周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)中的幾種單停止運(yùn)動(dòng)規(guī)律

姜 華

（上海旭恒精工機(jī)械制造有限公司，上海 201814）

0 引言

往復(fù)運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式，具有周期性強(qiáng)、機(jī)構(gòu)占用空間少、運(yùn)動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)，從而廣泛應(yīng)用在各種印刷、包裝機(jī)械中[1]。因往復(fù)運(yùn)動(dòng)自身的原因，它同時(shí)還具速度不均勻、穩(wěn)定性差、沖擊性強(qiáng)等缺點(diǎn)，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)在高速時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)定位不準(zhǔn)、運(yùn)行抖動(dòng)等問(wèn)題。劉曉敏等采用不完全齒輪和齒條研制了一種等速無(wú)沖擊直線(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)等速直線(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)且行程不受限制[2]。陳宇等提出了一種利用非圓齒輪機(jī)構(gòu)與正弦機(jī)構(gòu)串聯(lián)組合的機(jī)構(gòu)，可以嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)從動(dòng)件等速往復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律[3]。唐文艷等基于可拓學(xué)的可拓策略生成方法設(shè)計(jì)了刨床刨刀往復(fù)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)[4]。然而以上機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，凸輪機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作可靠、便于控制等特點(diǎn)[5-6]，可以快速實(shí)現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律的凸輪曲線(xiàn)其動(dòng)態(tài)性能差異較大[7-8]，在滿(mǎn)足工作要求的條件下，設(shè)計(jì)出合適的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)于改善運(yùn)動(dòng)性能至關(guān)重要[9]。雖然凸輪曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論已較為成熟，但許多包裝機(jī)械單位不能根據(jù)自己的實(shí)際情況科學(xué)地加以應(yīng)用[10]。根據(jù)實(shí)際工程中單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)的要求，文中分別利用多項(xiàng)式和諧波函數(shù)分析設(shè)計(jì)了3種運(yùn)動(dòng)規(guī)律，均可滿(mǎn)足工程應(yīng)用，其中 4-5-6-7-8多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合性能較好。

1 單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)

所謂單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是指在往復(fù)運(yùn)動(dòng)的2個(gè)端點(diǎn)中，運(yùn)動(dòng)在其中一個(gè)端點(diǎn)沒(méi)有停留，僅作為折返點(diǎn)，而另一個(gè)端點(diǎn)是停留點(diǎn)，停留時(shí)間可根據(jù)工況需求來(lái)設(shè)定。一般情況下在停留點(diǎn)停留時(shí)間段的起、停時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)所承受的負(fù)載會(huì)有較大的變化，而在折返點(diǎn)負(fù)載的變化會(huì)較小或沒(méi)有變化。如周期（間歇）性往復(fù)定位機(jī)構(gòu)，定位動(dòng)作是在停留時(shí)間段內(nèi)完成的，定位和定位釋放均會(huì)產(chǎn)生負(fù)載變化，而另一端只是返回過(guò)程，沒(méi)有增加或減少額外的負(fù)載。為減少在停留點(diǎn)起、停時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)沖擊，提高運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，要求或希望在起、停時(shí)刻的速度（V）、加速度（A）、躍度（J）均要為零；而在折返點(diǎn)是把起、停時(shí)刻合并為一個(gè)時(shí)刻，可以稱(chēng)為轉(zhuǎn)向時(shí)刻，只需要滿(mǎn)足速度（V）為零，而加速度（A）和躍度（J）可以不需要為零。這就是單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)和一般雙停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)的最大區(qū)別。

2 單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)及曲線(xiàn)

根據(jù)單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特性，本文選擇3種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)及曲線(xiàn)來(lái)進(jìn)行解析。

2.1 采用雙停運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)合成單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律

雙停運(yùn)動(dòng)規(guī)律有很多，常用的有正弦（擺線(xiàn)）加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律、修正正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律、梯形加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律、修正梯形加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律、多項(xiàng)式（3-4-5，4-5-6-7）運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，各自的特性也不相同。這里選擇在運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的躍度（J）均為零的 4-5-6-7多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)合成一個(gè)單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解出SVAJ的函數(shù)表達(dá)式并做出圖形。

