積極建構(gòu) 感悟模型

張玉翠

模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。數(shù)學(xué)模型的建立要經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程，數(shù)學(xué)建模，就是從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的符號(hào)去表征問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是一種抽象的簡潔的“數(shù)學(xué)化”過程。

模型思想的建立是一個(gè)螺旋上升的過程，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心素養(yǎng)的有效落地意味著教師要重視課堂上的數(shù)學(xué)建模，鼓勵(lì)學(xué)生感悟模型并積極建構(gòu)，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力的長期發(fā)展。下面就數(shù)學(xué)模型融入課堂教學(xué)談幾點(diǎn)個(gè)人見解。

一、借助生活原型構(gòu)建概念型數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，基于小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，一些概念沒有辦法從數(shù)學(xué)內(nèi)部揭示其意義，這時(shí)凸顯了借助生活原型幫助構(gòu)建概念的重要性。生活原型，就好比是一個(gè)支點(diǎn)，可幫助學(xué)生更加容易認(rèn)知研究對象，有助于學(xué)生更好地感知及理解概念。

如教學(xué)“比的意義”的內(nèi)容時(shí)，筆者讓學(xué)生觀察比較除法算式和比之間的關(guān)系，從而揭示比的意義，緊接著讓學(xué)生說一說比、分?jǐn)?shù)、除法三者的關(guān)系。有學(xué)生提出質(zhì)疑：“既然比表示兩個(gè)數(shù)相除，已經(jīng)學(xué)會(huì)了分?jǐn)?shù)和除法，為什么還要學(xué)習(xí)比？”這個(gè)問題在日常的教學(xué)中并未得到充分的解釋。最多的說法是：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一種數(shù)值，比是一種關(guān)系。這種解釋似是而非。如果能夠借助生活原型，這個(gè)問題將變得直觀而清晰。

此時(shí)，筆者引入制作泡泡水要用甘油、水、洗潔精、洗手液混合而成的情境，并提出問題：這四樣?xùn)|西要怎么搭配才能配出泡泡水。在學(xué)生思考并交流后，筆者出示數(shù)據(jù)1∶4∶2∶2。這樣學(xué)生就得到釋疑：除法和分?jǐn)?shù)不能一下子將四種物體的倍數(shù)關(guān)系表示出來。多個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系組成連比，幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系一目了然。對學(xué)生來說，比的意義變得形象、直觀。由此可見，生活原型是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的支點(diǎn)，這種基于生活實(shí)際構(gòu)建概念模型的方法，有助于幫助學(xué)生建立清晰和正確的認(rèn)識(shí)。

二、依托符號(hào)表達(dá)構(gòu)建方法型數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)語言有三種常見的表達(dá)形式：文字語言形態(tài)，符號(hào)語言形態(tài)，圖形語言形態(tài)。隨著學(xué)生年級(jí)的升高，符號(hào)表達(dá)的重要性日漸凸顯。把符號(hào)意識(shí)滲透進(jìn)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維里，依托符號(hào)意識(shí)，不失為構(gòu)建模型關(guān)鍵能力的一種有效途徑。

例如，教學(xué)“乘法分配律”的內(nèi)容時(shí)，筆者先呈現(xiàn)購物情境：運(yùn)動(dòng)服上衣55元，褲子45元，王阿姨購進(jìn)10套運(yùn)動(dòng)服，花了多少錢？學(xué)生寫出了以下兩種解法：55×10+45×10=1000（元）;（55+45）×10=1000（元）。筆者提問：“你們能結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)來說說這兩個(gè)算式表達(dá)的意義嗎？”學(xué)生小組討論后發(fā)現(xiàn)，不同的方法解決了同一個(gè)問題，于是乎得到了“55×10+45×10=（55+45）×10”這一結(jié)論。筆者再提問：“你還能說一組這樣的等式嗎？說說你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”以此初步孕育乘法分配律的模型，并讓學(xué)生再舉一些這樣的例子驗(yàn)證一下各自對規(guī)律的猜想。隨后，學(xué)生提供了多種表達(dá)方式。有的學(xué)生用字母：（a+b）×c=a×c+b×c;有的學(xué)生用圖形：（口+○）×▲=口×▲+○×▲;有的用文字?？梢园l(fā)現(xiàn)，學(xué)生的想法是無窮的，且充滿智慧，文字、圖形、字母雖然形式不同，但實(shí)質(zhì)上都是乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。最終，筆者引導(dǎo)學(xué)生用字母抽象表示出乘法分配律這個(gè)數(shù)學(xué)模型，并抓住這個(gè)數(shù)學(xué)模型，教學(xué)這里的a、b、c可以是哪些數(shù)，進(jìn)一步把握乘法分配律的內(nèi)涵。

