基于魯棒滑模策略的伺服電機改進內(nèi)?？刂?/h1>

2020-08-01 09:32:26陳凱鑌陶沙沙王從明

微電機訂閱 2020年7期 收藏

陳凱鑌，徐 俊，陶沙沙，王從明，余 冬

(1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程學(xué)院,成都 610000；2.西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，西安 710038；3.成都石化工業(yè)學(xué)校，成都 610000)

0 引 言

伺服電機因其高效、高性能、低噪聲、高功率和大轉(zhuǎn)矩等優(yōu)點在工業(yè)、航空航天、汽車等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。學(xué)者不斷地探索著更先進的控制理論，以期實現(xiàn)伺服系統(tǒng)的高精度控制，但是其惡劣的工作環(huán)境以及機械結(jié)構(gòu)建模的不確定性使得伺服電機的高精度控制一直存在問題[3-4]。

內(nèi)?？刂?Internal Model Control,IMC)為分析和設(shè)計控制系統(tǒng)提供了一個有效、直觀、簡單的框架,因此在電機控制中應(yīng)用廣泛[5]。文獻[6]針對永磁同步電動機調(diào)速系統(tǒng)，提出了一種模糊自適應(yīng)內(nèi)模控制策略；文獻[7]中提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)結(jié)合內(nèi)?？刂破鞯男滦涂刂品桨?；文獻[8]在2自由度內(nèi)模控制(2 Degree of Freedom,2DOF-IMC)策略中引入了一種免疫算法來實現(xiàn)異步電機的運動控制等，但是上述文章設(shè)計的控制器性能依賴于參數(shù)與先驗知識，使得控制性能具有一定保守性，此外，還有一些參數(shù)需要在線調(diào)整，為了保證自適應(yīng)律的收斂性還需更多的處理，這增加了其工程應(yīng)用的難度。

滑模變結(jié)構(gòu)控制(Sliding Mode Control,SMC)利用邊界條件可以獲得較好的魯棒性，從而獲得較高的跟蹤精度[9]。這種控制方法已廣泛應(yīng)用于實際工程中，如伺服電機控制[10]、電液控制[11]、機器人控制[12]等。然而，要得到更好的跟蹤性能，必須抑制抖振。但是由于實際的系統(tǒng)中存在著有限的切換頻率和未建模動態(tài)，若通過邊界層解減弱其抖振，這可能會導(dǎo)致存在恒定干擾時產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，使得控制精度下降。

綜合上文所提到的控制策略缺點，通過借鑒了內(nèi)?？刂圃砗突？刂评碚?，提出了一種基于魯棒滑模控制律的2自由度增強型內(nèi)?？刂破鳎糜谒欧姍C在模型不確定性和外界干擾下的的高性能運動控制。不同于之前所提到的將內(nèi)模控制主要用于預(yù)測的策略，該控制策略是通過SMC結(jié)構(gòu)對基于IMC的控制器的控制性能進行分析，并利用基于SMC方法的魯棒控制律處理基于IMC控制器的魯棒性問題。為了解決穩(wěn)態(tài)誤差問題，在新型控制架構(gòu)中引入了基于2DOF-IMC結(jié)構(gòu)的增強型IMC策略，來進一步提高其控制性能。

1 系統(tǒng)建模

伺服系統(tǒng)主要包括交流伺服電機和直接驅(qū)動慣性負載的伺服驅(qū)動器。該系統(tǒng)慣性荷載的動力方程為

(1)

式中,θ為系統(tǒng)輸出的角位移，J為慣性負載，B為粘滯摩擦系數(shù)，u為控制輸入轉(zhuǎn)矩、D(t)為未建模干擾，如外部干擾和未建模動態(tài)。將式(1)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型為

(2)

式中,x1和x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量，分別表示角位移和速度，φ=[φ1,φ2]T=[1/J,B/J]T為系數(shù)向量，d(t)=D(t)/J為擾動。根據(jù)文獻[13]做出以下假設(shè)：

