例談“平面向量”中“結(jié)構(gòu)模式”的建構(gòu)和應(yīng)用①
——一道2019年高考題引發(fā)的思考

吳莉娜 陳玉娟

(江蘇省常州高級中學(xué) 213003)

1 問題的提出與呈現(xiàn)

2019年高考剛結(jié)束時,多種渠道傳出了“今年數(shù)學(xué)難”的聲音,對此,人教版新編教材主編章建躍博士說：“看了今年的高考題,感覺這些題目很平凡,與教材上的題目沒有本質(zhì)性差別,看到網(wǎng)上鋪天蓋地的‘數(shù)學(xué)太難’,又使我感到非常的困惑,問題出在哪里呢”?很多知名專家和一線教師參與討論：“教師教學(xué)中不重視教材、讓學(xué)生做太多的題目”、“學(xué)生閱讀碎片化、缺乏深入思考的習慣、稍有困難就上網(wǎng)刷題”.……對此章博士提出：“我覺得,已經(jīng)到了非對我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行深刻反省的時候了”.

高考結(jié)束后,筆者在與本校考生的交流過程中發(fā)現(xiàn),很多同學(xué)感覺填空的第12題(考題如下)比第13、14題難.

圖1

為此,筆者仔細研究了該題,并與教研組老師溝通交流,反思我們的教學(xué),大家對以上專家的見解很有共鳴！我們在教學(xué)中常常更多強調(diào)的是對數(shù)學(xué)概念的理解,對定理、公式的推導(dǎo),對經(jīng)典題型的訓(xùn)練,而忽視如何從問題出發(fā)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型,通過對模型的分析研究去認識和解決問題的訓(xùn)練.長久以往,學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)造能力難以得到有效的培養(yǎng).本文以此高考題為載體,就蘇教版《高中數(shù)學(xué)必修4》中“平面向量”的教學(xué),談一點自己的思考.敬請同行批評指正.

2 問題的分析與解決

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,有著極其豐富的實際背景.它把運算的對象從數(shù)、字母擴展到了向量,這是學(xué)生第一次有意識地根據(jù)解決問題的需要定義運算,這無疑是學(xué)生認識上的一次飛躍,帶給他們比較大的困難.因“陌生”而“害怕”,所以考生感覺第12題難于熟悉的第13的“三角”題和第14的“函數(shù)”題就不足為怪了！

筆者認為教材是教學(xué)的依據(jù),是實現(xiàn)課程目標、實施教學(xué)的重要資源.教師應(yīng)較好地使用教材,但又不囿于教材,潛心挖掘教材的內(nèi)蘊功能.這樣才能展現(xiàn)教者的內(nèi)功和智慧.

2.1 以教材編寫意圖為基準點,構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系,深刻理解向量概念與運算

向量是重要的數(shù)學(xué)模型,學(xué)習數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程.蘇教版教科書是按照“建構(gòu)模型——研究模型——應(yīng)用模型”的順序展開的.這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程,突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),形成對數(shù)學(xué)完整的認識,達到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的,同時也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的發(fā)展.

為此,筆者認為教學(xué)中應(yīng)以核心概念和重點知識為主線,整體設(shè)計和把握單元或章節(jié)知識的基本結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起良好的知識體系和結(jié)構(gòu)模式,實現(xiàn)知識和方法的結(jié)構(gòu)化,以利于學(xué)生清晰、系統(tǒng)地研究、理解和掌握這些數(shù)學(xué)知識和模型.

圖2 平面向量一章知識結(jié)構(gòu)圖

圖3 平面向量的加法一節(jié)的知識結(jié)構(gòu)圖

教學(xué)中應(yīng)注意應(yīng)用對比和類比的方式,化陌生為熟悉,這樣可以加深學(xué)生對知識的理解.

本章要求學(xué)生掌握向量的線性運算和數(shù)量積的運算,每種運算都有不同的運算形式.教學(xué)中應(yīng)系統(tǒng)整合,重點突出,使相應(yīng)的核心概念、基本運算和性質(zhì)形成一個有機整體.

表1 平面向量基本運算結(jié)構(gòu)圖

續(xù)表

進行以上知識儲備和“熱身運動”之后,就可以游刃有余地解決例1了.

2.2 以向量基本運算為切入點,選擇不同的運算模式,靈活解決高考題

不同的解題方法,可以培養(yǎng)學(xué)生不同的思維方式.通過一題多解,可以開闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維,讓學(xué)生學(xué)會多角度分析和解決問題.

2.2.1 依據(jù)平面向量定理,構(gòu)建基底,運用向量運算的代數(shù)性質(zhì)解決問題

除了向量的運算法則及運算律可以進行橫向類比,向量的一些重要定理,如一維情形下的共線條件,到二維情形下的平面向量基本定理,進而今后推廣到三維情形下的空間向量基本定理,也可進行縱向類比.

