復(fù)變函數(shù)法計算圓形盾構(gòu)隧道周邊土體位移

朱艷峰，張雪松，王和平

(1.廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，廣東 廣州 511483；2.廣東工業(yè)大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

地鐵的建設(shè)在大中城市越來越普遍，施工過程中隧道開挖對周圍環(huán)境影響很大.目前，主要有3種方法計算圓形盾構(gòu)隧道周圍土體的變形：經(jīng)驗法、理論計算和數(shù)值模擬.而在理論計算方面主要有雙擊坐標(biāo)法、鏡像法、復(fù)變函數(shù)法和Airy應(yīng)力函數(shù)法.

復(fù)變函數(shù)求解隧道問題的優(yōu)點為，能夠把半無限空間映射為定值圓環(huán)，而不會影響解析函數(shù)求解，并且無窮遠(yuǎn)端也被映射到圓弧上一點，通過位移差，可以保證無窮遠(yuǎn)端位移為零.Verruijtt[1-2]應(yīng)用復(fù)變函數(shù)分別推導(dǎo)出了隧道孔洞周圍在均布徑向位移和應(yīng)力條件下的解析解.王立忠[3]、童磊[4]、張治國[5]均利用Park[6]或相似的經(jīng)驗邊界橢圓化變形形式完成了隧道土體變形復(fù)變函數(shù)求解.由于經(jīng)驗邊界變形形式的引入，使得解析解變得有針對性.

本文在前人研究基礎(chǔ)上，利用隧道邊界土體和位移協(xié)調(diào)關(guān)系及混凝土襯砌相對空間位置，建立位移函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步求出圓形盾構(gòu)隧道周圍土體變形復(fù)變函數(shù)解，最后采用Matlab軟件實現(xiàn)算法.

1 隧道位移函數(shù)

1.1 基本假設(shè)

為了滿足平面應(yīng)變要求，假定隧道在軸線上無限長；土體為半無限空間彈性體；土體和襯砌相互作用，滿足協(xié)調(diào)變形條件，但二者之間無摩擦力[7]；不考慮滲流對變形的影響，假設(shè)盾構(gòu)過程中不排水.半空間單圓孔隧道平面簡圖如圖1所示，采用復(fù)數(shù)直角坐標(biāo)系表示，h為隧道中心埋置深度，r0為隧道半徑，A為坐標(biāo)原點，B為無窮遠(yuǎn)端，C為隧道頂，D為隧道底，R區(qū)域為隧道孔洞外區(qū)域.

圖1 單孔半無限空間Fig.1 The half plane with a circular cavity

1.2 位移函數(shù)

根據(jù)Muskhelishvili[8]平面問題復(fù)變函數(shù)解法，可以用R區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)φ(z)和ψ(z)來表示土體應(yīng)力和位移分量.應(yīng)力公式如下

(1)

(2)

位移公式如下：

(3)

(4)

(5)

式中，G為土體剪切模量，G=E/2(1+υ)，E為土體彈性模量，υ為土體泊松比；Ux為土體水平位移，Uy為土體豎向位移；參數(shù)κ=3-4υ.

(6)

(7)

2 復(fù)變函數(shù)理論

2.1 共形映射

通過Mobius共形映射公式變換，z平面半無限空間中單孔圓形隧道可以轉(zhuǎn)換為ζ平面中定直徑圓環(huán)，圖2為映射后區(qū)域.共形映射表達(dá)式為

(8)

圖2 Mobius共形映射區(qū)域Fig.2 Plane of Mobius conformal transformation

2.2 Laurent級數(shù)展開

φ(z)和ψ(z)在R區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中解析函數(shù)定理，φ(ζ)和ψ(ζ)在r區(qū)域內(nèi)也是解析函數(shù).φ(ζ)和ψ(ζ)的Laurent雙邊冪級數(shù)展開形式為

(9)

(10)

式中，a0，ak，bk，c0，ck，dk可由后文位移函數(shù)確定.

(11)

2.3 確定級數(shù)系數(shù)

地表應(yīng)力邊界條件，即式(6)改寫為

(12)

將式(9)～(11)帶入上面式(12)，得到

(13)

k=1,2,3…

(14)

k=1,2,3…

(15)

隧道洞口位移邊界條件，即式(7)改寫為

(16)

k=1,2,3…

(17)

k=1,2,3…

(18)

(19)

(20)

3 隧道土體變形復(fù)變函數(shù)解

3.1 隧道土體變形計算模型

盾構(gòu)隧道開挖面與襯砌之間存在間隙，為反映隧道開挖推進(jìn)過程和隧道施工造成的地層損失，Lee[9]提出了間隙參數(shù)g，其表達(dá)式為

(21)

Loganathan[10]等研究發(fā)現(xiàn)，圓形隧道地層變形呈橢圓化變形，由此得出地層損失率經(jīng)驗公式；Sagaseta[11]提出隧道邊界最終變形由造成地層損失的洞口徑向均勻收縮、隧道面豎向沉降以及不引起體積變化的襯砌橢圓化變形組成；Park[6]根據(jù)工程經(jīng)驗提出的BC-3和BC-4橢圓化邊界變形形式較符合實際；王立忠[3]、童磊[4]、張治國[5]等采用Park[6]或相似的經(jīng)驗變形形式作為邊界條件來推導(dǎo)解析解，在一定程度上小弱了解析解的優(yōu)勢.

