Pythagorean模糊冪Bonferroni集成算子及其決策應(yīng)用

駱丹丹，曾守楨 ，2

1.寧波大學(xué) 商學(xué)院，浙江 寧波 315211

2.復(fù)旦大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200433

1 引言

Atanassov于1986年提出的直覺模糊集[1]，是對(duì)經(jīng)典Zadeh模糊集[2]理論的重要拓展。相比模糊集只能用單一的隸屬度刻畫抽象概念的肯定程度，直覺模糊集增加了非隸屬度來表示否定程度，從而更加細(xì)致全面地刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)。由于直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度之和必須滿足小于等于1的條件，因此在一些實(shí)際應(yīng)用問題中受到很多制約。為此，Yager對(duì)其進(jìn)一步拓展提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集[3]，將條件拓寬至允許隸屬度和非隸屬度之和大于1，而其平方和小于等于1，故其比模糊集、直覺模糊集具有更強(qiáng)的描述模糊現(xiàn)象的能力。

近年來，關(guān)于畢達(dá)哥拉斯模糊集的理論研究和應(yīng)用探索得到許多學(xué)者的關(guān)注。其中，Akram等人[4]提出了一系列畢達(dá)哥拉斯Dombi模糊集成算子。Khan等[5]將優(yōu)先集成算子拓展到畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境中以解決屬性和決策者間存在優(yōu)先級(jí)關(guān)系的決策問題。劉衛(wèi)鋒等人[6]定義了畢達(dá)哥拉斯模糊的Hamacher運(yùn)算方法；Wei[7]在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下利用Hamacher運(yùn)算和冪集成算子提出了一系列畢達(dá)哥拉斯模糊Hamacher冪集成算子。Verma等人[8]提出了一種基于三角相似性測(cè)度的畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法。曾守楨等[9]提出了一種基于混合加權(quán)測(cè)度的TOPSIS決策方法來解決決策信息為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的多屬性決策問題。Fei等人[10]定義了基于OWA算子的軟似然函數(shù)以識(shí)別決策者的主觀偏好。Jin等[11]將畢達(dá)哥拉斯模糊集與語言術(shù)語集結(jié)合，定義了畢達(dá)哥拉斯模糊語言集。劉衛(wèi)鋒等[12]將畢達(dá)哥拉斯模糊集與猶豫集結(jié)合，定義了畢達(dá)哥拉斯模糊猶豫模糊集；Garg[13]進(jìn)一步提出了畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊混合集成算子。

上述有關(guān)畢達(dá)哥拉斯模糊信息的集成方法與應(yīng)用都是在屬性間相互獨(dú)立的情況下提出的。實(shí)際決策中，不同屬性間可能存在不同程度的關(guān)聯(lián)性，或互補(bǔ)、冗余、偏好關(guān)系等。由Bonferroni[14]于1950年提出的Bonferroni平均（BM）算子是一種均值類型的集成算子，它能有效地捕獲輸入變量間的相互關(guān)聯(lián)情況，將多個(gè)輸入變量集結(jié)成一個(gè)變量，是一種有界的集成算子。近年來BM算子得到廣大研究者的關(guān)注并被拓展應(yīng)用到不同模糊決策問題中[15-19]。另一方面，冪平均（PA）算子也是一種能有效考慮數(shù)據(jù)信息之間關(guān)聯(lián)性的集成算子[20]，其通過考慮輸入數(shù)據(jù)之間的支撐度關(guān)系計(jì)算屬性權(quán)重，可以有效減少異常數(shù)據(jù)對(duì)決策結(jié)果的影響，使得決策信息的處理過程更加客觀公正，因而受到很多學(xué)者的關(guān)注[21-26]。為了綜合利用Bonferroni平均（BM）算子和冪均（PA）算子的優(yōu)點(diǎn)，He等[27]將PA算子與BM算子相結(jié)合，提出冪Bonferroni平均（PBM）算子。之后，人們將PBM 算子拓展到不同模糊環(huán)境中，包括猶豫模糊集[27]、直覺模糊集[28-29]、區(qū)間直覺模糊集[30]和語言直覺模糊集[31]；進(jìn)一步的，Khan等[32]基于Dombi運(yùn)算，將PBM算子拓展到區(qū)間中智環(huán)境中以處理區(qū)間中智信息的多屬性決策問題。然而，到目前為止，還沒有關(guān)于如何利用PBM算子集成畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的研究。因此，為了豐富畢達(dá)哥拉斯模糊集的集成方法和拓展PBM算子的應(yīng)用領(lǐng)域，本文將研究基于PBM算子的畢達(dá)哥拉斯模糊集成方法，提出兩種新的畢達(dá)哥拉斯模糊信息集成新算子，即畢達(dá)哥拉斯模糊冪Bonferroni平均算子和畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)冪Bonferroni平均算子，并在此基礎(chǔ)上，給出一種新的畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]給定論域X上的畢達(dá)哥拉斯模糊集P為：

