基于數(shù)學整體性的“四邊形”課程、教材及單元教學設計

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

1 平行四邊形在平面幾何課程中的地位

三角形雖然是最簡單的幾何圖形，但空間的大部分基本性質都已在三角形的幾何性質中充分體現(xiàn).那么，為什么還要安排四邊形的有關內容？它有什么特性？它在研究空間性質時扮演了怎樣的角色？發(fā)揮著哪些不可替代的作用？……這些問題是我們在設計和實施四邊形課程時需要認真思考的問題.

在平面幾何中，我們一般先對平面圖形進行定性研究，然后再作定量分析.這樣的過程反映了人類認識事物的普遍進程，是一個由此及彼、由表及里、從現(xiàn)象到本質進而把握事物規(guī)律的自然過程.在定性研究幾何中的“等”與“不等”時，我們可以完全不用平行性.而在定量研究中，平行性具有舉足輕重的地位，它的作用是大大簡化了定量幾何的基礎理論和基本公式.實際上，過直線外一點是否能作唯一一條平行線(等價于三角形的內角和是否等于180°)，就是歐氏幾何與非歐幾何的分水嶺，前者的基本公式要比后者的基本公式簡單得多，像矩形面積公式、勾股定理、相似三角形定理等，在非歐幾何中或者根本沒有，或者要復雜得多(1)項武義. 基礎數(shù)學講義叢書·基礎幾何學. 北京：人民教育出版社，2004，p.41～42.而在平行性的研究中，平行四邊形是一個主要工具，就像等腰三角形在研究對稱性時所扮演的角色一樣.因此，四邊形的課程內容應聚焦平行四邊形，以便引導教師把精力放在平行四邊形的教學上，使學生牢固掌握平行四邊形的性質，從而為定量幾何的學習打下基礎.其實，平行四邊形也是中心對稱圖形，矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，所以它們也是幾何變換的重要工具.另外，平行四邊形法則是現(xiàn)實事物所遵循的規(guī)律，平行四邊形的性質在現(xiàn)實中也有大量應用.總之，無論從數(shù)學內容的本質、核心與關鍵看，還是從平面幾何課程的削支強干、精益求精考慮，在四邊形課程中，我們都應該把注意力放在平行四邊形上.

2 四邊形的教材建構

2.1 關于平面幾何內容的安排

從數(shù)學的整體性出發(fā)，初中平面幾何的內容安排要在對幾何基本概念(立體圖形、平面圖形、點、直線、射線、線段、角等)形成直觀認識的基礎上，按圖形的復雜程度，先安排兩條直線的關系，再安排三角形、四邊形、圓，以及兩個圖形的關系(相似形)，圖形的平移、軸對稱和旋轉等工具類內容可以根據(jù)研究圖形性質的需要和學生的知識儲備“見機行事”，而尺規(guī)作圖則應在每一個圖形的研究中隨時隨地的提出要求.當然，圖形簡單并不意味著好理解，例如直線似乎是簡單的，但這個“直”就很難嚴格定義，這樣的內容往往擔負著“從無到有”的創(chuàng)生任務，所以處理時應“點到為止”，待學生知識儲備充分后再螺旋上升.具體處理時采用“擴大幾何公理體系以降低幾何入門難度”的做法，把“兩點確定一直線”、“兩點間線段最短”、“垂線的唯一性”、“點到直線的垂直線段最短”、“平行線的唯一性”、“同位角相等，兩直線平行”、 “平行線的同位角相等”、“三角形全等的三個判定”等作為公理，通過直觀感知、操作確認的方式使學生認可結論，在此基礎上作為證明其他命題的依據(jù)，這是我國平面幾何課程改革的成功經(jīng)驗.從有利于學生形成研究一個幾何圖形的完整經(jīng)驗考慮，三角形的內容整體上應按從一般到特殊、從定性到定量的架構安排.在相對完整地學習三角形后，再安排四邊形的有關概念(包括四邊形的定義，頂點、邊、內角、外角、對角線等要素)和基本性質(內角和公式、外角和公式等)，并將四邊形的概念和基本性質推廣到多邊形.然后，類比三角形的研究路徑，以概念的內在邏輯關系為依據(jù)，以“屬+種差”的定義方式，通過“要素或要素關系的特殊化”，順序安排平行四邊形、矩形、菱形、正方形，并以“背景——概念——性質——判定——應用”的基本套路展開具體內容.

