基于馳振的壓電能量采集器建模與實(shí)驗(yàn)研究*

趙道利， 胡新宇， 孫維鵬， 郭鵬程

(西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安，710048)

引 言

壓電能量采集器能把環(huán)境中的潛在能量(風(fēng)能、振動能等)轉(zhuǎn)化為電能，適合為低能耗、工作環(huán)境惡劣的無線傳輸設(shè)備、微機(jī)電系統(tǒng)等供能。壓電能量采集器打破了傳統(tǒng)供能設(shè)備(化學(xué)電池)在壽命、使用范圍等方面的限制，在許多科技領(lǐng)域存在廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。根據(jù)能量轉(zhuǎn)換原理的不同，流致振動壓電能量采集器主要分為兩種:①基于渦激振動的壓電能量采集器較早得到研究，渦激振動的自限制特點(diǎn)有礙于更高能量的轉(zhuǎn)換；②基于馳振的壓電能量采集器具有較大的振幅，更有利于能量的有效開發(fā)[3]。

從Barrero等[4]提出關(guān)于馳振的能量采集概念開始，基于馳振壓電能量采集器的相關(guān)研究已取得諸多成果。在理論方面：Abdelkefi等[5-6]提出一種基于歐拉-伯努利梁理論的非線性機(jī)電耦合分布參數(shù)模型，并通過數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比驗(yàn)證，還通過該模型對不同形狀截面質(zhì)量塊的能量采集器進(jìn)行了模態(tài)分析，研究了質(zhì)量塊截面形狀、風(fēng)速以及外載荷對能量采集器性能的影響；Bibo等[7]建立了能量采集器的能量輸出和流速之間的普適性關(guān)系，這種關(guān)系有助于采集器性能的優(yōu)化分析；Yan等[8]利用非線性機(jī)電耦合分布參數(shù)模型研究了從混合振動(馳振和基礎(chǔ)激勵)中獲取能量的概念，并探討了風(fēng)速和基底加速度對能量采集器的影響；Tan等[9]針對懸臂式壓電能量采集器的分布參數(shù)模型提出一種機(jī)電解耦方法，便于確定各電元器件的最優(yōu)值，從而實(shí)現(xiàn)最大收獲功率；唐浩俊等[10]基于馳振Den Hartog判據(jù)發(fā)展了馳振的能量分析方法，突破Den Hartog判據(jù)的局限性。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面：文獻(xiàn)[11-12]提出一種單自由度壓電能量采集器，該能量采集器在5.2 m/s的風(fēng)速下可以采集到大于50 mW的電能，足以為一些無線傳感設(shè)備供電，還采用線性和非線性的理論研究了特定形狀截面下的能量采集效果；Wang等[13]提出一種雙鉸鏈壓電片能量采集器模型并通過多種方法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該模型的振動頻率可調(diào)以方便適應(yīng)周圍環(huán)境，而且其性能還可通過調(diào)節(jié)電路阻抗進(jìn)行優(yōu)化；Kwon[14]設(shè)計(jì)出能有效降低起振風(fēng)速的“T”型懸臂梁式振動能量采集器；Liu等[15]研究了一種帶三刃“Y”型鈍體的懸臂梁式能量采集器，其能量輸出高于帶方柱的能量采集器，該結(jié)構(gòu)在低風(fēng)速下能有效激發(fā)馳振作用。除此之外：Zhao等[16]研究了3種不同形式的外接電路對基于馳振的壓電能量采集器性能的影響；Shen等[17]提出一種新型自供能振動阻尼技術(shù)，其具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，可以為其他電路供電，可實(shí)現(xiàn)完全自供能；張軍等[18]進(jìn)行了三棱柱的流致振動實(shí)驗(yàn)，并對其能量轉(zhuǎn)化效率做出評估。