假設(shè)1.參數(shù)不確定性的邊界已知，即：

φ∈Ωφ,{φ:φmin≤φ≤φmax}

(3)

假設(shè)2.未知干擾d(t)的邊界為

‖d(t)‖≤dmax<+∞

(4)

其中,dmax已知。

2 控制器設(shè)計

2.1 基于IMC的標(biāo)準(zhǔn)控制器設(shè)計

由式(1)可得伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(5)

式中，Jn和Bn分別為參數(shù)J和B的標(biāo)稱值，Gn(s)為過程的標(biāo)稱模型。本文選取的IMC濾波器為

f(s)=1/(λs+1)

(6)

IMC濾波器f(s)用于實現(xiàn)特定跟蹤。其中λ為IMC濾波器的時間常數(shù)。基于標(biāo)準(zhǔn)IMC的PD控制器可以表示為[14]

(7)

其中,kp=Bn/λ和kD=Jn/Bn分別為比例系數(shù)和微分系數(shù)。相應(yīng)的輸出可以表示為

(8)

其中,R為參考軌跡?？紤]到R(s)=0，D=0的調(diào)節(jié)器情況，假設(shè)G(s)=Gn(s)，則輸出可表示為

(9)

由式(9)可知，在輸入擾動為常數(shù)時，跟蹤響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，不能保證系統(tǒng)控制要求。

2.2 基于SMC的魯棒SIMC-PD控制器設(shè)計

魯棒滑?？刂平Y(jié)合標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)?？刂?Standard Internal Model Controller,SIMC)的控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，該控制器可表示為

圖1 SMC-SIMC-PD控制器的結(jié)構(gòu)

(10)

其中,uIMC為從SIMC-PD控制器式(7)中推導(dǎo)出來的線性反饋控制律，k1=Bn/Jn和k2=Jn/λ為反饋增益，uR為魯棒控制律，用于減小模型誤差或外部干擾的影響。

選擇uR作為滑模面切換函數(shù)，即uR=-α×sign(z2)。然而，這種不連續(xù)的控制規(guī)律會導(dǎo)致抖振，從而導(dǎo)致跟蹤性能不夠理想。為了減小抖振，提出了一種連續(xù)魯棒反饋線性化控制器。考慮到假設(shè)1和假設(shè)2，存在滿足以下條件的uR：

z2uR≤0

(11)

(12)

(13)

滿足約束(11)和約束(12)的uR的設(shè)計方法可以參考文獻[14-15]。例如令g為任何符合的平滑函數(shù)

g≥‖φM‖‖φ‖+dmax

(14)

其中，φM=φmax+φmin。然后，給出了一個滿足式(11)和式(12)的平滑例子：

uR=-g2z2/(4ε)

(15)

當(dāng)存在不確定性和擾動時，所提出的SIMC-PD-SMC策略能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)設(shè)的輸出跟蹤性能，并保證較好的跟蹤精度。但是由于在控制策略中考慮了不確定界限，此時魯棒控制器(15)相當(dāng)于一種高增益反饋控制律，過小的 值意味著控制器高的帶寬，這可能會導(dǎo)致不穩(wěn)定。為了避免這個問題，必須對ε值進行限定，然而這樣只能保證原點附近的穩(wěn)定性。

2.3 基于SMC方法的2DOF-IMC的控制器設(shè)計

為了進一步提高魯棒性和穩(wěn)定范圍，提出了一種結(jié)合魯棒滑模控制律的2自由度增強型IMC控制器。在2DOF-IMC策略中，IMC濾波器可以表達為[16]

fD(s)=(1+2λs)/(λs+1)2

(16)

為了保證系統(tǒng)在輸入擾動恒定的情況下達到零穩(wěn)態(tài)誤差，必須滿足以下條件

(17)

令基于2DOF-IMC的控制器為

(18)

為保證系統(tǒng)能達到相同的指定跟蹤性能，采用定點濾波器F(s)，如下所示：

(19)