2.2 關于平行四邊形的教材內容

在構建平行四邊形教材體系、處理具體內容時，要把握如下要點：

(1)加強公理化思想的滲透

將平行四邊形作為一個完整獨立的內容，以公理化思想為指導，從概念抽象開始，層層遞進地展開相關內容，使學生體會如何邏輯嚴密地構建一類平面圖形的知識體系.這里要特別注意，平行四邊形的教材應避免不必要的“聯(lián)系實際”，主要從數(shù)學內部創(chuàng)設情境并提出數(shù)學問題，形成自然而然、環(huán)環(huán)緊扣、邏輯嚴密的“平行四邊形——矩形——菱形——正方形”整體架構，引導學生經(jīng)歷用數(shù)學的眼光觀察圖形要素與關系，用數(shù)學思維思考圖形的性質與判定，用數(shù)學的語言嚴謹?shù)乇磉_的完整過程，讓學生干凈利索地學數(shù)學，獲得嚴密的推理論證訓練，使直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)得到發(fā)展.

(2)加強一般觀念的引導

要給學生以“如何抽象圖形的概念”、“圖形的性質、判定指什么”、“如何通過歸納、類比發(fā)現(xiàn)和提出命題”、“如何利用推理的基本形式和規(guī)則探索和表述論證過程”等等的明確指導，創(chuàng)設適當?shù)那榫?，引導學生進行自主探究，發(fā)現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質與判定，并給出嚴密的證明.

(3)加強推理論證的訓練

平行四邊形的學習是培養(yǎng)推理論證能力的關鍵時機.要明確作為“應用三角形的知識(特別是等腰三角形、直角三角形性質)研究四邊形”的定位，不僅訓練學生用綜合法證明涉及較多知識的幾何命題，從而提高推理論證能力，而且讓學生從分析圖形的要素和題設出發(fā)，經(jīng)過從特殊到一般、類比、歸納等探索性活動發(fā)現(xiàn)結論、形成命題，通過邏輯推理給出證明，最終形成平行四邊形的知識體系.

(4)加大自主探究的力度

因為學生已經(jīng)在三角形中積累了較為豐富的學習經(jīng)驗，而平行四邊形的研究內容、過程與方法與三角形有極大的可類比性，而且有相交線與平行線、三角形的知識儲備，以及平移、軸對稱、中心對稱等工具可用，所以應把平行四邊形作為培養(yǎng)學生探究發(fā)現(xiàn)能力的載體，為學生創(chuàng)設更大的自主學習空間，引導學生通過自主探究，整體構建平行四邊形的研究框架，在一般觀念的引領下，經(jīng)歷完整的“概念——性質——判定——應用”的過程，理解平行四邊形的概念內涵、組成要素和相關要素等，再通過對內涵、要素、相關要素等之間關系的探索，或通過建立相關概念的聯(lián)系而發(fā)現(xiàn)結論、提出猜想，最后通過邏輯推理證明結論、得出定理.同時，要通過適當?shù)那榫?，引導學生從一般到特殊，逐步提出值得研究的新對象、新問題，最終形成“四邊形——平行四邊形——矩形——菱形——正方形”的完整知識體系.

3 體現(xiàn)數(shù)學整體性的教學過程設計

下面以教學過程設計的形式具體呈現(xiàn)我們對四邊形內容的教材設計與教學實施的思考.

