基于改進(jìn)磁鏈法永磁曳引機(jī)磁場(chǎng)分析和電感計(jì)算

賈 儒，杜建民，于占洋, 李 巖

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 特種電機(jī)研究所，沈陽(yáng)110870)

0 引 言

電感作為無(wú)齒輪永磁同步曳引機(jī)設(shè)計(jì)與控制的重要參數(shù)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了多年的研究，常見(jiàn)的計(jì)算方法有能量攝動(dòng)法和磁鏈法等。但是能量攝動(dòng)法只考慮了導(dǎo)線內(nèi)部空間儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量，并沒(méi)有包含在導(dǎo)線外部閉合的磁鏈。傳統(tǒng)的磁鏈法分析電機(jī)的繞組電感都是從電機(jī)的磁場(chǎng)分布入手。由于定子齒槽效應(yīng)的影響使得求解的過(guò)程中過(guò)多的采用了近似和假設(shè)，使得電機(jī)的磁場(chǎng)分布不能被準(zhǔn)確計(jì)算，進(jìn)而影響電感的計(jì)算精度[1-2]。文獻(xiàn)[3-4]分析了閉口槽電機(jī)的磁場(chǎng)分布，但是無(wú)法應(yīng)用于開(kāi)口槽電機(jī)計(jì)算。

本文提出一種比上述方法更準(zhǔn)確的計(jì)算方法。它更廣泛地利用共形變換特性。最后，通過(guò)解析計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量法結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證方法的有效性。

1 曳引機(jī)主要參數(shù)

該曳引機(jī)電機(jī)額定功率為16.8kW，定子采用平底槽，主要參數(shù)如表1所示。電機(jī)模型如圖1所示。

表1 表貼式永磁電機(jī)參數(shù)

圖1 電機(jī)模型示意圖

2 電樞磁場(chǎng)計(jì)算

文獻(xiàn)[5]使用共形變換的方法對(duì)電機(jī)的磁場(chǎng)進(jìn)行了分析，但是都采用了四次變換，同時(shí)依賴于無(wú)槽磁密分布的已知結(jié)果。本文將根據(jù)實(shí)驗(yàn)電機(jī)的具體特點(diǎn)以及簡(jiǎn)化方法，采用三步共性變換求解電樞產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

本文首先假設(shè)電機(jī)為無(wú)限槽深，因此，三次共形變換的計(jì)算過(guò)程示意如圖2所示。首先，通過(guò)共性變換得到T平面導(dǎo)體的標(biāo)量磁位。S面槽模型的示意圖見(jiàn)圖3。其中，θ為計(jì)算范圍，θ1和θ2分別為槽開(kāi)口的兩個(gè)邊，Rs和Rr分別為電機(jī)的定子外徑和轉(zhuǎn)子內(nèi)徑。

圖2 電樞磁場(chǎng)共形變換

圖3 S平面無(wú)限槽深模型

K平面中，當(dāng)p達(dá)到最大值-NaIp時(shí)，(Na為每槽導(dǎo)體數(shù))，令w=1,I為單位電流。如圖4所示。

圖4 K平面導(dǎo)體標(biāo)量磁位

(1)

其中，Bak=Bakq+jBakp,Bak為K平面的磁通密度，Bakq和Bakp分別為Bak在q軸和p軸上的分量。

共形變換的過(guò)程如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

將K平面轉(zhuǎn)化到S平面

(6)

根據(jù)已求得的Bak可求得S平面內(nèi)的q-p坐標(biāo)系下的磁通密度Basω如下：

(7)

其中，式(7)括號(hào)中相乘部分可被視為K域到S域的磁導(dǎo)率記作λ，*表示取共軛運(yùn)算，Baswq和Baswp分別為Basω的沿軸的分量。式中,λ為一個(gè)復(fù)數(shù)，所以可以表示為

λ=λa+jλb

(8)

Re(λ)=λa為λ的實(shí)部，Im(λ)=λb為λ的虛部。其計(jì)算結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 復(fù)相對(duì)磁導(dǎo)率實(shí)部

圖6 復(fù)相對(duì)磁導(dǎo)率虛部

由無(wú)槽氣隙電樞磁密Basw計(jì)算開(kāi)槽線圈磁密Basz:

Basz=Baswλ*=(Baswr+jBaswθ)(λa-jλb)=Baszr+jBaszθ

(9)

式中,Baszr、Baszθ分別為線圈磁密的徑向分量和切向分量，λ*可視為該磁場(chǎng)在復(fù)數(shù)域的相對(duì)磁導(dǎo)率，且

(10)

將式(8)中Baszr和Baszθ即徑向分量和切向分量用傅里葉分解為

(11)

式(11)中，Baszrn和Baszθn分別為Baszr和Baszθ的n次諧波分量。

電樞稀奇磁場(chǎng)磁密為各線圈磁密疊加之和，即Basyφ。

(12)

式中，Baszφr和Baszφq分別為電樞磁場(chǎng)氣隙磁通密度徑向分量和切向分量；i為繞組線圈對(duì)應(yīng)序號(hào)；Nm為每相總線圈數(shù)，Nm=Qs/3；iA(t)、iB(t)、iC(t)為三相線圈電流瞬時(shí)值；αAi、αBi、αCi為三相初始相位角。

本文分析了一臺(tái)外轉(zhuǎn)子永磁曳引同步電機(jī)。該電機(jī)采用雙層繞組。在有限元分析中，采用靜態(tài)場(chǎng)模式，設(shè)某相電流為額定電流峰值，其余兩項(xiàng)為該相的百分之五十。采用式(10)求得的解析結(jié)果與上述有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。如圖7，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與仿真吻合度較高。