建構(gòu)運(yùn)算定律模型，一般遵循這樣的教學(xué)線索：依托生活情境，解決實(shí)際問題—得出等式—猜想—舉例驗(yàn)證—用不完全歸納法總結(jié)規(guī)律—符號(hào)化形態(tài)表達(dá)。運(yùn)算定律的教學(xué)，實(shí)際上就是一種方法型數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。將數(shù)學(xué)建模教學(xué)與符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和簡潔性，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，顯得尤為重要。

三、應(yīng)用圖形豐潤思想型數(shù)學(xué)模型

小學(xué)生的思維水平多停留在具象階段，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平限制，很難理解一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。將抽象的數(shù)學(xué)問題和直觀的圖形表征有機(jī)結(jié)合起來，以圖析題，有助于學(xué)生打開思維，順利解題。

（一）找準(zhǔn)“源發(fā)點(diǎn)”，從整體上建構(gòu)模型

“植樹問題”是用除法來解決問題的，是對“包含除法”模型的補(bǔ)充。從這點(diǎn)來說，植樹問題應(yīng)納入學(xué)生已有的認(rèn)知體系中。在教學(xué)時(shí)，筆者將教材情境稍作改變，化繁為簡地變更為：20米長的小路，每隔5米栽一棵，可以栽幾棵？在學(xué)生讀懂題意的基礎(chǔ)上，筆者先啟發(fā)學(xué)生思考：每隔5米栽一棵，也就是平均每5米一棵，要先知道20里面有幾個(gè)5，再根據(jù)實(shí)際情況做調(diào)整。也就是說，這道題可以用除法解決，實(shí)際上仍屬于“包含除法”問題。再讓學(xué)生通過畫圖和操作對商進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整：兩端都栽，商要加1;只栽一端，商不變;兩端不栽，商要減1。植樹問題的三種模型由此建立。因此，基于原有認(rèn)知水平建構(gòu)植樹模型的過程可以用如下示意圖（圖1）來表示：

（二）尋找“生長點(diǎn)”，從認(rèn)知上豐富模型

在經(jīng)歷充分地畫圖和操作，學(xué)生觀察感悟線段上植樹問題的三種模型后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探尋植樹問題的其他情況。筆者出示題目：實(shí)驗(yàn)小學(xué)準(zhǔn)備在圓形操場周圍栽樹，操場的周長是200米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽多少棵樹？有了之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（線段上種樹的經(jīng)驗(yàn)、化繁為簡），筆者放手讓學(xué)生自主探究。匯報(bào)過程中，學(xué)生提到先栽50米，試著把圓拉直成一條線段，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了這道題就相當(dāng)于植樹問題中“一端栽一端不栽”的情況（圖2）。

筆者及時(shí)給予肯定，引導(dǎo)學(xué)生再次感受種樹的過程：把樹種在點(diǎn)上，一棵數(shù)對應(yīng)一個(gè)間隔，剛好種完。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)，這不就是只栽一端！這樣的處理，積累了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)豐富了植樹問題數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，感受模型思想與建模的魅力。

總之，數(shù)學(xué)模型作為一種有效載體，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提升了學(xué)生的思考能力，把學(xué)生的學(xué)習(xí)推向思維的深處。教師在實(shí)際工作中需要進(jìn)一步探索和發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究、抽象、推理、建模的過程，為今后的深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（作者單位：福建省廈門市同安區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 責(zé)任編輯：王振輝）