問題1前面比較系統(tǒng)地研究了三角形.你能回顧一下我們是如何展開研究的嗎？包括研究內容、過程、方法，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法.

師生活動：先由學生思考，畫出三角形知識的邏輯結構圖，再由教師幫助完善，形成圖1.要特別注意從“如何構建幾何圖形的研究路徑”、“概念抽象的要點”、“圖形的性質指什么”等進行歸納總結.

圖1

追問：類比三角形的研究，你認為我們可以如何研究四邊形？

師生活動：先讓學生獨立思考，再組織全班交流，得出研究的基本路徑：

抽象研究對象(給四邊形下定義)——研究性質(研究四邊形的要素、相關要素之間的關系)——研究特例(要素有某些特殊關系或特殊取值的四邊形，以“定義——性質——判定”的路徑展開).

設計意圖：幫助學生梳理研究思路，強化“定義——性質——特例”的研究路徑，明確研究一個幾何圖形的基本套路，明確要研究的主要問題.

問題2類比三角形概念的抽象過程，你能抽象出四邊形的概念嗎？

追問1：抽象四邊形概念要完成哪些事情？

師生活動：學生獨立思考后回答，要完成“定義——表示——分類”.學生模仿三角形定義給出四邊形的定義“由四條線段首尾相接組成的圖形叫做四邊形”后，讓學生根據(jù)這個“定義”畫出圖形.在學生畫圖的基礎上，利用學生做出的圖形(教師可以補充)，得出如圖2的三類圖形.

圖2

追問2：我們發(fā)現(xiàn)，僅僅模仿三角形的定義還不能得到嚴格的四邊形定義.你覺得應再加上什么條件？

師生活動：教師引導學生分析上述圖形的結構特點，指出圖2(3)中有兩條線段相交，不是四邊形，所以應加上“四條線段互不相交”的條件，并給出四邊形的邊、頂點等概念.

追問3：根據(jù)定義，我們發(fā)現(xiàn)四邊形有凹凸之分.你認為該如何嚴格區(qū)分？

師生活動：教師在引入對角線概念的基礎上，引導學生分析兩類四邊形對角線的特征，發(fā)現(xiàn)凸四邊形的對角線一定相交(如圖3(1)，對角線AC，BD相交)，凹四邊形的對角線不相交(如圖3(2)，對角線AC，BD不相交)，然后教師指出：這里只研究凸四邊形.

圖3

設計意圖：先讓學生模仿三角形定義給出四邊形定義，通過作圖發(fā)現(xiàn)可以有多種情形，然后補充條件而得出嚴格的定義，可以讓學生領悟抽象數(shù)學概念的過程與方法，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).

問題3有了四邊形的概念，接著要探索四邊形的性質.你認為要探索哪些內容？能得出哪些性質？

師生活動：先讓學生獨立思考，仿照三角形性質的研究過程，通過探索四邊形的要素、相關要素之間的關系得出性質，具體研究內角和、外角和，邊與對角線的大小關系等.可以得到：

(1)四邊形的內角和為360°，外角和為360°；

(2)四邊形的對角線之和大于周長的一半，小于周長.

設計意圖：讓學生類比三角形性質的研究，提出四邊形性質所要研究的問題，并自己歸納、證明相關結論.這里的任務難度適當，可由學生獨立完成，可以提升“四能”，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

問題4我們已經(jīng)研究了一般的四邊形，得出了相關性質.類比三角形的研究過程，接下來你想研究什么？如何研究？

師生活動：由學生獨立思考后回答.學生可能會有兩種回答，一是研究兩個四邊形的關系，二是研究特殊的四邊形.教師可以指出，兩個四邊形的關系(全等、相似等)也是可以研究的，但有了三角形全等、相似的相關結論，這個問題的研究價值比特殊四邊形的研究價值小.對于特殊四邊形，可以提出如下問題：

