高等數(shù)學(xué)課程實踐教學(xué)課題的研究設(shè)計

李 華

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077)

0 引言

高等數(shù)學(xué)作為高校理工類本科教學(xué)的基礎(chǔ)課程，其理論和實踐方面的教學(xué)改革頗受關(guān)注。高等數(shù)學(xué)課程傳統(tǒng)的教學(xué)方式是“灌輸式”，學(xué)生模仿解題思路做題但缺乏創(chuàng)新性的解題方法，數(shù)學(xué)知識的本源和應(yīng)用被掩蓋。近幾年，隨著高校教育教學(xué)改革的不斷深化，案例式教學(xué)、問題驅(qū)動式教學(xué)、MOOC、翻轉(zhuǎn)課堂等新的教學(xué)模式相繼出現(xiàn)，改革的目標(biāo)是從以“教”為主向以“學(xué)”為主轉(zhuǎn)變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力以及自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的實踐創(chuàng)新能力。熊文俊[1]采用了問題驅(qū)動式教學(xué)模式，有效調(diào)動了學(xué)生積極性，讓學(xué)生更好的參與到教學(xué)過程中，是一種探究式教學(xué)。夏紅[2]等人借助MOOC對微積分的教學(xué)模式進(jìn)行探究，采用復(fù)合式教學(xué)，將網(wǎng)絡(luò)教學(xué)模式與課堂相結(jié)合。張衛(wèi)國[3]等人采用帶有對問題探討因素的啟發(fā)式教學(xué)，并結(jié)合數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)建模課程，構(gòu)建了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的課程體系。

李大潛教授指出，數(shù)學(xué)上的不少概念、方法或理論，有些本身就來自其在現(xiàn)實生活中的原型[4]。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)存在一些問題，如實驗素材拘泥于教材，與學(xué)生的具體專業(yè)、研究問題和生活不夠緊密[5]?；诖耍疚脑谶x取實踐課題時，一方面遵循課本，是對課本的概念、定理、方法的驗證和具體操作；一方面選取學(xué)生感興趣的生活實例，是對高等數(shù)學(xué)課程的具體應(yīng)用，能夠使學(xué)生直觀感受微積分的概念和應(yīng)用方法。

1 實踐課題的設(shè)計思路與方法

高等數(shù)學(xué)課程實踐課題的設(shè)計是根據(jù)高等數(shù)學(xué)課程的知識體系，遵循微積分教學(xué)四原則(圖像、數(shù)值、代數(shù)、自然語言)來設(shè)計小課題和實驗，使學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的定義定理有直觀深入的理解，并了解其簡單的應(yīng)用。

課題按照不同的實驗?zāi)康姆譃轵炞C型、應(yīng)用型和探索型實驗[6]，實驗預(yù)先明確實驗?zāi)康?、對?yīng)的知識點和使用的程序。對于驗證型實驗，設(shè)置在相應(yīng)章節(jié)講授之前完成，要求學(xué)生有目的地預(yù)習(xí)，并了解知識的背景和應(yīng)用。對于應(yīng)用型實驗，設(shè)置在章節(jié)內(nèi)容講授之后，是對本章知識的凝練和提取，具有較強的綜合性，且是學(xué)生熟識或感興趣的問題，是對所學(xué)知識的使用和實現(xiàn)。對于探索型實驗，題目設(shè)置較靈活，可由學(xué)生自己尋找和設(shè)計，注重實驗實施的過程和方法，不以實驗結(jié)果為唯一的考查目標(biāo)。

2 課題的分類和示例

2.1 驗證型課題

對高等數(shù)學(xué)中抽象的定義定理，通過數(shù)值計算及繪制圖形的方式，使其具體化、形象化，讓學(xué)生了解其來源和應(yīng)用，并對數(shù)學(xué)有直觀的認(rèn)識。

實驗例1[7]，利用麥克勞林公式，用冪函數(shù)近似表示指數(shù)函數(shù)ex，ex的麥克勞林公式：

取n=1，2，3，4，5

n=1ex≈1+x

冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)的圖形見圖1所示。從圖形上看，隨著次數(shù)n的增大，一方面冪函數(shù)的表達(dá)式越發(fā)復(fù)雜，一方面冪函數(shù)越逼近于ex，在實際應(yīng)用中，n需要適當(dāng)選擇。從圖1顯示的冪函數(shù)次數(shù)的變化過程，可以使學(xué)生直觀地感受麥克勞林公式的作用，體會用冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)表示復(fù)雜函數(shù)的過程，體會微積分中“近似”的思想。

圖1 冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)的圖形

實驗例2[7]，傅里葉級數(shù)近似矩形波。將矩形波的波形函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，選取不同階數(shù)的部分和函數(shù)并繪制其圖像，揭示傅里葉級數(shù)近似矩陣波的過程，使傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生背景和應(yīng)用實例具體化，使傅里葉級數(shù)的概念更加直觀清晰。矩形波的傅里葉級數(shù)展開式：