根據(jù)雙停運(yùn)動(dòng)要求設(shè)定邊界條件。B為升程運(yùn)行時(shí)間（此處按半周期180分度計(jì)算）；時(shí)間T=0時(shí)：S=0；V=0；A=0；J=0；T=B時(shí)：S=1；V=0；A=0；J=0。

可求解出升程運(yùn)動(dòng)的 4-5-6-7多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的SVAJ函數(shù)表達(dá)式為

回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：

根據(jù)升、回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式，做出如下SVAJ函數(shù)曲線(xiàn)圖（圖1）。從圖1中可以看出在中間折返點(diǎn)，加速度出現(xiàn)了一次不必要的回零，從而造成了躍度曲線(xiàn)的一次額外波動(dòng)（圖1中A和B這2個(gè)波峰）。但所有曲線(xiàn)都是連續(xù)的，說(shuō)明這是一種可以接受的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2.2 采用二個(gè)不同周期的諧波函數(shù)合成單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)

根據(jù)單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)加速度可以不為零的特點(diǎn)，其加速度函數(shù)可以利用周期性諧波函數(shù)來(lái)合成，如圖2所示，利用一個(gè)半周期諧波函數(shù)和一個(gè)全周期諧波函數(shù)相疊加，得到一個(gè)新的雙諧波函數(shù)，合成前的2個(gè)諧波函數(shù)的振幅是相同的，合成后新的雙諧波函數(shù)就可以滿(mǎn)足起點(diǎn)加速度為零而折返點(diǎn)加速度不為零的要求。

因此，先設(shè)定所求升程加速度的函數(shù)為：

式中：B為升程運(yùn)行時(shí)間（此處按半周期 180分度計(jì)算）；T為時(shí)間，T=[0～B]。

對(duì)上述加速度函數(shù)積分得速度的函數(shù)式為

圖1 4-5-6-7多項(xiàng)式函數(shù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線(xiàn)圖

圖2 雙諧波函數(shù)合成示意圖

同理得位移函數(shù)為

根據(jù)單停運(yùn)動(dòng)要求設(shè)定邊界條件，T=0時(shí)，S=0，V=0，A=0；T=B時(shí)，S=1，V=0。

可解得雙諧波單停運(yùn)動(dòng)中升程運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式為

采用上述相同的方法，得回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式為

根據(jù)雙諧波單停運(yùn)動(dòng)升、回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式，繪出SVAJ函數(shù)曲線(xiàn)圖（圖3）。從圖中可以看出，在曲線(xiàn)的中間折返點(diǎn)處，加速度沒(méi)有回零，減小了躍度曲線(xiàn)的一次波動(dòng)，所有的曲線(xiàn)都是連續(xù)的，也是一種可以接受的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。相對(duì)于2.1的加速度曲線(xiàn)，最大加速度值會(huì)略高一些（圖4）。

圖3 雙諧波函數(shù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線(xiàn)圖

圖4 加速度曲線(xiàn)對(duì)比圖

2.3 利用邊界條件計(jì)算出的多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律

單停往復(fù)運(yùn)動(dòng)可以描述成：起動(dòng)→折返→停止，以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程做為研究對(duì)象，設(shè)立邊界條件（B為升、回程總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，此處按全周期360分度計(jì)算）：時(shí)間T=0時(shí)，S=0，V=0，A=0，J=0；時(shí)，S=1；T=B時(shí)，S=0，V=0，A=0，J=0。

建立S、V、A、J函數(shù)表達(dá)式為

式中：T為時(shí)間，T=[0～B]。

根據(jù)邊界條件，利用Matlab等解算軟件，可得多項(xiàng)式單停往復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式為

按上述位移函數(shù)中各項(xiàng)的指數(shù)，此組函數(shù)可稱(chēng)為4-5-6-7-8多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律，繪出SVAJ函數(shù)曲線(xiàn)圖（圖5）。從圖中可以看出，同2.2雙諧波函數(shù)一樣，在曲線(xiàn)的中間折返點(diǎn)處，加速度沒(méi)有回零，同2.1函數(shù)曲線(xiàn)相比，躍度曲線(xiàn)減小了一次波動(dòng)；所有的曲線(xiàn)都是連續(xù)的；最大加速度和2.1函數(shù)曲線(xiàn)的最大加速度接近（圖4）；最大速度比2.1和2.2函數(shù)曲線(xiàn)的最大速度都略低一些（圖6）；是一種較好的單停往復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

