螺桿型施肥泵特性及降維簡化方法研究

楊 瑞，肖志剛，袁洪波，程 曼

（河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，河北 保定 071001）

中國是農(nóng)業(yè)大國并且水資源匱乏，節(jié)水灌溉工程建設(shè)和水肥一體化成為全國農(nóng)業(yè)發(fā)展最關(guān)心的部分。農(nóng)業(yè)部提出，希望在2020 年實現(xiàn)主要化肥零增長，將主要農(nóng)作物化肥利用率達到40%以上，做到節(jié)水節(jié)肥［1］。水肥一體化技術(shù)重點在于將水和肥按比例配合，根據(jù)作物不同生長階段養(yǎng)分需求和土壤情況，實時精準施肥［2-3］。目前常用的施肥裝置一般分為3 種,文丘里施肥器、壓差式施肥罐,注肥泵［4］。 文丘里管流過水時產(chǎn)生真空吸力，吸入肥料溶液進行施肥。壓差施肥是利用進水管與出水管口之間的壓力差將灌溉水流入肥料罐，稀釋肥料后進行灌溉［5］。 注肥泵將肥料注入灌溉管道，施肥比例與壓力流量和水泵轉(zhuǎn)速相關(guān)，具有施肥比例可控，運行穩(wěn)定，控制簡單，經(jīng)濟適用等優(yōu)點［6-7］。

常用的注肥泵有離心泵、往復(fù)泵和螺桿泵（轉(zhuǎn)子泵）等。離心泵幾乎沒有自吸作用，需要泵內(nèi)預(yù)先有一定量的液體形成壓差，而且由于葉片的作用會影響液體的流速。結(jié)構(gòu)簡單，造價低，體積小，安裝檢修方便,對應(yīng)一定流量只能達到一定揚程［8］；往復(fù)泵是通過液體容積的收縮膨脹來混合液體，入口處形成負壓，能夠自行灌注。壓力越大，工作效率越高。適用于高壓力，小流量的清潔介質(zhì)但要求完全無泄漏，對應(yīng)一定流量可達到不同揚程，由管路系統(tǒng)決定，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，振動大，體積大，造價高［9］，適合試驗使用，不利于推廣。螺桿泵適用于中低壓力，中小流量，尤其適用于黏性較高的介質(zhì)，結(jié)構(gòu)簡單，造價低，體積小，安裝檢修方便。本試驗使用的營養(yǎng)液有一定的黏性，對流量范圍和壓力范圍要求并不高，對比考慮選擇較為經(jīng)濟，便于使用的螺桿泵［10-11］。

施肥泵特性分析是實現(xiàn)精準配肥的基礎(chǔ)［12-14］，筆者對螺桿泵在壓強、流量、電壓3 個方面的特性進行了試驗研究，得到了三者之間的關(guān)系模型，發(fā)現(xiàn)3 個變量之間存在非線性、強耦合關(guān)系，有多個高階項［15-16］。按照泵特性直接進行施肥流量控制計算量相對大，作為控制核心的單片機來完成這種工作，會導(dǎo)致運算速度較慢，耗費時間，因此需要對泵特性進行降維簡化以提高單片機運算速度，從而提高配肥效率，實現(xiàn)快速實時配肥［17-18］，筆者采用邊折疊算法［19］對泵特性物理模型進行降維簡化，并驗證了該方法的可行性。

1 試驗設(shè)計及分析方法

1.1 試驗系統(tǒng)構(gòu)建

本試驗中的施肥泵性能測試平臺由水桶、螺桿泵、渦輪流量計、壓力傳感器、電機調(diào)速器和循環(huán)管路組成，實驗平臺搭建如圖1 所示，具體設(shè)備如表1 所示。利用該平臺進行試驗時，通過改變施肥泵供電電壓達到調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速，進而調(diào)節(jié)其流量的效果，試驗過程中通過相應(yīng)的傳感器記錄施肥泵的電壓、流量和壓力數(shù)據(jù)。

表1 實驗設(shè)備Table 1 Experimental equipment

圖1 實驗平臺Fig.1 Experimental platform

1.2 流量傳感器校準

為了實現(xiàn)精準測量，流量計在使用之前需要校準。校準試驗時，選用5 L 的量筒，記錄量筒注滿水的時間來計算流量作為測量值，在不同的流量條件下進行5 次試驗，將流量測量值與流量計所采集的數(shù)據(jù)進行回歸，完成后再進行10 次試驗對回歸結(jié)果進行驗證。