追問：你認為特殊的四邊形有哪幾類？如何定義？

師生活動：先讓學生在獨立思考的基礎上交流，教師再引導討論，得出分類標準，即以四條邊的特殊位置關系、特殊大小關系或角的特殊取值為分類標準.在充分討論的基礎上，教師可以說明，對于線段而言，位置關系中平行是最特殊的，大小關系中相等是最特殊的；角的取值中，四個角相等(都為90°)是最特殊的.所以，將“兩組對邊分別平行”作為平行四邊形的定義，而四條邊相等的四邊形、四個角都是直角的四邊形都是平行四邊形的特例.在研究的邏輯順序上應先研究平行四邊形，再研究特殊的平行四邊形.

設計意圖：四邊形的特殊化可以有多個途徑，例如“邊相等”、“邊平行”、“邊垂直”，“角相等”、“角取特殊值90°”……特殊化以后可以再分析、再歸類，最后給出定義.這個過程主要涉及分類，而分類是認識數(shù)學對象的重要環(huán)節(jié)，并且也是數(shù)學研究的一個關鍵特點.正如陳省身先生在《從三角形到流形》中指出的：“考察某種數(shù)學對象的全部，并把它們加以分類，這是數(shù)學中的典型手法，這種手法在實驗科學中是行不通的，因此它是理論科學和實驗科學方法論上一個根本性的差別.”

四邊形的分類是培養(yǎng)學生抽象思維的好素材，也與學生的認知水平相適應.讓學生經(jīng)歷分類過程，并形成研究平行四邊形的邏輯結構，即以“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”為定義，以此為出發(fā)點，展開對四邊形的邊、角、對角線關系的研究，得出性質定理和判定定理，這個過程可以有效培養(yǎng)學生的邏輯思維，使數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)得到發(fā)展.

問題5我們已經(jīng)得到了平行四邊形概念，根據(jù)研究等腰三角形、直角三角形的經(jīng)驗，接下來你想研究什么？

在學生回答“研究平行四邊形的性質和判定”后，教師追問：

“平行四邊形的性質”要研究的問題是什么？你能得出哪些猜想？你能證明這些猜想嗎？

師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行小組交流，明確“要研究的問題”是：

如圖4，對于四邊形ABCD，以AB∥CD，AD∥CB為條件，研究它的元素及相關元素的位置關系、大小關系，即研究四邊形的四條邊、四個內角、對角線等的位置關系、大小關系.

圖4

在明確問題之后，由學生進行自主探索，完成后再組織全班交流，得出性質定理及其證明.

設計意圖：對于平行四邊形性質的探索與證明，以往的做法是“分別探索”，即按“猜想n——證得性質定理n——例題——練習”的過程，一堂課完成一個性質定理的教學.這樣的過程，看似把每一個定理都“砸得很實”，但缺乏探索一個圖形性質的整體性，割裂了性質間的內在關聯(lián)，使原來在內涵、思想方法上具有一致性和連貫性的內容被人為切割，導致數(shù)學知識的碎片化，不僅對理解圖形的性質不利，而且破壞探索的節(jié)奏，大大降低學習效率.

這里要強調，在給出平行四邊形定義后，給出含有兩條對角線的圖4，先讓學生思考、明確探索平行四邊形的性質到底要做什么，即知道要做的事情是“以‘四邊形的兩組對邊分別平行’為條件，推出四邊形的邊、角、對角線有哪些確定的關系”，然后再觀察圖形，就容易得出相關性質.在圖4中有四組全等三角形，即△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，利用它們可以一氣呵成地推得平行四邊形的性質.