圖7 電樞磁通密度模值

3 改進(jìn)磁鏈法電感的計(jì)算

3.1 漏感的計(jì)算

由于表貼式電機(jī)的結(jié)構(gòu)原因，該電機(jī)的漏感可以占到電機(jī)的總電感的40%。

在文獻(xiàn)[6]中有對(duì)電機(jī)漏感的計(jì)算，其表示形式可如下：

(13)

其中，

(14)

式中,ds為平底槽的最大深度，bs為平底槽底部寬度，b0為槽開(kāi)口，如圖8所示。

圖8 槽型示意圖

3.2 氣隙電感的計(jì)算

假設(shè)模型電機(jī)的磁導(dǎo)率無(wú)限大。電機(jī)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，定轉(zhuǎn)子的相對(duì)位置會(huì)發(fā)生變化，因而會(huì)影響磁路變化。根據(jù)文獻(xiàn)[7]電機(jī)的自感和互感是相對(duì)位置角度θ的函數(shù)。通過(guò)計(jì)算電機(jī)在不同位置時(shí)磁場(chǎng)的分布，進(jìn)而得到電機(jī)繞組的電感。電機(jī)各相的自感分別為L(zhǎng)AA(θ)、LBB(θ)、LCC(θ)；各相繞組的互感分別為MAB(θ)=MBA(θ)、MBC(θ)=MCB(θ)、MAC(θ)=MCA(θ)。

由文獻(xiàn)[4]可知A相基波氣隙磁場(chǎng)為

(15)

式中,leff為電機(jī)的有效長(zhǎng)度(m),Na為A相繞組因數(shù)，a為并聯(lián)支路數(shù)，Basyφ為A相電流產(chǎn)生的氣隙磁密，θ為轉(zhuǎn)子位置角度。其表達(dá)式如下：

Basyφ=Basyφr+jBasyφθ

(16)

(17)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]則A相自感和AB相互感為

(18)

(19)

式中,LAA為A相自感，MAB為AB相互感,同理將轉(zhuǎn)子位置角(θ-2π/3)替換為(θ-2π/3)和(θ-4π/3)即可求得B、C兩相的電感。

此外，本方法對(duì)數(shù)值方法有著較高的要求，由于計(jì)算量大同時(shí)對(duì)計(jì)算精度要求又高，需要采用兩者兼顧的算法進(jìn)行求解。

圖9 A相電感

圖10 A相與B相互感

3.3 交直軸變換

由文獻(xiàn)[9-10]結(jié)合本文電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，模型電機(jī)的三相磁鏈與相電流的表達(dá)式為

(20)

式中,ψa、ψb、ψc為a、b、c三相繞組產(chǎn)生的磁鏈;ψfa、ψfb、ψfc為永磁體與a、b、c相繞組產(chǎn)生的磁鏈；Ia、Ib、Ic為a、b、c各相的電流。

在恒功率的條件下，abc軸向dq軸的坐標(biāo)變換為

(21)

式中，ψA、ψB、ψC為a、b、c相繞組總磁鏈

(22)

將式(20)代入到式(19)中，得

(23)

因而，靜態(tài)坐標(biāo)系下的電感矩陣為

Ldq=CTLabcC

(24)

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

無(wú)齒輪曳引機(jī)樣機(jī)實(shí)物圖，如圖11所示。利用LCR電感測(cè)試儀法對(duì)繞組電感參數(shù)進(jìn)行測(cè)量。考慮到電機(jī)的額定工作狀態(tài)并為使得磁路飽和，并且本電機(jī)額定轉(zhuǎn)速低的特點(diǎn)，所以本實(shí)驗(yàn)采用低速測(cè)量代替負(fù)載狀態(tài)測(cè)量。這樣既保證了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，又避免了由于額定狀態(tài)下外電壓以及反電勢(shì)對(duì)LCR電感測(cè)試儀的破壞。

圖11 樣機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)證

本文給樣機(jī)加10A的不飽和電流對(duì)樣機(jī)在低速運(yùn)行狀態(tài)電感參數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了樣機(jī)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，如表2所示。并與解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。誤差在允許范圍內(nèi)，證明了本方法的正確性。

5 結(jié) 論

本文首先對(duì)電機(jī)的幾何模型進(jìn)行了場(chǎng)域的變換分析了二維磁場(chǎng)分布，并推導(dǎo)出來(lái)該電機(jī)的復(fù)相對(duì)磁導(dǎo)率。然后，本文根據(jù)電機(jī)特點(diǎn)對(duì)電機(jī)的電感參數(shù)進(jìn)行了求解。最后，采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量法對(duì)電機(jī)的電感進(jìn)行了測(cè)量，與數(shù)值法的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性。采用共性變換法對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，比文獻(xiàn)中已有方法更為嚴(yán)謹(jǐn)。然而，本方法也受到數(shù)值問(wèn)題的影響，問(wèn)題主要集中在齒尖附近具有無(wú)窮大磁通密度的奇點(diǎn)的出現(xiàn)。上述問(wèn)題需要通過(guò)共形映射的映像來(lái)解決。在所研究的情況下與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比吻合度較高。證明了本文對(duì)電機(jī)的設(shè)計(jì)與控制有一定理論意義和實(shí)踐價(jià)值，為電感的計(jì)算提出了一條新路徑。