通過對各種文獻(xiàn)的總結(jié)發(fā)現(xiàn)，基于馳振的壓電能量采集器分布參數(shù)模型具有一定的局限性，不能實(shí)現(xiàn)對能量采集系統(tǒng)振動情況的分析。針對此缺陷，筆者對懸臂式壓電能量采集器的分布參數(shù)模型做出進(jìn)一步的研究，得到質(zhì)量塊起振風(fēng)速以及能量采集器從起振到馳振過程中所采集到功率的解析解，并分別對正三棱柱和正四棱柱壓電能量采集器進(jìn)行風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，將模型計(jì)算所得理論解和實(shí)驗(yàn)值比對驗(yàn)證了所得模型的合理性。此外，還通過變模型參數(shù)研究了不同截面形狀質(zhì)量塊、質(zhì)量塊質(zhì)量、風(fēng)速和外載阻值對能量采集系統(tǒng)的影響。

1 理論建模

筆者所研究的懸臂式壓電能量采集裝置由懸臂梁、壓電纖維片(macro fiber composite，簡稱MFC)和質(zhì)量塊組成，MFC貼在懸臂梁左側(cè)表面，懸臂梁上端與連接桿連接，下端連接質(zhì)量塊。圖1為懸臂式壓電能量采集裝置示意圖，懸臂梁的厚度方向?yàn)閤向，寬度方向?yàn)閥向，長度方向?yàn)閦向。作為能量采集器的換能部件，質(zhì)量塊在激勵下不產(chǎn)生形變，所以在模型分析中對質(zhì)量塊作理想剛性體處理。在某一時(shí)刻t時(shí)，速度為v的流體從y方向流經(jīng)質(zhì)量塊，質(zhì)量塊因流體繞流作用在x方向上發(fā)生雙向擺動，懸臂梁和MFC在質(zhì)量塊的帶動下產(chǎn)生周期性形變，MFC因形變而產(chǎn)生電能，其中質(zhì)量塊的模態(tài)位移坐標(biāo)為q(t)，MFC產(chǎn)生的電壓值為U(t)。

圖1 懸臂式壓電能量采集裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of cantilever piezoelectric energy harvester

根據(jù)Abdelkefi等[6]提出的壓電能量采集器分布參數(shù)模型，將其降階可以得到簡化后的機(jī)電控制方程為

其中：ξ為機(jī)械阻尼系數(shù)；ω為能量采集系統(tǒng)的1階固有頻率；θp=(φ′(L2)-φ′(L1))?，為壓電耦合項(xiàng)，其中φ(x)為懸臂梁的1階模態(tài)振型，L1為懸臂梁上端到MFC起始端的距離，L2為懸臂梁上端到MFC末端的距離，?為壓電耦合系數(shù)；f(t)為1階氣動力；Cp為MFC的電容項(xiàng)；R為能量采集系統(tǒng)的外載阻值。

根據(jù)Abdelkefi等[6]提出的氣動馳振模型可得到馳振作用下的1階氣動力f(t)為

(3)

其中：a1,a3為氣動力經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定；ρa(bǔ)ir為空氣密度；btip為質(zhì)量塊寬度，即迎風(fēng)面寬度；k1,k3為氣動力系數(shù)。

k1,k3的具體表達(dá)式為

(4)

其中：L為懸臂梁長度；Ltip為質(zhì)量塊長度。

(5)

在能量采集過程中，質(zhì)量塊的振動頻率和能量采集器的輸出電壓頻率相同，所以對q(t)和U(t)作如下假設(shè)

(6)

其中：q0和U0分別為模態(tài)坐標(biāo)位移的振幅值和輸出電壓幅值；Ω為頻率；α為相位差。

將式(6)分別帶入式(2)中，且必須滿足在任何時(shí)間下的有效性，可得

消掉式(7,8)中的α，得到U0和q0的關(guān)系為

(9)

將式(7,8)代入式(6)，消去三角函數(shù)可以得到

(10)

將式(10)代入控制方程(1)中可以得到解耦后的控制方程

(11)

其中頻率滿足下面式子

(12)

(13)

由式(9)和式(13)可得

(14)

由式(14)可知，當(dāng)A-2ξω-C<0時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，質(zhì)量塊不產(chǎn)生位移。令A(yù)-2ξω-C=0，可以得到系統(tǒng)的起振風(fēng)速為

v0=2(2ξω+C)/a1ρa(bǔ)irbtipk1

(15)

當(dāng)vv0時(shí)，質(zhì)量塊振動，壓電能量采集器的采集功率P分別為

(16)