1.3 施肥泵特性試驗

試驗于2019 年4—5 月在河北農(nóng)業(yè)大學(xué)城建學(xué)院5 樓溫室中進行。管道（PPR）直徑25 mm，工作壓力0.06 ～0.3 MPa，流量范圍0.3 ～1 m3/h。通過調(diào)節(jié)調(diào)速器改變電壓達到改變轉(zhuǎn)速的效果，使用閥門調(diào)節(jié)壓強，記錄流量值的變化。螺桿泵啟動電壓為10 V，為了得到穩(wěn)定的流量、轉(zhuǎn)速、壓強之間的關(guān)系，將施肥泵電壓設(shè)定從12 V 增加到額定電壓值24 V，每次增加0.5 V,記錄螺桿泵出口壓力值和流量值。壓強從0.02 MPa 開始，直到0.14 MPa，每次增加0.02 MPa，分別記錄流量和電壓值。流量值從0.2 m3/h 到1 m3/h，每次增加0.05 m3/h，分別記錄壓強值和電壓值。每組實驗重復(fù)5 次取均值，將得到的實驗數(shù)據(jù)記錄，共進行720 組實驗。將匯總的數(shù)據(jù)通過Matlab 軟件的Ezsurf 工具箱進行多項式擬合并分析［20］。

1.4 降維簡化方法

水泵的關(guān)系模型符合高階非線性方程，存在較多的浮點運算，單片機在處理這種方程時速度較慢。該模型的物理化體現(xiàn)是1 個曲面模型，筆者利用邊折疊降維簡化算法將曲面模型化簡為平面模型，將非線性方程簡化為線性方程，以保證精度為前提，提高單片機的運算速度。

曲面模型簡化不只是為了減少網(wǎng)格的數(shù)量，需要在保證原始模型的精度和拓撲結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，去除影響不大的平面數(shù)量，保留體現(xiàn)模型特征的平面，得到接近原始模型的簡化模型［21］。國內(nèi)外許多學(xué)者對模型的簡化方法研究已經(jīng)有了一些成果，主要有去邊法，去點法，最大多邊形法，優(yōu)化法等［22-24］。在眾多方法中，邊折疊算法比較簡單容易實現(xiàn)，簡化后模型精度較高。因此，本文選擇運用邊折疊算法簡化三維曲面模型，用近似的平面代替曲面，使數(shù)學(xué)模型由非線性近似為線性模型，簡化水泵特性的數(shù)學(xué)模型。比對模型化簡前后數(shù)據(jù)，驗證其有效性。

邊折疊原理如圖2 所示，對邊（Li,Lj）的折疊操作可以簡化記為（Li,Lj→L），用新頂點代替原來的頂點，把與其相鄰的平面片刪除，形成新的平面。

圖2 邊折疊示意圖Fig.2 Side folding diagram

邊折疊法是將邊作為被刪除的基本元素，按照某種特定的條件刪除不重要的邊，保證刪除后原模型的變化最小，不影響拓撲結(jié)構(gòu)的變化，迭代上述過程，直到滿足設(shè)定的條件。

2 試驗結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

2.1 傳感器校準結(jié)果及分析

將55 次試驗的數(shù)據(jù)整理，使用Matlab 中Curve Fitting Toll 工具箱進行數(shù)據(jù)擬合，結(jié)果近似為1 條直線Q'=0.919 6Q+0.029 83，相關(guān)系數(shù)R2=0.993 5，如下圖3 所示。

圖3 流量回歸方程Fig.3 Flow regression equation

隨機進行10 組試驗，將得到的試驗結(jié)果與校準公式計算的結(jié)果進行比較如表2 所示。通過表2 可以看出，最大誤差為6.989%，出現(xiàn)在流量為 1.003 m3/h 時，相當于誤差為0.3 L/min。最小誤差為 0.397%，平均誤差為2.98%，流量變化約為0.228 L/min。 經(jīng)驗證，誤差服從正態(tài)分布，可見得到的公式具有一定的準確性。

表2 驗證試驗數(shù)據(jù)Table 2 Verification test data

2.2 螺桿型施肥泵特性試驗結(jié)果及分析

筆者利用試驗得到的數(shù)據(jù)，通過Matlab 軟件中Cftool 工具箱對壓強，流量以及所對應(yīng)的電壓3 個因子進行擬合，建立水泵特性的數(shù)學(xué)模型。擬合關(guān)系式如下：