蘇教版《高中數(shù)學(xué)必修4》對這兩個定理分別是這樣描述的：

向量共線定理對于兩個向量a(a≠0),b,如果有一個實數(shù)λ,使b=λa(a≠0),那么b與a是共線向量；反之,如果b與a(a≠0)是共線向量,那么有且只有一個實數(shù)λ,使b=λa(a≠0).

平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

有了這兩個定理的“保駕護航”,就可以構(gòu)建基底向量,把題設(shè)和目標中的向量都集中用基底向量表示,運用向量的代數(shù)運算形式和性質(zhì)使問題得以解決.

“基底法”是向量問題中比較通用的一種解題模式.

2.2.2 根據(jù)題設(shè)圖形特點,構(gòu)建輔助線,運用向量運算的幾何形式解決問題

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具和數(shù)學(xué)概念.它既有大小又有方向,大小反映了向量數(shù)的特征,它可以運算.方向反映了向量形的特征,可以刻畫點、線、面等幾何對象.所以在教學(xué)中應(yīng)突出數(shù)形結(jié)合思想,從形與數(shù)兩方面來理解、研究向量及其運算.

解法2過點D作DM∥CE交AB與點M,如圖4.因為D是BC中點,所以M是BE中點,又BE=2EA,所以E是AM中點,所以O(shè)是AD中點.

圖4

“幾何法”是向量問題中比較直觀簡潔的一種解題模式,更適合用于填空題.

2.2.3 依托平面直角坐標系,建系設(shè)點,運用向量運算的坐標形式解決問題

向量的坐標定義的引入,為向量提供了新的語言——“坐標語言”.這種定義和用正交分解的方法給出的定義是等價的,它從“數(shù)”的層面通過坐標來對向量進行考察,從另一方面突出了數(shù)形結(jié)合的思想.平面向量坐標運算及其性質(zhì),實際上只是把相關(guān)知識 “翻譯”成“坐標語言”,但更容易為學(xué)生接受和理解.

解法3以點E為原點,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,如圖5.設(shè)AB=3,C(a,b),

圖5

把相關(guān)坐標代入化簡得

a2+2a+b2=2,即(a+1)2+b2=3.

“坐標法”是向量問題中比較方便,也是學(xué)生比較熟悉和喜歡的一種解題模式.

最后需要指出的是,就此高考題的解法,運用特殊化原則,設(shè)AB⊥AC最為簡潔易行.

2.3 以數(shù)學(xué)思想方法為生長點,靈活選用運算模式,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)習數(shù)學(xué)知識離不開數(shù)學(xué)思想方法.從教育心理學(xué)的角度看,在知識的領(lǐng)會、知識的保持、知識的應(yīng)用三者中,教學(xué)更應(yīng)側(cè)重于知識的應(yīng)用.筆者認為平面向量的教學(xué)應(yīng)以概念、運算為基礎(chǔ)和載體,把化歸的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、整體替換的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在解題策略中加以滲透,融會貫通,設(shè)計合理簡捷的運算程序,靈活選用運算模式,從而進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,提高學(xué)生數(shù)學(xué)解模的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

通過廣泛聯(lián)想,積極創(chuàng)新思維,多方位探求,我們可以得到多種解法,如：

也可以從條件出發(fā),聯(lián)想到平行向量和向量模的幾何意義,運用數(shù)形結(jié)合的思想,從而簡化運算.

把上述各種求解的思想方法整合融通,可以總結(jié)得出如下的框架結(jié)構(gòu)：

3 結(jié)束語

布魯納指出:“基本概念和原理是學(xué)科結(jié)構(gòu)最基本的要素”,這些基本結(jié)構(gòu)反映了事物之間的聯(lián)系,具有“普遍而有力的適用性”.向量既是重要的數(shù)學(xué)模型,又是重要的物理模型,知識體系的整體性、相通性、關(guān)聯(lián)性的特點決定解決向量問題方法的多樣性和普遍性.教學(xué)中首先應(yīng)是在見樹木更見森林,見森林才見樹木下整體構(gòu)建知識體系.其次要體會向量概念與運算的意義,感悟運算、推理在探索和發(fā)展中的作用,拓寬思路、探索求新去研究結(jié)構(gòu)模式.最后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多方位思考,注重數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透和靈活運用去解決數(shù)學(xué)模型.這樣才能有助于學(xué)生深刻理解、熟練掌握和靈活運用數(shù)學(xué)知識,才能切實提高教學(xué)質(zhì)量,有效實施學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和落實.