然后，設(shè)置濾波參考軌跡RF為

RF(s)=F(s)R(s)

(20)

定義控制輸入誤差E1=x1-RF，則有：

E1=z1-ΔR;ΔR=RF-x1d

(21)

圖2 2DOF-IMC-SMC控制器的結(jié)構(gòu)

基于滑模理論的2自由度增強型內(nèi)?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)如圖2所示，相應(yīng)的控制律為

(22)

式中，ka、kb、kc為正反饋增益，可從2DOF-IMC-PID控制器(18)中獲得：

(23)

定義另一個跟蹤誤差函數(shù)為

(24)

從p2到z1的傳遞函數(shù)可以表示為

(25)

由于Gp(s)是漸進穩(wěn)定的，所以p2收斂到零意味著使z1也收斂到零。

聯(lián)立式(24)以及式(21)～式(23)，可以得到p2的動力學(xué)表達式為

(26)

考慮到假設(shè)1和假設(shè)2，同樣存在滿足以下條件的uR：

p2uR≤0

(27)

(28)

定理1：假設(shè)期望軌跡是二階連續(xù)可微分的，而且所提出的控制律(22)能夠保證伺服系統(tǒng)有界。此時，李亞普諾夫函數(shù)Vt可以表示為

(29)

上式滿足：

(30)

證明：

聯(lián)立式(6)、式(9)、式(19)、式(20)可得：

(31)

(32)

對式(32)積分，可得：

(33)

當(dāng)kb=1/(2λ)時，則有：

(34)

當(dāng)ka=φ2n時，則有

(35)

把式(35)代入式(36)可得：

(36)

由式(29)和式(36)得到Vt的導(dǎo)數(shù)：

(37)

注意到條件(28)，則有：

(38)

這就是式(31)的推導(dǎo)過程。因此，函數(shù)Vt是有界的，很容易保證控制輸入u是有界的。

定理1的結(jié)果表明，跟蹤誤差函數(shù)p2對z2具有相同的穩(wěn)定性。這說明在同樣的條件下，即相同的有限的ε值，濾波器時間常數(shù)和不確定性，z2和p2可能獲得相同的解。但是，它們與跟蹤誤差z1的關(guān)系是不同的，可以用傳遞函數(shù)Gz(s)和GP(s)來說明解釋。注意k1=ka，則存在：

Gp(s)=Gz(s)Gh(s);Gh(s)=s/(s+kb)

(39)

式中，Gz(s)為一個低通濾波器，而Gh(s)為一個高通濾波器，因此，Gp(s)可以同時減弱高頻動態(tài)和低頻動態(tài)。已知‖Gh(s)‖<1，會使得‖Gp(s)‖<‖Gz(s)‖。對于一個有限小的ε，不能確保z2和p2的漸近收斂，因此在不確定性存在的情況下，只能保證誤差在某一范圍內(nèi)。因此，2DOF-IMC-SMC策略下的跟蹤誤差z1明顯要小于SIMC-SMC策略。

3 仿真結(jié)果

3.1 階躍擾動下的階躍響應(yīng)

首先進行仿真驗證，給定伺服系統(tǒng)的標(biāo)稱模型為

(40)

令所需軌跡的濾波時間常數(shù)為λ=0.01。對以下4個控制器進行比較。

(1)SIMC-PD：表示基于內(nèi)?？刂频臉?biāo)準(zhǔn)控制器，其相應(yīng)的控制器參數(shù)很容易得到，即kp=0.1，kD=0.1。

(2)SIMC-SMC：這是基于標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)模控制策略和滑?？刂品椒ㄋ岢龅聂敯鬚D控制器(10)。PD控制器參數(shù)與SIMC-PD相同。參數(shù)變化范圍為φ1min=[2500,1]T，φ2max=[2000,100]T。輸入擾動的上限為Dmax=1 Nm。

(3)2DOF-IMC-PID：這是式(18)中提到的基于2DOF-IMC原理設(shè)計的PID控制器。PID控制器參數(shù)為ka=6.25，kb=50，kc=0.032。定點濾波器設(shè)計為F(s)=(0.01s+1)/(0.02s+1)。