式中，f(Q,P)代表電壓；Q為流量；P為壓強。

由上式可以看出，3 個因子之間存在非線性，強耦合的關(guān)系，具有多個高次項，壓強，流量、電壓3 個因子每個因子單一變化都會影響其他因子的改變。利用Matlab 軟件中的Ezsurf 函數(shù)工具箱，得到曲面模型如下圖4 所示。

圖4 數(shù)學(xué)模型Fig.4 Mathematical model

為了驗證泵特性數(shù)學(xué)模型的準確性，進行了15組驗證試驗，將實際測量電壓值與計算得到的電壓值進行對比，對比結(jié)果如圖5 所示。可以看出，兩折線圖趨勢基本一致，證明得到的曲面模型較為精確。

圖5 數(shù)學(xué)模型驗證實驗Fig.5 Mathematical model verification experiment

2.3 泵特性降維簡化結(jié)果及分析

采用邊折疊算法進行降維簡化流程如圖6所示，結(jié)合對泵特性三維曲面圖形的行（流量），列（壓強）的曲線變化分析，得到最終的曲面劃分結(jié)果。

具體步驟如下：

（1）劃分子區(qū)域并編號。將施肥泵特性模型根據(jù)實際流量壓強和顏色深淺變化趨勢劃分為12×12的子區(qū)域，在每個子區(qū)域中采用平面對曲面進行近似簡化，并得到流量、壓強和電壓的1 次方程。根據(jù)簡化前泵特性模型，計算每個子區(qū)域中不同流量、壓強對應(yīng)的電壓值；針對每個子區(qū)域，根據(jù)簡化后平面數(shù)學(xué)模型計算出該區(qū)域不同流量、壓強對應(yīng)的近似電壓值；將第i行第j列的子區(qū)域編號為ai,j,其中i,j=1,2…,12。

（2）沿列方向?qū)ψ訁^(qū)域進行合并。將ai,j與ai+1,j2 個子區(qū)域合并，得到新的平面方程，并分別計算該新區(qū)域?qū)?yīng)的簡化前后的電壓值，再次進行回歸擬合，如果得到的R2（決定系數(shù)）大于0.97 則認為該次合并有效，新區(qū)域編號為ai+1,j，然后嘗試將ai+1,j與ai+2,j合并；若不滿足條件，保持原編號不變，嘗試將ai+1,j與ai+2,j合成新的平面；按照該模式對每一列子區(qū)域進行操作，直至12 列子區(qū)域分別合并完畢。按從左到右，從下到上的順序?qū)喜⒑笞訁^(qū)域重新進行編號a1,1…an,12（n≤12）。

（3）對重新編號后的子區(qū)域繼續(xù)進行合并。從第2 列a1,2開始，當前列每個子區(qū)域分別與前一列的全部子區(qū)域按由下到上的順序嘗試進行合并，直至第12 列子區(qū)域合并完畢。

當前列子區(qū)域編號為ai,j，前一列子區(qū)域編號為ak,j-1，即將為ai,j與為ak,j-12個子區(qū)域進行合并，得到新的平面方程，并分別計算該新區(qū)域?qū)?yīng)的簡化前后的電壓值，再次進行回歸擬合，如果得到的R2大于0.97 則認為該次合并有效，新區(qū)域編號為ai,j，然后嘗試將為ai,j與為ak+1,j-1個子區(qū)域進行合并；若不滿足條件，保持原編號不變，嘗試將為ai,j與為ak+1,j-1合成新的平面。將a1,2與第1 列所有子區(qū)域合并完成后，嘗試將a2,2與第1 列所有子區(qū)域進行合并，直至第2 列所有子區(qū)域分別與第1 列所有子區(qū)域嘗試合并完成；按照該模式對每1 列子區(qū)域進行操作，直至第12 列子區(qū)域合并完畢。子區(qū)域沿列方向合并結(jié)束后，每列行數(shù)不一定相等，記錄第j列的行數(shù)為rowj。