用MATLAB分別繪出傅里葉級數(shù)前1,2,3,5項部分和的圖形，并與矩形波圖形作比較。如圖2所示。

圖2 傅里葉級數(shù)前1,2,3,5項部分和的圖形

從圖2可知，矩形波是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成的。通過實驗，讓學(xué)生理解傅里葉級數(shù)的作用和級數(shù)產(chǎn)生的背景，進(jìn)一步探究級數(shù)在本專業(yè)和現(xiàn)實中的應(yīng)用。

2.2 應(yīng)用型課題

選取學(xué)生熟識的且與生活息息相關(guān)的問題作為小課題，該課題是高等數(shù)學(xué)課程的運用的過程，能將所涉及知識的應(yīng)用背景及本質(zhì)呈現(xiàn)出來。

實驗例3，選取碗作為實物并計算其體積和表面積。建立空間直角系，在坐標(biāo)系下測量相關(guān)數(shù)據(jù)，建立曲面方程，運用三重積分計算體積，運用第一類曲面積分計算表面積，如圖3所示。該課題在完成過程中，需將多個知識點連接起來，具有較強的綜合性，達(dá)到應(yīng)用知識和解決問題的目的。

圖3 碗的旋轉(zhuǎn)拋物面

建立空間直角坐標(biāo)系，建立旋轉(zhuǎn)拋物面的方程

利用第一類曲面積分求表面積：

計算結(jié)果：碗的體積約為538.78cm3，表面積約為344.2195cm2。

實驗例4，計算一片品客薯片面積的大小。該薯片具有不易破碎的特點，究其原因是其形狀為雙曲拋物面，即馬鞍面，如圖4、圖5所示。

圖4 馬鞍面

圖5 馬鞍面在XOY上的投影區(qū)域

建立馬鞍面的方程為：

利用第一類曲面積分求表面積：

投影區(qū)域面積為：

S=20.452cm2

計算結(jié)果：一片品客薯片的面積約為48.256cm2，該曲面的面積約為其投影區(qū)域平面的面積的2倍。

課題設(shè)計過程中，當(dāng)計算或畫圖難度較高時，可以給出相關(guān)程序代碼，數(shù)學(xué)軟件在小課題中只作為工具和輔助手段，不作為實驗的考查點和目的。

通過實驗，建立了空間直角坐標(biāo)系及空間曲面方程，并將重積分和曲面積分的計算應(yīng)用到曲面方程中。通過實例，將多元積分學(xué)的知識貫穿起來，具有較強的綜合性和應(yīng)用型，使重積分的背景和應(yīng)用具體化，起到了“邊學(xué)邊用”的作用。

3 探索型實驗

根據(jù)學(xué)生常見且關(guān)心的問題來設(shè)計實驗，讓學(xué)生能夠應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識，探索性地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。

實驗例5，等額本金和等額本息兩種還款方式。通過比較兩種還款方式的月還款額，探究兩種還款方式的優(yōu)劣和試用的人群。

設(shè)貸款金額為m元，貸款年限為n年(共計12n月)，年利率為x，每月歸還利息為at元。

(1)等額本金與等額本息的月還款額：

第t個月的還款額為b+αt，

(2)等額本金與等額利息前六個月每月利息的比較，設(shè)m=100000元，n=5年，年利率為6 %，如表1、表2所示。

表1 等額本金

表2 等額本息

(3)等額本金與等額本息的前五年月還款額的比較，如圖6所示。

等額本息月還款額為 1933.28元。

圖6 前五年月還款額散點圖

(4)實驗小結(jié)

等額本金還款方式為月還款額，并且隨著月份的增加而增長。前半段時期利息較高，每月還款額相對較多；后半段時期利息逐月減少，還款額越來越少，適合有一定經(jīng)濟(jì)能力的貸款人。約在第28個月時，等額本金和等額本息的月還款額相等。

4 結(jié)語

近幾年出現(xiàn)了多種新型教學(xué)形式，如混合式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂、MOCC、在線教育[8]等，其目的就是改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式，從以老師“教”為主體向以學(xué)生“學(xué)”為主體轉(zhuǎn)變。本文研究了高等數(shù)學(xué)課程實踐課題的設(shè)計，將小課題和實驗穿插在教學(xué)過程中，或作為學(xué)生預(yù)習(xí)的導(dǎo)入，或作為學(xué)生知識的總結(jié)與提煉，讓“學(xué)生邊學(xué)邊用”。通過對小課題的分析研究，讓學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的概念、定理有直觀的感性認(rèn)識。通過“用”數(shù)學(xué)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的思維和學(xué)習(xí)方法有更深入的理解，點燃其數(shù)學(xué)思維的火花[9]，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題、探究問題、解決問題的能力。