高中數(shù)學線性規(guī)劃類型及求解策略

■甘肅省天水市第八中學 張滿君

一、線性目標函數(shù)最值問題及其解答策略分析

求解線性目標函數(shù)的最值問題屬于考試的基礎(chǔ)題型，多出現(xiàn)于選擇題和填空題，因為其難度不大，學生較為容易掌握。遇到這類問題時，學生需要根據(jù)題目要求，采用圖解法一步步求解，這類題型的關(guān)鍵點就是需要學生認真審題，在全面清楚地了解題目要求后再動筆解答，切忌粗心大意。

題目分析：學生具體解答時應(yīng)該根據(jù)題設(shè)條件畫出數(shù)值的可行域，而后將目標函數(shù)平移，結(jié)合可行域具體分析得出題目要求的最大值。具體可行域如右圖1所示：

由圖一我們可以非常明了地得出函數(shù)z = 3x + 2y 圖像在可行域的移動范圍，越往右上角移動其數(shù)值越大，聯(lián)立方程組進行求解，可以得出A點的具體坐標為（10,20），代入方程組z = 3x + 2y可以得出其最大值為70。

圖1

點評:該類型題目基本沒有難度，教師應(yīng)該讓學生明確解題的具體步驟，保證看清題目以免因為粗心大意失分。具體解題過程，首先應(yīng)該正確地畫出可行域的范圍，準確地計算出直線方程的交點坐標。其次，應(yīng)該看清題目給出的問題，是求最大值還是最小值，而后根據(jù)得出的可行域和極點坐標，保證目標函數(shù)圖像移動方向的正確性。最后綜合分析得出正確答案。

二、非線性目標函數(shù)極值問題及其解答策略分析

線性規(guī)劃中還存在一類求極值題型，其目標函數(shù)不是線性函數(shù)，難度相比線性目標函數(shù)有所增加，采用平移圖像的方法無法直接得出結(jié)論。但是在解題中仍然需要畫出正確的可行域范圍，而后學生需要認真觀察非線性目標函數(shù)，查看其是否是特殊的圖像函數(shù)，具體如圓、橢圓、拋物線等，而后借助其具體性質(zhì)進行求解。

題目分析：在實際教學中學生對于求解這類型非線性規(guī)劃題目存在一定的恐懼心理，因為不像線性函數(shù)那樣直觀明了，教師首先應(yīng)該根據(jù)學生心理將大問題細分，將困難點逐個擊破，給學生建立起解題的自信心，只有這樣才能在答題時擁有更加清晰的思路。

結(jié)合題目我們首先需要根據(jù)已知條件畫出方程的可行域如圖2，但是該方程并不是線性函數(shù)，因此需要對目標函數(shù)進行簡化精減，即，z=x2+y2-10x+ 25=x2+(y- 5)2，由此我們可以看出可行域中的點到點M(0,5)距離平方的最小值，也就是距離最近的點。

接下來，根據(jù)題目設(shè)定的條件我們畫出圖2，表示出可行域范圍，解答時過點M 做AC 線段的垂直線，MN 長度的平方即為所求的結(jié)果，利用點到直線的距離公式，我們可以直接求解出MN的長度的平方值為。所以z=x2+y2- 10x+ 25 在方程組中的最小值為。

圖2

后續(xù)點評：解答目標函數(shù)如果為非線性函數(shù)題型時，除了需要正確精準地畫出題目要求的可行域范圍外，最為關(guān)鍵的還是需要對目標函數(shù)進行巧妙的等式轉(zhuǎn)換，將非線性函數(shù)變?yōu)橐阎暮瘮?shù)模型，借助集合意義進行最終求解。

例如目標函數(shù)為z=(x-a)2+ (y-b)2的形式，可以看作是可行域中點到點(A,B)的距離，目標函數(shù)如果可以轉(zhuǎn)換成為圓方程，應(yīng)該通過圓心的坐標進行目標轉(zhuǎn)換，進而快速得到答案?？傊?，學生在面對這類型題目時需要擁有平常心，仔細分析目標函數(shù)的形式，盡量地簡化成為已知的函數(shù)形式，這需要學生在課下自行鍛煉和總結(jié)。

三、目標函數(shù)參數(shù)的解答策略分析

線性規(guī)劃中，目標函數(shù)參數(shù)問題屬于線性規(guī)劃中逆向思維的題目類型，不同于上面講到的線性函數(shù)和非線性函數(shù)，題目靈活性極強，解析難度較大。大部分學生因為沒有系統(tǒng)性地理解線性規(guī)劃題目的核心，面對這類題目時經(jīng)常不知道如何下手，實際上只要明確目標函數(shù)最值一般在可行域邊界交點處，而后借助數(shù)形結(jié)合思想也就不難進行解答。

A.-5 B.1 C.2 D.3

題目分析：解答這類型題目的時候，應(yīng)該認真分析題目的前置條件，首先將不等式中兩個已知的直線方程在坐標中表達出來，而分析ax-y+ 1 ≥0 恒 過 點（0,1），即可以看作是圍繞點（0,1）進行旋轉(zhuǎn)的直線，所以，可以根據(jù)這些因素做出如圖3 所示的圖形：

接下來進一步觀察題目給出的四個選項，逐個進行分析。當a=-5時，可行域不是封閉的圖形，不符合題目條件所以舍去；當a= 1時可以很容易地得出可行域面積為1，保留繼續(xù)分析；當a= 2 時，可行域的面積為3/2；而當a= 3 時，可行域面積為2。綜合分析可以很容易得出只有D選項是最為符合題目要求的，所以正確答案應(yīng)該是D選項。

題目點評：線性規(guī)劃中目標函數(shù)求解的題目特點是參數(shù)難度大，圖形復雜，學生如果沒能掌握一定的技巧很難進行分析。就上面例題具體分析來看，很多學生不能把握住題目的關(guān)鍵點，也就是ax-y+1≥0恒過點(0,1)這個隱含條件，錯失分數(shù)。因此解答這類型題目時，學生應(yīng)該認真分析所有已知條件，先將已知的直線圖像表示在平面直角坐標系中，接下來分析具體的直線方程，找出其中隱藏的條件，教師應(yīng)該針對性地加強這類題目的訓練，只有讓學生見到更多題目，才能更好地掌握這種題型的解題技巧。

圖3

四、結(jié)語

綜上所述，線性規(guī)劃是高中數(shù)學中較為重要的內(nèi)容，在考試中因為題型靈活多變，教師需要針對性地總結(jié)出其中各類型題目的解題方法，并加強這類題型的練習，將習題量和方法技巧有機結(jié)合起來，確保學生真正掌握這一基礎(chǔ)知識，以達到快速提升學生線性規(guī)劃問題的解題效率的最終目的。