本文根據(jù)混凝土襯砌與隧道孔洞土體相對位置以及位移協(xié)調(diào)關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，完成求解.

襯砌與隧道孔洞空間位置如圖3所示，實線表示未變形前襯砌和孔洞空間位置，虛線所示的橢圓形為變形后土體與襯砌邊界線.

二者位移關(guān)系采用極坐標(biāo)表示為

(21)

圖3 隧道土體變形計算模型Fig.3 Deformation modes of tunnel cavity

根據(jù)Flüegge[12]襯砌位移 - 應(yīng)力關(guān)系(滿足假設(shè)襯砌厚度遠(yuǎn)小于隧道半徑)，得

(22)

(23)

(24)

(25)

式中:Es為襯砌的彈性模量；νs為砌體的泊松比；As為每延米襯砌圓環(huán)的截面面積；Is為每延米

襯砌圓環(huán)對圓心的慣性矩.

根據(jù)土體與襯砌之間無摩擦的假定可知二者接觸面上的應(yīng)力關(guān)系為

(26)

(27)

當(dāng)r=r0時，由式(21)～(23)、(26)和式(27)可得

(28)

求解式(28)微分方程并取特解

(29)

式中，σr為襯砌與土體接觸面上襯砌對土體的 應(yīng)力，淺埋隧道σr=γ(h-r0sinθ′)，γ為土體重度，令m=1+F/C和n=Fr0(1-ν2)/E，最終得

Ur|r=r0=m[-u0(1+sinθ′)]+nγ(h-r0sinθ′)

(30)

3.2 復(fù)變函數(shù)解

圖4 極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Fig.4 Transformation of polarcoordinate

因為上述x′o′y坐標(biāo)系與復(fù)變函數(shù)建立的xoy坐標(biāo)系不同所以對隧道周邊的位移條件變換成如圖4所示的形式.二者之間的關(guān)系為

z=z′-ih

(31)

(32)

(33)

由式(31)～(33)可得到

(34)

(35)

將式(30)轉(zhuǎn)化到z平面上，得到

(36)

將式(36)轉(zhuǎn)化到ζ平面上，得到

(37)

將式(37)代入式(16)，得到

f*(ασ)=(-ασ)·f(ασ)=2(1-ασ)Gu|ρ=α

(38)

則上面各系數(shù)為

A0=-(1+α)2mGu0i

(39a)

A1=(2+3α-α3)mGu0i+(2α-α3-1/α)nr0γGi

(39b)

Ak=-(1-α2)2αk-2(mu0-nr0γ)Gi

(39c)

A-k=0

(39d)

3.3 算法實現(xiàn)程序

本文采用Matlab軟件實現(xiàn)解析函數(shù)求解過程，最終完成隧道周圍土體變形計算.編制的運算程序包括9個參數(shù)，分別為隧道埋置深度、隧道半徑、襯砌內(nèi)半徑、空隙參數(shù)、土體彈性模量、土體泊松比、襯砌彈性模量、襯砌泊松比和土體重度[13].

(1)假定初始a0為任意某一虛數(shù)，帶入公式，求得ak，bk；

(3)將a0、ak、bk帶入公式，求得ck，dk，即求出解析函數(shù)φ(ζ)和ψ(ζ)，根據(jù)z與ζ關(guān)系，確定解析函數(shù)φ(z)和ψ(z)；

(4)根據(jù)位移公式，確定其實部和虛部數(shù)值，即為土體的水平位移和豎向位移(在計算時需注意，各點位移需減去無窮遠(yuǎn)處位移，才與無窮遠(yuǎn)端位移為零的設(shè)定相符合).

圖5 程序流程圖Fig.5 Flow chart of program

4 計算結(jié)果分析

4.1 計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)對比

應(yīng)用Matlab復(fù)變函數(shù)解程序計算Loganathan[10]文章中的Heathrow隧道、Thunder Bay隧道、Green Park隧道、Barcelona隧道和Bangkok下水道地表沉降量，并將計算結(jié)果與各隧道實測地表沉降量對比.5條隧道的工程參數(shù)如表3所示，其它參數(shù)E=Eu，ν=0.2，Es=25 000 MPa，νs=0.2.