2 實(shí)驗(yàn)風(fēng)洞及測試系統(tǒng)

為了驗(yàn)證上述模型的準(zhǔn)確性，利用如圖2所示的懸臂梁式壓電能量采集器進(jìn)行風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)。MFC用環(huán)氧樹脂膠黏劑黏貼在懸臂梁表面，懸臂梁下端安裝質(zhì)量塊。本次實(shí)驗(yàn)所用質(zhì)量塊分別是截面形狀為正三角形的三棱柱和正方形的四棱柱，質(zhì)量塊的側(cè)面作為迎風(fēng)面，實(shí)驗(yàn)時(shí)迎風(fēng)面垂直于來流方面，如圖3所示。為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的有效對比分析，質(zhì)量塊的重量、高度和迎風(fēng)面寬度相同，懸臂梁、MFC以及質(zhì)量塊的具體幾何尺寸和物理參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁、MFC和質(zhì)量塊的幾何尺寸和物理參數(shù)

圖2 懸臂梁式壓電能量采集器Fig.2 Cantilever piezoelectric energy harvester

圖3 質(zhì)量塊截面形狀示意圖Fig.3 Schematic diagram of cross-section shape of bluff body

實(shí)驗(yàn)是在直流式閉口低速風(fēng)洞中進(jìn)行的，該風(fēng)洞由5個(gè)主要部件構(gòu)成，分別為穩(wěn)定段、收縮段、實(shí)驗(yàn)段、擴(kuò)散段和風(fēng)機(jī)，如圖4所示。穩(wěn)定段安裝有阻尼網(wǎng)和蜂窩器，流體流經(jīng)穩(wěn)定段能有效降低測試流體的湍流度。收縮段用于增加測試流體的速度，擴(kuò)散段再降低其出口速度。實(shí)驗(yàn)段位于風(fēng)洞中間位置，有效實(shí)驗(yàn)空間的長度為1.8 m，寬度為0.85 m。實(shí)驗(yàn)段前端頂部安裝有分體式風(fēng)速儀，用來測量流體速度。當(dāng)風(fēng)機(jī)達(dá)到最大轉(zhuǎn)速時(shí)，風(fēng)洞內(nèi)的測試流體速度能達(dá)到25 m/s。

圖4 直流式閉口低速風(fēng)洞示意圖Fig.4 Schematic diagram of closed direct-flow low-speed wind tunnel

實(shí)驗(yàn)在接近常溫常壓的條件下進(jìn)行，測試風(fēng)速從0開始到20 m/s結(jié)束，氣體流動區(qū)域的雷諾數(shù)處于0～6.73×104之間，測試風(fēng)速間隔為1 m/s，單個(gè)風(fēng)速下測試時(shí)間不少于5 min。實(shí)驗(yàn)測試區(qū)域的阻塞比為1.36%，相對來說非常小，而且風(fēng)洞內(nèi)壁相對光滑，邊界層厚度可以忽略，可視為滑移邊界，不會對實(shí)驗(yàn)測試造成嚴(yán)重影響。當(dāng)氣體經(jīng)過穩(wěn)定段時(shí)，實(shí)驗(yàn)段入口流速和湍流強(qiáng)度均可實(shí)現(xiàn)垂直(與風(fēng)洞縱截面)分布。

3 結(jié)果和分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模型驗(yàn)證

通過風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，正三棱柱和正四棱柱質(zhì)量塊的起振風(fēng)速v0均約為2 m/s。當(dāng)風(fēng)速比較小時(shí)，質(zhì)量塊所受氣動升力較小不足以克服系統(tǒng)阻尼力，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)風(fēng)速超過2 m/s時(shí)，氣動力得到提升致使質(zhì)量塊起振，風(fēng)速再逐漸增加，正三棱柱和正四棱柱能量采集器的振動幅度均有明顯的增加，說明了所測試能量采集器的馳振特征。兩種質(zhì)量塊的流致振動頻率基本穩(wěn)定，更有利于為外部設(shè)備供能。通過計(jì)算可以得到理論模型中的相關(guān)參數(shù)，其中正三棱柱能量采集器的氣動力經(jīng)驗(yàn)系數(shù)a1和a3分別為2.846 3和-46 000；正四棱柱能量采集器的氣動力經(jīng)驗(yàn)系數(shù)a1和a3分別為3.098 5和-31 000。