另外，課堂觀察發(fā)現(xiàn)，有的老師在平行四邊形性質的教學中，把“已知四邊形ABCD為平行四邊形，那么AB∥CD，AD∥CB”作為第一條性質，這個做法不符合“從定義出發(fā)，推出性質”的邏輯規(guī)則，容易給學生造成思維混亂.對于平行四邊形而言，如下特性：

(1)兩組對邊互相平行，

(2)兩組對邊分別相等，

(3)兩組對角分別相等，

(4)兩條對角線互相平分，

(5)一組對邊平行且相等

具有邏輯等價性，即從任意一個特性成立，可以通過邏輯推理得出其余特性都成立.我們將(1)作為定義，實際上就是規(guī)定了推導平行四邊形性質的邏輯基礎是(1)，以(1)成立作為前提，去推導(2)～(5)成立.

順便說明，我們其實可以把“以(1)～(5)中任意一個為條件，推出其他四個成立”作為練習.這樣的作業(yè)難度不大，但對學生把握知識的邏輯結構、發(fā)展邏輯思維和推理論證能力等，都很有好處.

問題6根據(jù)研究等腰三角形、直角三角形的經(jīng)驗，接下來我們可以研究什么？你想如何研究？

在學生回答“接下來探索平行四邊形的判定”后，教師追問：

追問1：“平行四邊形的判定”要研究的問題是什么？

在學生回答“要探究的是由怎樣的條件可以推出四邊形的兩組對邊分別平行”后，教師繼續(xù)追問：

追問2：從平行線的性質和判定、等腰三角形的性質和判定之間的邏輯關系看，“性質”和“判定”有怎樣的內在聯(lián)系？你能猜想并證明平行四邊形的判定定理嗎？

師生活動：教師引導學生回顧已有學習經(jīng)驗，明確判定定理和性質定理之間互為逆命題的關系，再由學生獨立完成判定定理的猜想和證明，得出平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

設計意圖：在探索并證明性質定理，通過適當?shù)木毩曥柟毯螅皶r提出平行四邊形判定定理的探索和證明的任務.在具體探索之前，先引導學生回顧已有經(jīng)驗，明確判定定理要研究的問題以及“判定”與“性質”的邏輯關系，可以使學生順利猜想判定定理.與性質定理的探索一樣，判定定理的猜想與證明也要一氣呵成.探索過程中，學生可以有不同的路徑，證明方法也可以是多樣化的.

同樣的，要注意判定定理要研究的問題是：對于一個四邊形，具備怎樣的條件，就可以推出它的兩組對邊分別平行.“定義”既是“性質”也是“判定”，但在對圖形的探索中，“定義”是前提，是探索“性質”、“判定”的出發(fā)點，探索“判定”就是探索“兩組對邊分別平行”的等價條件.

問題7以上我們對平行四邊形進行了完整的研究，請你帶著下面的問題進行總結：

(1)通過學習，你獲得了哪些知識？

(2)我們是按怎樣的路徑展開研究的，你能按照這個路徑畫出本單元內容的思維導圖嗎？

(3)在研究一個幾何圖形時，定義、性質、判定是基本而重要的研究任務.你能說說這三者的邏輯關系嗎？

(4)平行四邊形是特殊的四邊形，實際上是在四邊形定義的基礎上增加一個限制條件.你能說說增加限制條件的方法嗎？利用這一方法，你能在平行四邊形定義的基礎上增加適當?shù)臈l件，給出一種特殊的平行四邊形定義嗎？

師生活動：先讓學生獨立思考后完成小結，再進行小組和全班交流.

設計意圖：(1)是引導學生總結學到的知識；(2)與(1)相結合，通過平行四邊形的知識結構圖，促使學生形成清晰的平行四邊形認知結構；(3)通過回顧平行四邊形的定義、性質、判定所研究的問題，明確它們的邏輯關系，使學生得到數(shù)學思維方式的訓練，明白探索的邏輯順序以及每一個環(huán)節(jié)的研究任務，培養(yǎng)學生有邏輯地思考的習慣；(4)通過“圖形的組成元素、元素間的關系的特殊化給出值得研究的新對象”，進一步加強“屬+種差”的定義方式，使“四邊形——平行四邊形——矩形、菱形——正方形”的研究邏輯更清晰，同時也為后續(xù)研究奠定基礎.

