Mathcad在鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計(jì)算中的應(yīng)用

鄭元鋒

(福建水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，福建 永安 366000)

1 概述

鋼筋混凝土梁是建筑工程中的常見(jiàn)構(gòu)件，梁截面的主要形式有矩形和T形，梁的內(nèi)力有彎矩與剪力。當(dāng)梁的跨度不大，剪力較小時(shí)，梁內(nèi)通常只配箍筋抗剪，不配彎起鋼筋。在平時(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，如何快速計(jì)算梁內(nèi)箍筋用量、驗(yàn)算梁的配箍率？應(yīng)用本文Mathcad[1]軟件編程的方法，即可快速準(zhǔn)確地計(jì)算鋼筋混凝土梁的箍筋用量(如：箍筋間距)，快速驗(yàn)算配箍率是否滿足。

應(yīng)用Mathcad軟件編程方法計(jì)算箍筋間距或驗(yàn)算配箍率，其編程過(guò)程直觀簡(jiǎn)捷、數(shù)據(jù)修改方便，與手算過(guò)程類(lèi)似。限于篇幅，本文僅探討矩形截面鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力的計(jì)算，采用Mathcad編程的方法，快速計(jì)算梁的箍筋間距、驗(yàn)算配箍率。

本文所有計(jì)算或編程所依據(jù)的規(guī)范是《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50010—2010)(2015版)[2]。

2 梁斜截面受剪承載力計(jì)算公式與步驟

計(jì)算鋼筋混凝土梁的箍筋用量，需進(jìn)行梁斜截面受剪承載力計(jì)算。斜截面受剪承載力計(jì)算通常在正截面承載力計(jì)算后進(jìn)行。下面介紹矩形截面鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力計(jì)算公式與計(jì)算步驟：

(1)截面尺寸驗(yàn)算

驗(yàn)算公式：

當(dāng)hw/b≤4時(shí)，V≤0.25βcfcbh0

當(dāng)hw/b≥6時(shí)，V≤0.2βcfcbh0

當(dāng)4

如不滿足，應(yīng)加大截面尺寸或提高混凝土強(qiáng)度等級(jí)。

梁截面尺寸驗(yàn)算目的是為了避免發(fā)生斜壓破壞。

(2)驗(yàn)算是否需要按計(jì)算配置箍筋

①對(duì)于一般梁：V≤0.7ftbh0

②對(duì)于集中荷載為主獨(dú)立梁(包括作用有多種荷載，其中集中荷載對(duì)支座截面或節(jié)點(diǎn)邊緣所產(chǎn)生的剪力值占總剪力值的75%以上的情況)：V≤1.75ftbh0/(1+λ)

如果滿足上述公式要求，則按構(gòu)造配置箍筋即可；如不滿足以上公式要求，則需按計(jì)算配置箍筋。

(3)計(jì)算箍筋用量(僅配箍筋情況)

如按以上步驟(2)判斷需要計(jì)算箍筋用量，則按以下公式計(jì)算所需箍筋用量：

①對(duì)于一般梁：

②對(duì)集中荷載為主獨(dú)立梁：

(4)確定箍筋

先定箍筋肢數(shù)n與箍筋直徑dsv(dsv≥dsv,min)，再根據(jù)箍筋計(jì)算間距s，確定箍筋實(shí)配間距s1(s1≤s，且s1≤smax)，最后驗(yàn)算配箍率。

表1 梁中箍筋最小直徑dsv,min/mm

表2 梁中箍筋最大間距smax (mm)

配箍率驗(yàn)算公式如下:

如按以上步驟(2)判斷，只需按構(gòu)造配置箍筋，設(shè)計(jì)時(shí)可取箍筋直徑dsv=dsv,min，箍筋間距s=smax，且不必驗(yàn)算配箍率。

注：上述公式中各符號(hào)含義與下面Mathcad編程設(shè)計(jì)中各符號(hào)含義一樣。

3 Mathcad編程設(shè)計(jì)

鋼筋混凝土梁(僅配箍筋)斜截面受剪承載力計(jì)算的Mathcad編程設(shè)計(jì)[3]，要考慮以下幾點(diǎn)：(1)截面尺寸驗(yàn)算；(2)驗(yàn)算是否需要按計(jì)算配置箍筋；(3)計(jì)算箍筋用量(在需要按計(jì)算配置箍筋時(shí))；(4)確定箍筋肢數(shù)與直徑，計(jì)算箍筋間距，驗(yàn)算配箍率。

