑給黃蓉出了一道數(shù)學題：“將一至九這九個數(shù)字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”

好一個黃蓉，不假思索，當下低聲誦道：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”邊說邊畫，在沙上畫了個九宮之圖。（如圖1所示）

瑛姑以為九宮圖是自己的獨創(chuàng)秘法，原來早有歌訣傳世。其實上圖所列“九宮圖”，來源于“洛書”。（如圖2所示）第一個系統(tǒng)研究幻方的人是我國南宋杰出的數(shù)學家楊輝，他總結的解答方法是：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。也就是說，先把1～9九個數(shù)依次斜排，再把上1下9兩數(shù)對調，左7右3兩數(shù)對調，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣就得到一個三階幻方。楊輝研究出三階幻方后，又系統(tǒng)地研究了四階幻方至十階幻方。

在《射雕英雄傳》中黃蓉笑道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不為奇。就說四四圖罷，十六字依次四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，后以內四角對換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四?！辩靡婪ǘ嬛?，絲毫沒有差錯。

黃蓉通過自己的聰穎智慧破解了黑泥潭的九宮圖迷宮。小說中描述的四宮格、五宮格以至百子圖等，說明古人已經(jīng)掌握了高階幻方的構成規(guī)律。

三、開方術

在《射雕英雄傳》第二十九回，黃蓉和郭靖在瑛姑的黑泥潭之地，見地下都是長約四寸、闊約二分的竹片，這正是計數(shù)時用的算籌。再看那些算子排成商、實、法、借算四行，暗點算子數(shù)目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根，這時“商”位已計算到二百三十，但見到那老婦撥弄算子，正待算那第三位數(shù)字。黃蓉脫口道：“五！二百三十五！”

這個題正是《九章算術》少廣章中的第十二題：

今有積五萬五千二百二十五，問為方幾何？答曰：二百三十五步。

譯文：假設有面積55225平方步。問：變成正方形，邊長是多少？答：235步。

《九章算術》記載了歷史上最早使用的開方術，其算法就是把算籌排成“商、實、法、借算”四行進行運算：“商”位置求得平方根數(shù);“實”位置是被開方數(shù);“法”位置為當前所算出的開方數(shù);“借算”位算籌的作用是相當于被開方數(shù)的分位點，每隔兩位記一分位點。其計算法則與現(xiàn)在筆算方法是一致的。

“算籌”是我國古代人們計算的工具，用竹或木、骨制成的條狀物。算籌加之十進制計數(shù)法，是為我國傳統(tǒng)數(shù)學長于計算的重要原因?！独献印氛f“善數(shù)不用籌策”，說明最遲在春秋時期人們已經(jīng)普遍使用算籌了。

四、四元術

第二十九回中瑛姑對黃蓉的數(shù)學才能又驚又疑，帶著黃蓉進入內室。只見墻壁圍成圓形，地下鋪滿細沙，沙上畫著許多橫直符號和圓圈，又寫著些“太”“天元”“地元”“人元”“物元”等字。金庸筆下的黃蓉見地下的這些符號時，就知是術數(shù)中的難題，那是算經(jīng)中的“天元之術”。黃蓉從腰間抽出竹棒，倚在郭靖身上，隨想隨在沙上書寫，片刻之間，將沙上所列的七八題盡數(shù)解開。

黃蓉微微一笑，道：“天元四元之術，何足道哉？算經(jīng)中共有一十九元，‘人之上是仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天，‘人之下是地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。算到第十九元，方才有點不易罷啦！”

其中，“元”表示未知數(shù)，古今意義相同?！疤?、地、人、物”四元依次代表現(xiàn)當代數(shù)學中“X、Y、Z、W”四個未知數(shù)，在我國古代算經(jīng)中已經(jīng)早有記載。古代的橫直符號代表數(shù)字，數(shù)上加一斜橫表示負號，圓圈代表零?！疤煸g”是宋元時期發(fā)展起來的設未知數(shù)列方程的方法，特指解只包含一個未知數(shù)（天元）的方程，解由“天、地、人、物”四個未知數(shù)構成的四元高次方程組稱為“四元術”。對于解四元高次方程組，常規(guī)的思路就是逐步消元，得到一元高次方程，解出此方程，代回原方程組解出各元。