其中，μP(x):X→[0,1] 和νP(x):X→[0,1]分別代表P的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，且?x∈X有1，且x屬于P的猶豫度為為計(jì)算方便，稱α=μα,να為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（PFN）[33]。

定義2[33]設(shè)達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，定義：

關(guān)于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)更多的運(yùn)算規(guī)則等知識(shí)，可參見文獻(xiàn)[33-34]。

定義3[35]設(shè)為兩個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，它們之間的支撐度定義為：

為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的距離，παi(i=1,2) 為αi(i=1,2)的猶豫度。

定義4[20]設(shè)為實(shí)數(shù)，則稱：

為冪平均（PA）算子。其中(i=1,2,…,n),Sup(xi,xj)表示xi和xj之間的支撐度，并滿足下列條件：

定義5[14]設(shè)p≥0,q≥0，且p與q不同時(shí)為0，xi(i=1,2,…,n)為一組非負(fù)實(shí)數(shù)，則稱：

為Bonferroni平均（BM）算子。

定義6[27]設(shè)xi(i=1,2,…,n)為一組非負(fù)實(shí)數(shù)，且p,q≥0，則稱：

為冪Bonferroni平均（PBM）算子。

3 畢達(dá)哥拉斯模糊冪Bonferroni集成算子

考慮到PA算子能根據(jù)屬性之間的支持關(guān)系確定屬性權(quán)重，從而減少有偏決策者給出異常偏好值對(duì)決策結(jié)果的影響，而BM算子則能充分考慮屬性間的相互關(guān)聯(lián)關(guān)系，因此，本章根據(jù)PA算子和BM算子的特性將兩者結(jié)合起來，并將其擴(kuò)展到畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境中，提出基于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的PBM算子。

定義7設(shè)p與q為不同時(shí)為0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若：

稱PFPBMp,q為畢達(dá)哥拉斯模糊冪Bonferroni平均（PFPBM）算子。其中，T(αi)=Sup(αi,αj)(i=1,2,…,n)，Sup(αi,αj)表示畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αi和αj之間的支撐度，并滿足定義4中的條件。

基于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間的運(yùn)算法則，可得定理1。

定理1設(shè)p與q為不同時(shí)為0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則經(jīng)過PFPBM算子得到的集結(jié)值仍然是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，且

顯然有ω?k≥1。則式（7）和式（8）可分別簡(jiǎn)化為式（10）和式（11）：

下面，證明定理1，即證明公式（11）成立。

證明 基于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間的運(yùn)算法則，可以得到：

成立，即PFPBMp,q(α1,α2,…,αn)仍然是一個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)。

綜上，定理1得證。

PFPBM算子還具有冪等性、置換不變性、有界性等優(yōu)良性質(zhì)。

性質(zhì)1（冪等性）設(shè)αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若α1=α2=…=αn=α，則：

性質(zhì)2（置換不變性）設(shè)αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若(α′1,α′2,…,α′n)為(α1,α2,…,αn)的任意置換，則：

由定義7和定理1可以看出，PFPBMp,q(α1,α2,…,αn)算子只考慮了基于冪算子的權(quán)向量和待集成畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間的相關(guān)性，并沒有考慮數(shù)據(jù)本身的重要性，即該集成算子是在集結(jié)變量重要程度相等的情形下定義的。然而，在許多實(shí)際決策過程中，不同屬性的重要程度可能不同，因此它們的權(quán)重也不相等。為了融入指標(biāo)權(quán)重的重要性，接下來將定義畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)Bonferroni平均（PFPWBM）算子。

定義8設(shè)p與q為不同時(shí)為0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，權(quán)重向量

稱PFWPBM為畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)冪Bonferroni平均（PFWPBM）算子。其中，(i=1,2,…,n)，Sup(αi,αj)表示畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αi和αj之間的支撐度，并滿足定義4中的條件。

定理2設(shè)p與q為不同時(shí)為0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)。經(jīng)過PFWPBM算子得到的集結(jié)值仍然是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，且

證明過程類似定理1，限于篇幅，此處略去。

與PFPBM算子類似，PFWPBM算子也具有置換不變性和有界性。

下面將討論關(guān)于PFWPBM算子的幾種特殊情形，可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有很多算子是本文所提PFWPBM算子的特例。