梁箍筋的具體配置，既需要受剪承載力計(jì)算，也需要人工選擇(如箍筋肢數(shù)、直徑、實(shí)配間距等)。本文梁箍筋計(jì)算的Mathcad編程設(shè)計(jì)由以兩個(gè)編程程序組成：(1)截面尺寸驗(yàn)算及箍筋間距計(jì)算；(2)配箍率驗(yàn)算。

在以下Mathcad編程設(shè)計(jì)中，各符號(hào)含義與單位如下：

V——剪力設(shè)計(jì)值(N)；b——截面寬度(mm)；h——截面高度(mm)；as——受拉鋼筋合力作用點(diǎn)到截面受拉側(cè)邊緣距離(mm)；h0——截面有效高度(mm)，h0=h-as；hw——截面腹板高度(mm)，對(duì)矩形截面，hw=h0；n——箍筋肢數(shù)；dsv——箍筋直徑(mm)；Asv1——單肢箍筋的截面面積(mm2)；Asv——同一截面內(nèi)箍筋各肢的全部截面面積(mm2)，Asv=nAsv1；fc——混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值(MPa)；ft——混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值(MPa)；fyv——箍筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值(MPa)；βc——混凝土強(qiáng)度影響系數(shù)(當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過(guò)C50時(shí)，βc取為1.0，當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C80時(shí)，βc取為0.8，其間按線性內(nèi)插法確定。)；λ——計(jì)算截面的剪跨比(當(dāng)λ<1.5時(shí)，取λ=1.5；當(dāng)λ>3時(shí)，取λ=3)；s——箍筋計(jì)算間距(mm)；s1——箍筋實(shí)配間距(mm)。

3.1 Mathcad編程設(shè)計(jì)一(截面驗(yàn)算及箍筋間距計(jì)算)

截面驗(yàn)算及箍筋間距計(jì)算的Mathcad編程設(shè)計(jì)如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ):=

h0←h-ashw←h-asλ←1.5 if λ<1.5λ←λ if 1.5≤λ≤3λ←3 if λ>3Vc←1.751+λftbh0ifhwb≤4if V≤0.25βcfcbh0 s←”按構(gòu)造要求配箍筋” if Vc≥Vif Vc

3.2 Mathcad編程設(shè)計(jì)二(配箍率驗(yàn)算)

先根據(jù)以上箍筋計(jì)算間距s，確定箍筋實(shí)配間距s1(s1≤s，且s1≤smax)，再驗(yàn)算配箍率。

配箍率驗(yàn)算的Mathcad編程設(shè)計(jì)如下：

配箍率驗(yàn)算(n,b,s1,dsv,ft,fyv):=

ρsv←3.14nd2sv14bs1ρsvmin←0.24ftfyv”滿足” if ρsv≥ρsvmin”不滿足” otrerwise

4 使用編程程序時(shí)注意事項(xiàng)

使用以上兩個(gè)Mathcad編程程序，可以快速計(jì)算矩形截面梁箍筋間距，驗(yàn)算配箍率，但使用時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)剪跨比λ取值

對(duì)于一般梁，取λ=0，程序計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)按λ<1.5時(shí)取值計(jì)算(即取λ=1.5)。當(dāng)λ=1.5時(shí)，1.75/(λ+1)=1.75/(1.5+1)=0.7。

對(duì)集中荷載為主的獨(dú)立梁，λ按實(shí)際取值，程序計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)判斷，當(dāng)λ<1.5時(shí)，取λ=1.5；當(dāng)λ>3時(shí)，取λ=3。

(2)箍筋肢數(shù)n取值

梁箍筋肢數(shù)通常有雙肢與四肢，箍筋肢數(shù)主要與截面尺寸、縱向鋼筋配置數(shù)量及抗震等級(jí)有關(guān)。肢數(shù)n取值由使用者確定，但應(yīng)滿足相關(guān)規(guī)范要求。