圖5是流速分別為4，9和17 m/s時(shí)，由式(1)和式(2)解得的電壓數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)所得電壓時(shí)程曲線之間的對比。從圖中的實(shí)驗(yàn)值可以看出：相同流速下，正四棱柱能量采集器的輸出電壓幅值比較大；隨著風(fēng)速的增加，實(shí)驗(yàn)所得輸出電壓逐步增大，但是較小風(fēng)速下所得實(shí)驗(yàn)電壓時(shí)程曲線不同時(shí)刻幅值的差距較小，波形更穩(wěn)定一些。通過對模型解和實(shí)驗(yàn)值的對比分析發(fā)現(xiàn)，模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

圖5 理論解和實(shí)驗(yàn)所得電壓時(shí)程曲線對比Fig.5 Comparison of time history of voltage between theoretical solution and experimental values

圖6為不同質(zhì)量塊能量采集器采集功率的實(shí)驗(yàn)值和式(16)得到的解析解對比。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：采集功率均隨風(fēng)速的增加而增大，而且其增加幅度也有所提高；從采集到的能量大小來看，正四棱柱能量采集器的采集效果要優(yōu)于正三棱柱能量采集器，且在風(fēng)速增加的過程中，不同質(zhì)量塊能量采集器采集電壓之間的差距拉大，風(fēng)速達(dá)到20 m/s時(shí)，前、后者的采集功率分別達(dá)到0.248 5 和0.125 9 mW。從式(16)可以看出，采集功率和氣動力經(jīng)驗(yàn)系數(shù)a3成反比，但是和氣動力經(jīng)驗(yàn)系數(shù)a1成正比，所以a1/a3值越大，能量采集器的采集功率越大。從理論計(jì)算得出，正四棱柱能量采集器的a1/a3絕對值較大，所以正四棱柱能量采集器的采集效果較好。通過實(shí)驗(yàn)值和數(shù)值解的對比，實(shí)驗(yàn)值和解析解之間的吻合度較高，所建理論模型具有較高的精度，能有效分析懸臂梁式壓電能量采集器的振動和能量輸出情況，滿足類似能量采集系統(tǒng)的性能預(yù)估。

圖6 采集功率實(shí)驗(yàn)值和解析解對比Fig.6 Comparison of harvested power between experimental values and analytic solution

為了對壓電能量采集器進(jìn)行更深入的研究，選取幾種結(jié)構(gòu)類似的能量采集器作性能對比，并分析它們之間的優(yōu)缺點(diǎn)。Akaydin等[19]對繞流體為圓柱的能量采集器進(jìn)行研究，該采集器在0～12m/s風(fēng)速范圍內(nèi)的最大采集功率密度為18.1μW/cm3，而筆者所研究的采集器在相同風(fēng)速范圍內(nèi)的最大功率密度達(dá)到39.4μW/cm3，說明馳振作用更有利于能量采集。Zhou等[20]研究了鈍體的顫振和磁效應(yīng)雙重作用下的能量采集器，但是其最大采集功率密度只達(dá)到3 μW/cm3，而筆者所研究的采集器在相同風(fēng)速下的功率密度能達(dá)到15.8μW/cm3，前者所設(shè)計(jì)的采集器未能真正激發(fā)流致振動作用，致使采集能量較低。但是相比于Kwon[14]提出的“T”型能量采集器以及Liu等[15]提出的“Y”型質(zhì)量塊能量采集器，本研究中能量采集器的采集性能還有一定差距，其主要原因有：質(zhì)量塊的馳振效果不及“T”型和“Y”型；懸臂梁尺寸并不能最大程度帶動壓電片進(jìn)行形變，所以對于所研究的能量采集器還需進(jìn)行結(jié)構(gòu)尺寸和質(zhì)量塊的進(jìn)一步優(yōu)化。