至于黃蓉所說的“十九元”其實并非代表不同的十九個未知數(shù)，而是代表同一未知數(shù)的不同次冪，人為常數(shù)項，人之上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪（最高為九次），即X、X、X、X、X、X、X、X、X。人之下九字表示未知數(shù)的各負數(shù)次冪（最低為九次），X、X、X、X、X、X、X、X、X。由這“十九元”構成的方程實質就是一元高次方程。

五、中國剩余定理

第二十九回中，黃蓉也用竹棒在地下細沙上寫了三道算題。其中第三題是“物不知其數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這對于神算子瑛姑來說，也是夠為難的了。這個問題也稱為“中國剩余定理”“鬼谷算法”“韓信點兵”，宋代學者秦九韶對這類題目有很深的研究。

《孫子算經(jīng)》給出了這類問題的解法：

先從5和7、3和7、3和5的公倍數(shù)中相應地找出分別被3、5、7除均余1的最小數(shù)70、21、15，即：70÷3=23……1，

21÷5=4……1，15÷7=2……1。之后，用找到的這三個最小數(shù)分別乘以被3、5、7除所剩之數(shù)，把它們相加起來，即70×2+21×3+15×2=233，再用相加得到的數(shù)233減去3、5、7數(shù)的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，即為所求之數(shù)：X=233-105n，當n等于2時，得此題的最小整數(shù)解為23。此題的通解可以寫為：X=23+105n（n∈N）。

明朝數(shù)學家程大位在《算法統(tǒng)宗》中將這種解法編成一首通俗的歌謠：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知?！边@個歌訣給出了模數(shù)為3、5、7時的同余方程解法，意思是將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后減去105（或者105的倍數(shù)），即得到所求之數(shù)。

下面用集合的方法來解答“物不知數(shù)”問題，并驗證前述解答23的正確性。

除以3余2的數(shù)，是3的倍數(shù)加上2的數(shù)的集合：

A=﹛5，8，11，14，17，20，23，26，…﹜

除以5余3的數(shù)，是5的倍數(shù)加上3的數(shù)的集合：

B=﹛8，13，18，23，28，33，38…﹜

除以7余2的數(shù)，是7的倍數(shù)加上2的數(shù)的集合：

C=﹛9，16，23，30，37，44，……﹜

而全部符合上面三個條件的最小數(shù)是23。

六、乘法口訣

第三十回中，郭靖、黃蓉順著山路走來到一條寬約尺許的石梁處，石梁的盡頭是一個極長的缺口，缺口處被一個書生占據(jù)了要沖，無法通過。那書生搖頭晃腦，正自誦讀《論語》，郭靖求見其尊師，但他卻似乎全然沒有聽見。黃蓉出言相激：“孔子弟子七十二人中，有老有少，可知其中冠者幾人，少年幾人？”書生稱《論語》中未曾說起，其他經(jīng)傳中亦無記載。黃蓉引據(jù)《論語》“冠者五六人，童子六七人”，由此，五六得三十，成年的是三十人，六七四十二，少年是四十二人。兩者相加，不多不少正是“七十二弟子”。那書生折服于黃蓉的聰明才智，佩服她的滿腹詩書，于是，帶著郭靖和黃蓉去見其師傅。

“九九”的起源很早，韓嬰（漢代燕人）《韓詩外傳》記載這樣一個故事：

齊桓公庭燎以待士，期年而士不至。于是東野有以九九見者，桓公戲之曰：九九足以見乎？鄙人曰：九九薄能耳，而君猶禮之，況賢于九九者乎？桓公曰：善。乃因禮之。期月，四方之士相導而至矣。

這說明在公元前7世紀，懂得乘法口訣已不是什么稀罕的事情了。九九歌訣的一些句子，在諸子百家的文獻中也多次出現(xiàn)。依黃蓉的聰慧，背誦乘法口訣是輕而易舉的。

《射雕英雄傳》中呈現(xiàn)的數(shù)學問題，表明了作者具有深厚的數(shù)學功底。通過對這些數(shù)學問題的解決，刻畫了聰明機靈、才智過人的黃蓉形象。讀者在自己感興趣的文學作品里遇見數(shù)學，感受到文學與數(shù)學的美妙融合。