(3)箍筋直徑dsv取值

梁箍筋常用直徑有6mm、8mm、10mm。當(dāng)梁高大于800mm時(shí)，箍筋直徑不宜小于8mm；當(dāng)梁高不大于800mm時(shí)，箍筋直徑不宜小于6mm。梁內(nèi)配有計(jì)算需要的縱向受壓鋼筋時(shí)，箍筋直徑尚不應(yīng)小于d/4，d為受壓鋼筋最大直徑。

(4)箍筋實(shí)配間距s1取值

箍筋實(shí)配間距s1取值不應(yīng)大于箍筋計(jì)算間距s，且不應(yīng)大于箍筋最大間距smax。箍筋最大間距主要與梁高及剪力大小有關(guān)，還與縱向受力鋼筋的連接形式、縱向受壓鋼筋最小直徑等因素有關(guān)，總之，實(shí)配間距s1取值，既要滿足計(jì)算要求，也要滿足相關(guān)規(guī)范要求。

(5)使用方法

使用Mathcad編程程序的計(jì)算方法，只需在Mathcad編程程序的下方，按照Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ)括號(hào)內(nèi)各符號(hào)順序輸入對(duì)應(yīng)的數(shù)值(或數(shù)值及相應(yīng)單位)，再輸入鍵盤(pán)上“=”，即可顯示計(jì)算結(jié)果(箍筋間距)。按照配箍率驗(yàn)算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)括號(hào)內(nèi)各符號(hào)順序輸入對(duì)應(yīng)的數(shù)值(或數(shù)值及相應(yīng)單位)，再輸入“=”，即可顯示計(jì)算結(jié)果(配箍率是否滿足)。

使用時(shí)，注意輸入數(shù)據(jù)的數(shù)值與順序不能錯(cuò)。當(dāng)輸入數(shù)值不帶單位時(shí)，須采用該數(shù)據(jù)默認(rèn)單位的數(shù)值。

5 實(shí)例計(jì)算

下面通過(guò)三個(gè)不同類(lèi)型的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證以上Mathcad編程設(shè)計(jì)的計(jì)算結(jié)果。

實(shí)例來(lái)源：《混凝土結(jié)構(gòu)(上冊(cè))——混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》(第七版)[4](東南大學(xué)，天津大學(xué)，同濟(jì)大學(xué)主編)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》。

【實(shí)例一】(《結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》[4]【例4-1】)(類(lèi)型：均布荷載矩形截面梁，計(jì)算時(shí)取λ=0，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面簡(jiǎn)支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，兩端支承在240mm厚的磚墻上，梁凈跨度為5760mm。該梁承受均布荷載設(shè)計(jì)值70kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力設(shè)計(jì)值為201.6kN?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋為HPB300級(jí)鋼筋(fyv=270N/mm2)，縱筋為HRB400級(jí)鋼筋。一類(lèi)環(huán)境。(取as=40mm，僅配箍筋)

求：箍筋的數(shù)量。

解：采用以上Mathcad編程設(shè)計(jì)的計(jì)算結(jié)果如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ) 代入相應(yīng)數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)與單位)后，計(jì)算結(jié)果如下：

Asv(201600,250,600,2,8,40,14.3,1,1.43,270,0)= (“箍筋間距” 247)

Asv(201.6kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)= (“箍筋間距” 247) mm

箍筋計(jì)算間距247mm，本例箍筋實(shí)配間距s1=200mm。

選用雙肢箍筋φ8@200(根據(jù)表2，本例箍筋最大間距smax=250mm)。

配箍率驗(yàn)算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)代入相應(yīng)數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)與單位)后，計(jì)算結(jié)果如下：

配箍率驗(yàn)算(2，250，200，8，1.43，270)=“滿足”

配箍率驗(yàn)算(2，250mm，200mm，8mm，1.43MPa，270MPa)=“滿足”

本例Mathcad編程計(jì)算結(jié)果與實(shí)例手算結(jié)果一致。

【實(shí)例二】(《結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》[4]【例4-2】)(類(lèi)型：集中荷載為主矩形截面梁，λ取計(jì)算值，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面獨(dú)立簡(jiǎn)支梁，跨度4m，截面尺寸b×h=200mm×600mm，荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。采用C25混凝土(fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2)，箍筋采用HPB300級(jí)鋼筋(fyv=270N/mm2)，一類(lèi)環(huán)境。(取as=40mm，僅配箍筋)