(4)2DOF-IMC-SMC：這是一種基于2DOF-IMC和SMC的魯棒PID控制器式(22)。為了能夠公平進行比較，PID控制器和定值濾波器的參數(shù)與2DOF-IMC-PID相同，邊界條件與SIMC-SMC相同。

首先，在階躍擾動的條件下對四種控制器的階躍響應(yīng)進行仿真比較。參考軌跡為階躍值R(t)=1 rad，階躍擾動為0.2 Nm。目標(biāo)模型是標(biāo)稱模型，即G(s)=Gn(s)。圖3為4種控制器的仿真結(jié)果。易知所有的控制器都達到了預(yù)設(shè)的定點跟蹤性能。然而，在存在階躍擾動的情況下，雖然SIMC-SMC控制器能明顯降低穩(wěn)態(tài)誤差，但是無論是SIMC-PD控制器還是SIMC-SMC控制器均不能實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。相反，2DOF-IMC-PID控制器和2DOF-IMC-SMC控制器的跟蹤誤差收斂至零。2DOF-IMC- PID控制器的峰值跟蹤誤差為0.1 rad，而2DOF-IMC-SMC控制器的峰值跟蹤誤差為0.04 rad。說明在2DOF-IMC-PID控制器中引入魯棒滑模控制律，可以進一步減小跟蹤誤差。仿真結(jié)果表明，無論是SIMC-PD或者2DOF-IMC-PID，在其中引入魯棒滑?？刂坡删苡行б种聘蓴_，進一步提高跟蹤精度。理想情況下，跟蹤誤差可以通過改變參數(shù)ε的值而任意小。

圖3 在階躍擾動下的位置階躍響應(yīng)

根據(jù)定理1可知，對于一個有限小的ε值，在恒定干擾的條件下，z2和p2中存在著穩(wěn)態(tài)誤差。由圖4可知，當(dāng)頻率接近于零時，Gz(s)接近于一個常數(shù)，Gp(s)接近于零。這也是2DOF-IMC-SMC控制器可以實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，而SIMC-SMC控制器不能的原因。此外，在所有頻率下，Gp(s)的大小都小于Gz(s)。因此，與SIMC-SMC控制器相比，2DOF-IMC-SMC控制器具有更好的瞬態(tài)跟蹤性能和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。但是當(dāng)頻率足夠大時，SIMC-SMC控制器和2DOF-IMC-SMC控制器的跟蹤精度基本相同。

圖4 波德圖

3.2 參數(shù)不確定性時的階躍響應(yīng)

為驗證該控制器的魯棒性，測試了4種參數(shù)不確定條件下的仿真情況(J=2Jn,J=0.5Jn,B=10Bn和B=0.1Bn)。利用絕對跟蹤誤差最大值(Max|z1|)和絕對誤差積分(IAE)這兩個性能指標(biāo)，對四種控制器的跟蹤性能進行對比。

如圖5到圖8所示，分別為J=2Jn,J=0.5Jn,B=10Bn和B=0.1Bn的階躍響應(yīng)的對比仿真結(jié)果。表1總結(jié)了在4種控制器中，4種測試條件的性能指標(biāo)(Max|z1|和IAE)，易知SIMC-SMC控制器和2DOF-IMC-PID控制器比SIMC-PD控制器具有更好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將魯棒滑模控制律引入到2DOF-IMC-PID控制器中，得到了2DOF-IMC-SMC控制器，跟蹤性能(Max|z1|和IAE)得到進一步改善。通過滑?？刂撇呗栽O(shè)計的魯棒控制律，減小了參數(shù)變化對控制系統(tǒng)性能的影響，從而提高了跟蹤精度。

圖5 J=2Jn,B=2Bn時的階躍響應(yīng)

圖6 J=0.5Jn,B=Bn時的階躍響應(yīng)