4 關于特殊的平行四邊形的教學處理

從四邊形到平行四邊形的教學設計中，我們強調了數(shù)學內在的邏輯性，從知識的發(fā)生發(fā)展過程中，自然而然地提出需要研究的問題，強調“定義”、“性質”、“判定”之間的邏輯關系，在明確它們各自要研究的問題的基礎上，引導學生有序地展開探索.同時，我們還強調通過類比三角形、平行線等探索過程，從數(shù)學內部構建情境，從數(shù)學角度提出明確的問題，讓學生在問題的引領下展開自主探索、合作學習.這樣做的目的就是要發(fā)揮數(shù)學的內在力量，使學生通過本單元的學習，得到理性思維的發(fā)展.在如此設計的教學中，學生學到的就不僅僅是概念、性質定理、判定定理等形式化知識，從中得到的關于研究一個幾何對象的基本套路、思想方法，對如何抽象一個幾何對象、幾何圖形“性質”或“判定”所研究的問題是什么、如何發(fā)現(xiàn)、如何證明等等的領悟，可以容易地遷移到矩形、菱形、正方形的探索中，并且也能在研究其他圖形中發(fā)揮作用.因此，我們主張，特殊的平行四邊形，應該讓學生自學.可以采取“綜合實踐活動”、“課題研究”或“數(shù)學探究活動”的方式展開教學.

因為探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理、判定定理的過程與平行四邊形相關定理的探索過程完全一致，而且可以利用等腰三角形、直角三角形以及軸對稱、中心對稱等工具，這就使探索的內容很豐富，探索的方法也更多樣化，所以這是一個發(fā)展學生創(chuàng)新意識和實踐能力的好素材，具體細節(jié)不再贅述.

在研究平行四邊形時，我們總是利用三角形的知識，這是非常自然的.實際上，平行四邊形就是兩個全等三角形的相等邊疊合在一起而成的.作為平行四邊形對三角形的應用，三角形中位線定理的探索和證明是一個好素材.教學中可以提出用不同方法證明定理的要求，例如下列圖5表明了不同的證法：

圖5

其中，(1)利用E為AC中點，延長DE至F，使EF=DE，構造平行四邊形ADCF；(2)過AB中點D作DF∥AC，交BC于F，證明F即為BC中點；(3)構造平行四邊形ABCG，延長DE交CG于F，可證BCFD為平行四邊形；(4)利用平行四邊形為中心對稱圖形，過中心O作EF∥BC，可證E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點.

5 小結

從四邊形到平行四邊形再到矩形、菱形、正方形是一個大單元，對它們的研究，無論是研究的內容和結構、過程和方法，都有極大相似性，圖6是本單元的結構圖.

圖6

在教材編寫和課堂教學中，我們要利用好這個特點.對于一般四邊形，要注重發(fā)揮四邊形概念的教育價值.從三角形的定義到四邊形的定義，既有一致性，又有拓展性，讓學生在首尾相接的四條線段形成的不同圖形的分類中，體驗數(shù)學對象的定義方法，領悟數(shù)學定義的嚴謹性.平行四邊形的定義、性質與判定是重點，要在“將四邊形組成元素的位置關系、大小關系特殊化”這一一般觀念的指引下，通過對不同特殊化圖形的分類活動得出平行四邊形的定義；要在“研究平行四邊形的性質，就是以兩組對邊分別平行為前提，探索它的組成元素、相關元素之間的位置關系、大小關系”的引導下，猜想性質、給出證明；要在“研究判定，就是探索‘兩組對邊分別平行’的等價條件”的指引下，利用“判定”與“性質”的邏輯關系，通過探索性質定理的逆命題是否成立而得出判定定理.研究矩形、菱形和正方形的基本套路和思想方法是一樣的，都可以從平行四邊形的研究中遷移過來，因此可以設計為數(shù)學探究活動的素材，完全讓學生自主探究.