計(jì)算簡(jiǎn)圖及剪力圖如下：

A支座截面：V集/V總=160/180=88%>75%

B支座截面：V集/V總=140/160=87.5%>75%

C截面：V集/V總=40/50=80%>75%

E截面：V集/V總=60/70=85.7%>75%

求：配置箍筋。

解：采用以上Mathcad編程設(shè)計(jì)的計(jì)算結(jié)果如下：

(1)AC段：VA=180kN，λ=a/h0=1000/560=1.786(a取集中荷載作用點(diǎn)至支座截面或節(jié)尖邊緣的距離)

Asv(180kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)= (“箍筋間距” 168) mm

本例箍筋實(shí)配間距s1=100mm。

選用雙肢箍筋φ8@100(根據(jù)表2，本例AC段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗(yàn)算(2，200mm，100mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(2)CD段：VC=50kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(50kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋間距”“按構(gòu)造要求配箍筋”) mm

按構(gòu)造配置箍筋，選用雙肢箍筋φ8@350(根據(jù)表2，本例CD段箍筋最大間距為350mm)，則s1=350mm。

配箍率驗(yàn)算(2，200mm，350mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(3)DE段：VE=70kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(70kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋間距” 1955) mm

本例箍筋實(shí)配間距s1=250mm。

選用雙肢箍筋φ8@250(根據(jù)表2，本例DE段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗(yàn)算(2，200mm，250mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

(4)EB段：VE=160kN，λ=a/h0=1000/560=1.786

Asv(160kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)=(“箍筋間距” 215) mm

本例箍筋實(shí)配間距s1=120mm。

選用雙肢箍筋φ8@120(根據(jù)表2，本例EB段箍筋最大間距為250mm)。

配箍率驗(yàn)算(2，200mm，120mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“滿足”

本例Mathcad編程計(jì)算結(jié)果與實(shí)例手算結(jié)果一致。

【實(shí)例三】(修改【實(shí)例一】中的荷載設(shè)計(jì)值70kN/m為180kN/m，則得梁端最大剪力設(shè)計(jì)值為518.4kN，其它資料不變。)(類(lèi)型：均布荷載矩形截面梁，計(jì)算時(shí)取λ=0，求Asv=?)

已知：有一鋼筋混凝土矩形截面簡(jiǎn)支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，兩端支承在240mm厚的磚墻上，梁凈跨度為5760mm。該梁承受均布荷載設(shè)計(jì)值180kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力設(shè)計(jì)值為518.4kN?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋為HPB300級(jí)鋼筋(fyv=270N/mm2)，縱筋為HRB400級(jí)鋼筋。一類(lèi)環(huán)境。(取as=40mm，僅配箍筋)

求：箍筋的數(shù)量。

解：采用以上Mathcad編程設(shè)計(jì)的計(jì)算結(jié)果如下：

Asv(518.4kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)=(“箍筋間距” “截面不滿足要求”) mm

根據(jù)以上計(jì)算信息“截面不滿足要求”，應(yīng)加大截面尺寸或提高混凝土等級(jí)后，重新設(shè)計(jì)。

本例Mathcad編程計(jì)算結(jié)果與實(shí)例手算結(jié)果一致。

以上三個(gè)不同類(lèi)型實(shí)例的Mathcad編程計(jì)算結(jié)果與手工計(jì)算結(jié)果完全一樣。

6 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計(jì)算公式，應(yīng)用Mathcad編程方法來(lái)計(jì)算梁箍筋(僅配箍筋)及配箍率驗(yàn)算。編程設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)特別注意各類(lèi)判別式及各種不同條件下的相應(yīng)公式。編程結(jié)束后，需用各類(lèi)不同類(lèi)型的實(shí)例驗(yàn)證Mathcad編程設(shè)計(jì)的正確性。

采用Mathcad編程程序計(jì)算梁箍筋間距或驗(yàn)算配箍率，該用法簡(jiǎn)單且計(jì)算準(zhǔn)確，可以極大地提高工作效率。但計(jì)算前，箍筋肢數(shù)與箍筋直徑的確定，計(jì)算后，箍筋實(shí)配間距的選定等等，這些數(shù)值需由使用者自己確定，并滿足相關(guān)規(guī)范要求。