3.2 系統(tǒng)性能預(yù)估

圖7為v=20 m/s時(shí)不同質(zhì)量正三棱柱和正四棱柱能量采集器的采集功率隨外載電阻值的變化。如圖所示，在同等條件下，正四棱柱能量采集器的采集性能比正三棱柱能量采集器的更優(yōu)。質(zhì)量塊質(zhì)量和外載電阻的選取對能量采集器的性能有較大的影響，對于不同條件下的能量采集器均存在最優(yōu)外載阻值，并非電阻值越大或越小采集器采集效果最好，但是質(zhì)量塊的質(zhì)量越小，采集器的性能越佳。對于外載電阻比較大(R>2×106Ω)的系統(tǒng)，質(zhì)量塊質(zhì)量的改變對系統(tǒng)采集性能幾乎沒有影響；但是對于外載電阻比較小(R<2×106Ω)的系統(tǒng)，質(zhì)量塊質(zhì)量越大，采集器的采集效果就會變?nèi)?。所以對于質(zhì)量塊質(zhì)量易受外部環(huán)境影響的采集器，在達(dá)標(biāo)的條件下使用較大阻值的外載電阻能使系統(tǒng)更穩(wěn)定。

圖7 v=20 m/s時(shí)不同質(zhì)量塊能量采集器采集功率隨外載阻值的變化Fig.7 Harvested power of the energy harvester varied with load resistances for different tips mass at v=20 m/s

圖8為不同風(fēng)速下正三棱柱和正四棱柱能量采集器的采集功率隨外載電阻值的變化。從圖中可以看出，在同等條件下，正四棱柱能量采集器的采集效果優(yōu)于正三棱柱能量采集器。風(fēng)速增加時(shí)，采集功率逐漸增大，兩種能量采集器的最優(yōu)外載阻值均會略微減小。當(dāng)達(dá)到最大風(fēng)速時(shí)，正四棱柱和正三棱柱能量采集器的采集功率分別可以達(dá)到0.308 3 和0.176 9 mW。當(dāng)采集器的外載阻值越靠近最優(yōu)阻值(2×104～2×107Ω區(qū)間)時(shí)，風(fēng)速的變化對采集器能量輸出的穩(wěn)定性產(chǎn)生較大影響，但風(fēng)速越大采集到的功率反而越大。因此對于風(fēng)場不穩(wěn)定的情況，外載阻值應(yīng)選取比最優(yōu)阻值更大或更小的，必要時(shí)還需得到外部電路的修正。對于較小的流速(從開始起振到3.7 m/s的風(fēng)速范圍內(nèi))，不同質(zhì)量塊能量采集器均出現(xiàn)雙最優(yōu)阻值，如圖8中的小圖所示。

4 結(jié)束語

筆者在懸臂式壓電能量采集器分布參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，對馳振作用下能量采集器的振動和能量采集情況進(jìn)一步分析，得到質(zhì)量塊起振風(fēng)速以及從起振到馳振過程中所采集到的功率解析解。建立懸臂式壓電能采集器實(shí)物模型，并通過風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)對其進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)正三棱柱和正四棱柱能量采集器的起振風(fēng)速基本相同，但正四棱柱能量采集器的能量采集功率效果要優(yōu)于正三棱柱能量采集器，當(dāng)風(fēng)速達(dá)到20 m/s時(shí)，其采集功率分別達(dá)到0.248 5 和0.125 9 mW。通過對模型求解和實(shí)驗(yàn)所得功率、電壓時(shí)程曲線的對比發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)值和理論解之間很好吻合，證實(shí)了所建模型的正確性，并選取了類似結(jié)構(gòu)采集器進(jìn)行了優(yōu)缺點(diǎn)分析。利用理論模型對能量采集器的性能進(jìn)行了預(yù)估，分析發(fā)現(xiàn)：風(fēng)速越大，質(zhì)量塊質(zhì)量越小，能量采集器采集功率越高，而且風(fēng)速和質(zhì)量塊的變化也會對采集器最優(yōu)外載阻值產(chǎn)生影響；采集功率隨外載阻值的增大均呈現(xiàn)先增大后減小的情形，對于不同條件下的能量采集器均存在最優(yōu)外載阻值，低風(fēng)速下還會出現(xiàn)雙最優(yōu)阻值。