此時(shí)PFWPBM算子退化為畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)Bonferroni平均（WPFBM）算子[17]，該算子不具備冪平均算子的優(yōu)點(diǎn)。

此時(shí)PFWPBM算子退化為PFPBM算子，顯然PFPBM算子是PFWPBM算子的特殊情況。

4 基于PFWPBM算子的多屬性決策方法

從以上分析可知，PFWPBM算子綜合考慮PA算子和BM算子在實(shí)際決策問題中的優(yōu)點(diǎn)，既能有效減少異常數(shù)據(jù)對(duì)決策結(jié)果的影響，又能充分考慮屬性間的相關(guān)性，基于此，下面提出一種基于PFWPBM算子的多屬性決策方法。

對(duì)于畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策問題，設(shè)有n個(gè)備選方案A={A1,A2,…,An}，m個(gè)決策屬性C={C1,C2,…,Cm} ，對(duì)應(yīng)決策屬性的權(quán)重向量為 ω=(ω1,ω2,…,ωm)T。其中，ωi∈[0,1]，=1。假設(shè)邀請(qǐng)專家提供畢達(dá)哥拉斯模糊評(píng)價(jià)信息，得到畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣M=(αij)n×m，αij=μij,νij。其中，μij和νij分別表示備選方案Ai關(guān)于決策屬性Cj的隸屬度值和非隸屬度值?；赑FWPBM算子的多屬性決策方法的步驟如下：

步驟1根據(jù)實(shí)際情形，建立畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣 M=(αij)n×m，并利用文獻(xiàn)[36]給出的規(guī)范化方法，將M=(αij)轉(zhuǎn)化為規(guī)范矩陣n×m。

步驟2計(jì)算輸入變量間的支撐度。

其中，k,j=1,2,…,m；l=1,2,…,n。

步驟3根據(jù)決策屬性對(duì)應(yīng)的的權(quán)重向量計(jì)算畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)所對(duì)應(yīng)的支撐度T()，進(jìn)而獲取變量的支撐度指數(shù)ξlk。

其中，k=1,2,…,m；l=1,2,…,n。

步驟4利用定義8中的PFWPBM算子對(duì)各個(gè)備選方案Ai(i=1,2,…,n)所對(duì)應(yīng)的屬性值1,2,…,m進(jìn)行集結(jié)，得到備選方案Ai(i=1,2,…,n)的綜合屬性值),…,n。

步驟5計(jì)算綜合屬性值αi(i=1,2,…,n)的得分值，在屬性得分值相等的情形下計(jì)算其精確值。依據(jù)αi(i=1,2,…,n)的優(yōu)先級(jí)關(guān)系對(duì)備選方案Ai(i=1,2,…,n)進(jìn)行排序，進(jìn)而選擇最優(yōu)方案。

5 實(shí)例分析

本章考慮將上文研究得到的PFWPBM算子和決策模型應(yīng)用到國(guó)內(nèi)航空公司的服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)中，以驗(yàn)證本文所提方法的有效性和可行性。

例現(xiàn)評(píng)價(jià)國(guó)內(nèi)4家航空公司A={A1,A2,A3,A4}的服務(wù)質(zhì)量[33]，計(jì)劃從4個(gè)方面（屬性）對(duì)這些公司進(jìn)行評(píng)價(jià)，分別是定售票服務(wù)(c1)；登機(jī)程序(c2)；客艙服務(wù)(c3)和公司響應(yīng)性(c4)，其對(duì)應(yīng)的屬性權(quán)重為ω=(0.15,0.25,0.35,0.25)T。假設(shè)專家提供的畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣M=(αij)4×4,αij=μij,νij，如表1所示。試根據(jù)專家提供的決策矩陣，評(píng)價(jià)出服務(wù)質(zhì)量最好的航空公司。

表1 畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣

下面將用本文提出的決策方法，評(píng)價(jià)這4家國(guó)內(nèi)航空公司的服務(wù)質(zhì)量。

步驟1決策矩陣的規(guī)范化處理。由于所有屬性都是效益型屬性，因此不需要對(duì)上述決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

步驟2計(jì)算各個(gè)屬性之間的支撐度，進(jìn)而給出支撐度矩陣，得到：

步驟3計(jì)算變量和余下變量整體間的支撐度矩陣T()4×4，以及變量的支撐度指數(shù)矩陣ξ，得到：

步驟4利用PFWPBM集結(jié)算子對(duì)備選方案的綜合屬性值進(jìn)行集結(jié)。為方便計(jì)算，這里選取參數(shù)p=1,q=1，計(jì)算得：