3 三種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值計(jì)算及分析

無(wú)綱量運(yùn)動(dòng)參數(shù)中的最大速度、最大加速度、最大躍度和最大慣性距（同一時(shí)刻速度和加速度的乘積），稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值，分別用Vm、Am、Jm、Qm表示。通過(guò)這些特性值，可以了解運(yùn)動(dòng)規(guī)律所適合的運(yùn)動(dòng)（工況）條件，沒(méi)有任何一種運(yùn)動(dòng)規(guī)律所有的特性值都是最低的，所以在不同的工況條件下需要選擇不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如高速運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)選擇加速度較小的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，負(fù)載較重時(shí)選擇速度較小的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，這些在許多文獻(xiàn)內(nèi)均有詳細(xì)說(shuō)明。

通過(guò)SVAJ曲線(xiàn)可以看出，各特性值均是所在曲線(xiàn)的一個(gè)極值點(diǎn)，只需得到曲線(xiàn)上該極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入相關(guān)函數(shù)式即可。極值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為零，所以很容易得到該極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)。以計(jì)算4-5-6-7-8多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律的最大躍度為例如下：

圖5 4-5-6-7-8 多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線(xiàn)圖

當(dāng)j=0時(shí)可求出躍度曲線(xiàn)的極值點(diǎn)橫坐標(biāo)值。

分別代入無(wú)綱量躍度計(jì)算式后得4個(gè)值，其中絕對(duì)值最大的是 4-5-6-7-8多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律的最大躍度特性值：

Jm=±31.6207

根據(jù)同樣方法，計(jì)算出上述3種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值見(jiàn)表1。

圖6～圖8是把3種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性進(jìn)行橫向比較，從中不難看出4-5-6-7-8多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特征值的絕對(duì)值最小，則機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中所承受的直接沖擊和柔性沖擊在此3種運(yùn)動(dòng)規(guī)律中也是最小的可以使往復(fù)運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。設(shè)計(jì)出的4-5-6-7-8多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線(xiàn)應(yīng)用在自己的實(shí)際工程中，且效果很好，各項(xiàng)參數(shù)優(yōu)異，是文中的核心和創(chuàng)新，而凸輪曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的設(shè)計(jì)問(wèn)題是個(gè)無(wú)休止問(wèn)題，可能還存在比4-5-6-7-8多項(xiàng)式參數(shù)更好的曲線(xiàn)A，后面還會(huì)設(shè)計(jì)出比A好的B，但是設(shè)計(jì)的復(fù)雜性極具增加，或許沒(méi)有必要。

表1 特性值對(duì)照表

圖6 速度曲線(xiàn)對(duì)比圖

圖7 躍度曲線(xiàn)對(duì)比圖

圖8 慣性距曲線(xiàn)對(duì)比圖

4 結(jié)論

解析了3種單停止往復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用單停往復(fù)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)加速度可以不為零的特點(diǎn)，可以減少躍度曲線(xiàn)的波動(dòng)，降低運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值，從而設(shè)計(jì)出4-5-6-7-8多項(xiàng)式單停運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有較好的動(dòng)態(tài)性能，在滿(mǎn)足工程應(yīng)用的同時(shí)可以減小沖擊，保證機(jī)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)行。此外，單停曲線(xiàn)的最大加（減）速度經(jīng)常是出現(xiàn)在折返點(diǎn)處，折返點(diǎn)一般情況下也是運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)點(diǎn)，所以這種特性對(duì)于彈簧復(fù)位的機(jī)構(gòu)充分利用彈簧的性能是有利的，可以較大幅度提升機(jī)構(gòu)的效率。

樣條曲線(xiàn)的世界豐富多彩，這里僅擷取幾片浪花加以賞析，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)需同運(yùn)動(dòng)條件加以匹配，充分考慮載荷、時(shí)間、空間、成本等因素，不要單純套路一些固定公式，適合的，才是最合理的、最美妙的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。