表1 跟蹤響應(yīng)的Max|z1|和IAE

同樣，在不確定性的條件下，在具有有限小 的SIMC-SMC策略中會存在某一范圍的跟蹤誤差。通過對SIMC-SMC和2DOF-IMC-SMC仿真結(jié)果的比較，不難看出，當(dāng)一種魯棒性較強的增強型IMC控制器應(yīng)用于這種新型控制結(jié)構(gòu)時，可以進一步提高控制系統(tǒng)的跟蹤性能。

因此，不管是存在外部干擾還是存在參數(shù)不確定的情況，所提出的2DOF-IMC-SMC控制器相比于其他控制器均是最優(yōu)的。

4 實驗驗證

4.1 實驗設(shè)置

圖9所示的實驗平臺由一個運動系統(tǒng)，包括交流伺服電機，20位增量編碼器MSMJ042G01，交流伺服驅(qū)動MBDHT2510A1和慣性載荷的軸接頭，電源，Beckhoff工控機C6930和包括CANopen和EtherCAT的控制測量系統(tǒng)所組成。系統(tǒng)軟件包括監(jiān)控軟件(Twincat 3.0 Scope View)和實時控制軟件(Twincat 3.0 eXtended Automation Engineering)。利用C/ C++代碼的模塊執(zhí)行控制算法，采樣間隔為0.25ms。利用C/ C++代碼的模塊編寫不同控制器的控制代碼，通過實時控制軟件對擾動以及相應(yīng)的不確定性進行模擬。實驗原理為：工控機實現(xiàn)模型、控制器的設(shè)置以及相關(guān)參數(shù)的計算，CAN總線實現(xiàn)數(shù)據(jù)的傳輸，交流伺服電機則為相應(yīng)的控制對象，通過測量伺服電機的狀態(tài)變量，在工控機中形成偏差。經(jīng)過相應(yīng)控制器的計算給出控制量，實現(xiàn)伺服電機的控制。

圖9 伺服系統(tǒng)的實驗平臺

在該伺服系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)動慣量為Jn=1.6×10-4kg·m2，粘滯摩擦系數(shù)為Bn=0.001 Nm/(rad/s)。伺服驅(qū)動器在轉(zhuǎn)矩控制模式下運行。位置由20位旋轉(zhuǎn)編碼器測量。速度通過位置信號的后向差分獲得。由于SIMC-PD控制器的抗干擾性能較差，因此只比較了3種控制器(SIMC-SMC、2DOF-IMC-PID和2DOF-IMC-SMC)?？刂破鲄?shù)和邊界條件與仿真試驗結(jié)果基本一致。

4.2 擾動條件下的位置跟蹤

由于伺服系統(tǒng)不可避免地會受到參數(shù)偏差、非線性摩擦和被忽視的高頻動態(tài)的影響，無法實現(xiàn)理想的定點跟蹤和階躍擾動響應(yīng)。本實驗采用廣泛應(yīng)用于各種定位控制系統(tǒng)的點對點參考運動軌跡，測試了三種控制器在不同輸入干擾下的控制性能。最大速度為vmax=40 rad/s，最大加速度為amax=200 rad/s2。在u中加入兩種輸入擾動，測試伺服系統(tǒng)的抗干擾性能。一個是階躍擾動，幅值0.2Nm。另一個是正弦擾動，為0.2(1-cos(12.56t))Nm。階躍擾動下的實驗結(jié)果如圖10所示。三種控制器的性能指標(biāo)(Maz|z1|和IAE)如表2所示。可以看出，在階躍擾動存在的情況下，SIMC-SMC控制器存在穩(wěn)態(tài)誤差，這是由于滑?？刂频倪吔鐚咏夂蚐IMC-PD的抑制擾動能力差造成的。2DOF-IMC-PID控制器是一種基于IMC方法的改進控制器，它在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差方面比SIMC-SMC控制器要好，有著更好的跟蹤性能。將基于滑?？刂萍夹g(shù)的魯棒控制律加入到2DOF-IMC-PID中，跟蹤系統(tǒng)的性能指標(biāo)Max|z1|和IAE都會得到進一步的改善。實驗結(jié)果如圖10所示，與仿真結(jié)果如圖4所示一致。在正弦擾動下的實驗結(jié)果如圖11所示。可以看出，在所有控制器中，2DOF-IMC-SMC再一次成為跟蹤精度最高的控制器。實驗結(jié)果如圖10和圖11所示，驗證了所提出的控制器在加強抑制擾動能力方面的有效性。