步驟5計(jì)算綜合屬性值αi,i=1,2,3,4的得分值S(αi)和精確值H(αi)(i=1,2,3,4)（如有必要）。

然后根據(jù)αi,i=1,2,3,4的得分值，得到各個(gè)備選方案的優(yōu)先級(jí)關(guān)系為：

因此4家國(guó)內(nèi)航空公司中，服務(wù)質(zhì)量最高的是A4。

以上分析是在參數(shù)p=1,q=1情形下計(jì)算得到的。不失一般性，下面將討論在不同參數(shù)取值下，最佳備選方案的變化情況，基于PFWPBM的計(jì)算結(jié)果如表2所示，相應(yīng)的方案得分和排序如表3所示。

由表2和表3可知，隨著參數(shù)p,q取值的變化，各個(gè)備選方案的綜合屬性值以及相應(yīng)的得分值都發(fā)生了變化，最優(yōu)備選方案（即4家國(guó)內(nèi)航空公司中服務(wù)質(zhì)量最高的）也相應(yīng)地出現(xiàn)了改變，即由A4變?yōu)锳2。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，備選方案的綜合得分值將隨著參數(shù)p,q取值的增大。因此，在決策過程中，決策者可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)p,q。若參數(shù)p,q取不同值，可類似分析。

為了更好地體現(xiàn)本文所提方法的優(yōu)越性，下面進(jìn)一步與現(xiàn)有方法進(jìn)行比較分析，選取了文獻(xiàn)[3]中的PFWA算子、文獻(xiàn)[26]中的PFPWA算子、文獻(xiàn)[17]中的WPFBM算子（為便于計(jì)算，集成算子中的參數(shù)統(tǒng)一取值1），對(duì)比結(jié)果如表4所示。

表2 PFWPBM集成算子的集成結(jié)果(p=q)

表3 PFWPBM集成算子的排序結(jié)果

由以上集成結(jié)果可知，本文與文獻(xiàn)[26]中的PFPWA算子的最優(yōu)備選方案相同，同為A4，而文獻(xiàn)[3]中的PFWA算子和文獻(xiàn)[17]中的WPFBM算子的最優(yōu)備選方案同為A2。進(jìn)一步的，發(fā)現(xiàn)各個(gè)方法的得分值以及排序結(jié)果也略有差異。導(dǎo)致上述差異的主要因素是以上幾種模型算子均采用了不同的信息集成方法，且均基于算術(shù)平均的思想，但算子在集結(jié)過程中的側(cè)重點(diǎn)不同。文獻(xiàn)[3]中的PFWA算子主要是針對(duì)屬性間相互獨(dú)立的情況，沒有考慮屬性間可能存在的相互關(guān)系。而文獻(xiàn)[17]中的WPFBM算子沒有考慮數(shù)據(jù)信息之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。本文給出的PFWPBM算子是結(jié)合PFPWA算子和WPFBM算子的優(yōu)點(diǎn)，不僅考慮了屬性間可能存在的相互關(guān)系，還反映了數(shù)據(jù)間的整體均衡性，從而避免有偏決策者給出異常偏好值（即原始數(shù)據(jù)中過大或過小的值）影響決策結(jié)果，使得決策更加公正客觀。同時(shí)，新算子帶有參數(shù)p,q，使得決策者可根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)偏好靈活選取參數(shù)值，且調(diào)節(jié)系數(shù)n的增加，使得新算子在信息集成過程中更為穩(wěn)健，較好地保留了算術(shù)平均算子本身的特性。

表4 對(duì)比分析結(jié)果

6 結(jié)束語

針對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策問題，本文提出了兩種新的畢達(dá)哥拉斯模糊集成方法，即畢達(dá)哥拉斯模糊冪Bonferroni平均算子和畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)冪Bonferroni平均算子。新算子結(jié)合了冪均算子和Bonferroni算子的優(yōu)良特點(diǎn)。不僅考慮了數(shù)據(jù)信息之間的整體均衡性，還考慮了屬性之間可能存在的相互關(guān)聯(lián)關(guān)系。進(jìn)一步的，還探討了新算子的一些優(yōu)良性質(zhì)和特殊情況。在此基礎(chǔ)上，給出了基于畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)冪Bonferroni平均（PFWPBM）算子的多屬性決策方法以及詳細(xì)步驟，并從實(shí)例和比較分析兩方面驗(yàn)證所提方法的有效性和可行性。本文所提的決策方法也可以進(jìn)一步應(yīng)用到諸如供應(yīng)商選擇評(píng)價(jià)、產(chǎn)品方案選擇評(píng)價(jià)、人力資源部門人才引進(jìn)的推薦等領(lǐng)域中，具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值。