圖6 各隧道地表沉降量對比Fig.6 Comparison of ground surface settlements of tunnels

隧道地表沉降量理論計算值與實測數(shù)據(jù)對比結(jié)果如圖6所示，x軸和y軸分別表示地表水平距離(m)和沉降值(mm).從圖中可以看出，采用本文復(fù)變函數(shù)方法計算所得沉降量曲線與實測數(shù)據(jù)分布一致，符合Peck正態(tài)曲線特征.在隧道中心線附近沉降量最大，隨著水平距離增大，沉降量快速減小.同時發(fā)現(xiàn)，理論沉降量和實測沉降量存在一定偏差，理論沉槽寬度比實測寬度略大，需要進(jìn)一步研究.

4.2 隧道地表沉降量影響因素分析

在應(yīng)用復(fù)變函數(shù)求解隧道周圍土體變形理論中，涉及到較多參數(shù)，而每個參數(shù)對最終結(jié)果的影響程度需要進(jìn)行對比研究，在今后的隧道設(shè)計中重視這些參數(shù)的選取.通過理論公式對理論公式研究，土體彈性模量、襯砌彈性模量、襯砌泊松比等參數(shù)對土體變形影響較小.因此，本文假定了7種情況，后6種情況相較第1種情況分別改變一個參數(shù)數(shù)值，如表2所示.形成3組對比，分別就隧道埋置深度、隧道半徑、土體泊松比和土體模量對地表沉降量的影響程度進(jìn)行討論.Es=25 000 MPa，νs=0.2.計算結(jié)果如圖7所示.

表1 隧道工程參數(shù)

隧道埋置深度：在土質(zhì)等其它參數(shù)相同情況下，隧道埋置深度越小，沉降曲線越陡，地表沉降量越大，沉槽寬度越窄.在隧道中心線附近，地表沉降量受隧道埋置深度影響較大，而遠(yuǎn)端則影響不明顯.埋深減小1/4，中心沉降量增大近0.4倍，可見隧道埋置深度是隧道周圍土體變形重要影響因素之一.

隧道半徑：在土質(zhì)其它參數(shù)相同情況下，隧道半徑越大，沉降曲線越陡，但沒有隧道埋置深度影響大，地表沉降量越大，沉槽寬度越大.在隧道中心線附近，地表沉降量受隧道半徑影響較大，而遠(yuǎn)端影響較小.隧道半徑增大1/8，中心沉降量增大近1/7，可見隧道半徑是隧道周圍土體變形的重要影響因素之一，但對沉降曲線形狀影響一般.

土體泊松比：在隧道幾何等參數(shù)相同情況下，土體泊松比越小，地表沉降量越大，沉槽寬度越大.在隧道中心線附近，地表沉積量受土體泊松比影響較大，而遠(yuǎn)端影響較小.土體泊松比減小1/5，中心沉積量增大近1/5，可見土體泊松比也是隧道周圍土體變形的重要影響因素之一，但對沉降曲線形狀影響較小.

上述參數(shù)對土體位移的影響，也一定程度的解釋了上節(jié)中計算結(jié)果與實測結(jié)果存在偏差的現(xiàn)象.實際工程中，地層中土層分布復(fù)雜，與半無限空間彈性體的理想假設(shè)不同.不同層土質(zhì)模量不同，而根據(jù)巴克洛夫斯基當(dāng)層理論，上層模量大的土層被下層模量小的土層替換，則土層厚度增加，則影響隧道埋置深度，影響理論值大小.

表2 7種工況隧道工程參數(shù)

圖7 不同工況地表沉降對比Fig.7 Comparison of ground surface settlements of different cases

5 結(jié)論

(1)本文結(jié)合襯砌和土體之間位置及變形協(xié)調(diào)關(guān)系，提出了圓形盾構(gòu)隧道土體變形的復(fù)變函數(shù)解法.在本方法中，襯砌和土體徑向位移差等于二者前位置差，由此推導(dǎo)邊界變形函數(shù)，而不是采用經(jīng)驗邊界變形函數(shù)，更具有普遍性.在計算中考慮到了無窮遠(yuǎn)端變形為零的情況，使計算結(jié)果更符合實際.

(2)本文的計算方法中涉及的參數(shù)較少，且容易測定，具有較強的通用性.

(3)隨著隧道埋置深度的減小，隧道中心附近土體變形增大顯著，而遠(yuǎn)端略有減小，沉槽寬度明顯變窄；隨著隧道半徑的增大，隧道中心附近土體變形增大顯著，沉槽寬度變寬；隨著土體泊松比變小，隧道中心附近土體沉降增大，沉槽寬度變寬.即隧道埋置深度、隧道半徑、土體泊松比均是隧道土體變形重要影響因素，而土體模量、襯砌模量等因素，在本計算方法中對結(jié)果影響較小.