圖10 階躍擾動下的位置跟蹤誤差

圖11 正弦擾動下的位置跟蹤誤差

表2 階躍擾動下跟蹤Max|z1|和IAE

4.3 不確定條件下的位置跟蹤

正弦狀參考軌跡為R(t)=10(1-e-t)(1-cos(12.56t))rad，如圖12所示，對3種控制器(SIMC-SMC、2DOF-IMC-PID和2DOF-IMC-SMC)的魯棒性進行了測試。

圖12 正弦型參考軌跡

(1)情況A：在此情況下，將0.5u應(yīng)用于伺服系統(tǒng)，其中u可以通過各種控制策略進行計算。根據(jù)式(2)，此情況相當(dāng)于把參數(shù)φ1改變?yōu)闉?.5φ1，可以用來測試控制器的魯棒性。

(2)情況B：這種條件是將u-0.01x2作為控制輸入。同樣地，這種情況下參數(shù)φ2會發(fā)生很大的變化，φ2變?yōu)?.01φ1+φ2，可以用來測試控制器的魯棒性。

已知φ1=1/J以及φ2=B/J，其中1.6×10-4kg·m2，B=0.001 Nm/(rad/s)，所以得到了上述兩種類型的不確定性的邊界大小。

圖13和圖14分別為A和B兩種情況下的實驗結(jié)果，3種控制器的性能指標(biāo)(Max|z1|和IAE)如表3所示。很容易看出，在存在不確定φ1和φ2的情況下，2DOF-IMC-SMC控制器比SIMC-SMC控制器和2DOF-IMC-PID控制器具有更好的跟蹤精度。驗證了該控制策略對提高控制系統(tǒng)魯棒性的有效性。由于基于滑?？刂萍夹g(shù)的魯棒控制律能夠減弱不確定性的影響，因此2DOF-IMC-SMC比2DOF-IMC-PID具有更好的跟蹤精度。此外，與SIMC-PD控制器相比，2DOF-IMC-PID控制器可以更好地提高閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性，從而可以更好地減少由于滑?？刂品椒ㄟ吔鐚咏舛a(chǎn)生的跟蹤誤差。由于結(jié)合了加強內(nèi)?？刂婆c魯棒滑?？刂?，在3種控制器中，2DOF-IMC-SMC控制器魯棒性最佳。

圖13 情況A下的位置跟蹤誤差

圖14 情況B下的位置跟蹤誤差

表3 正弦跟蹤下的Max|z1|和IAE

5 結(jié) 論

文章針對伺服電機在不確定性和擾動情況下的運動控制，設(shè)計了一種基于魯棒滑模策略的雙自由度增強型內(nèi)?？刂破鳌Ｍㄟ^仿真與實驗結(jié)果得到如下結(jié)論：

(1)魯棒滑?？刂坡傻囊肽苡行б种聘蓴_和不確定性，提高控制器的跟蹤精度。

(2)在頻率較小條件下，雙自由度增強型內(nèi)?？刂葡啾扔趥鹘y(tǒng)內(nèi)模控制能更好地降低參數(shù)變化的敏感性，減小未知擾動的影響，具有更好的瞬態(tài)跟蹤性能和更高的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。

(3)結(jié)合魯棒滑模策略的雙自由度增強型內(nèi)?？刂颇軌虮ＷC跟蹤漸進穩(wěn)定，且無論對于外界擾動或者不確定性均展示了較好的魯棒性，跟蹤精度較高。

微電機2020年7期

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