圖6 邊折疊算法流程圖Fig.6 Flow chart of edge folding algorithm

使用邊折疊算法將曲面模型近似用一些平面替代，結(jié)合對三維曲面模型的行、列曲線變化分析得到的曲面劃分如下圖7 所示。

圖7 曲面的劃分Fig.7 Surface division

曲面化簡為10 個平面。每個不同顏色的區(qū)域近似表示1 個平面，與圖4 數(shù)學(xué)模型的三維曲面結(jié)合來看，右上角部分梯度變化較大，中部較平坦。梯度變化較大的地方誤差也比較大，為了減小誤差，此區(qū)域的劃分要更細致，使其能夠滿足實際的需求。

使用Plot工具箱對每個子區(qū)域的數(shù)據(jù)進行整合，得到近似替代曲面模型的平面片的數(shù)學(xué)模型。10 個平面的數(shù)學(xué)模型如下表3 所示（為了便于表達，將第6 個平面分為6a，6b，6c）。

表3 數(shù)學(xué)模型Table 3 Mathematical model

為了評估簡化模型的精度，隨機進行15 組試驗，記錄電壓、流量、壓強值，根據(jù)曲面公式計算電壓值和流量值，利用邊折疊算法進行化簡，比較原模型計算值與化簡后的值。結(jié)果如下表4 所示。

表4 簡化前后三維曲面電壓對比結(jié)果Table 4 Comparison of voltages before and after simplification of three-dimensional surfaces

由上表可以看出，經(jīng)過降維簡化后，電壓與數(shù)學(xué)模型計算得到的電壓有部分誤差，電壓較大時，誤差有增大的趨勢，但最大誤差不超過3%，最小誤差為0.006%，平均誤差為0.357%，電壓誤差約為0.1V，可以滿足實際需求。曲面模型計算的流量值與邊折疊算法化簡后的流量值之間存在一定的誤差，經(jīng)計算，誤差符合正態(tài)分布(表5)。

表5 簡化前后三維曲面流量對比結(jié)果Table 5 Comparison results of 3D surface flow before and after simplification

可以看出，壓強較大時，誤差逐漸增大，壓強小于0.04 MPa 時，誤差也會有所增加，壓強在兩者之間時，誤差相對比較小。所以在曲面的左下方和右上部分需要將平面劃分的較小來減小誤差，中間部分比較平坦，劃分較少，與上圖曲面劃分原則相吻合?；喦昂笞畲笳`差約為5.527%，相當于有0.38 L/h 的誤差，最小誤差約為0.279%，平均誤差為0.717%。實際測量值與化簡后的最大誤差為12.497%，誤差約為0.625 L/h，最小誤差為0.064%，平均誤差約為1.309%。精度可以滿足實際需求。

3 討論

經(jīng)測試，降維化簡僅適用于三維曲面，需要將曲面劃分為矩形塊進行進一步簡化，有一定局限性。

編寫單片機程序，分別使用化簡前后公式進行計算比較。結(jié)果表明，利用化簡后的10 個公式進行編程運行更簡單快捷。簡化后的模型在單片機中運行穩(wěn)定，運行速度提升了54.8%，具有更好的運算效率。通過試驗獲得螺桿泵的特性，建立了數(shù)學(xué)模型，針對水肥一體化營養(yǎng)液的調(diào)控，實現(xiàn)了按比例施肥有效提高資源的利用率，并且減少環(huán)境的污染的效果。使用邊折疊算法化簡數(shù)學(xué)模型，對比化簡前后的模型，存在一定的誤差，但在允許的范圍內(nèi)（表6）。簡化后得到的數(shù)學(xué)模型，使得單片機程序更加簡單，一定程度上節(jié)約了運行時間，降低了對單片機的要求，節(jié)約了成本。但是筆者僅對螺桿泵特性模型進行了簡化，對于不同泵的特性模型簡化是否適用是接下來需要繼續(xù)進行的工作。

表6 運行參數(shù)對比Table 6 Comparison of operating parameters

4 結(jié)論

為了實現(xiàn)精準配肥，筆者選用造價低、結(jié)構(gòu)簡單的潛水型螺桿泵進行泵特性的試驗測試及分析研究，得到了關(guān)于流量、壓強、電壓三者之間的關(guān)系模型。利用邊折疊簡化算法完成了對泵特性模型的降維簡化，并做了對比驗證試驗。結(jié)果表明：

（1）簡化后流量的誤差服從正態(tài)分布，平均誤差不超過3%。

（2）簡化后壓強的誤差服從正態(tài)分布，最大誤差不超過3%。

相對于施肥泵的精度要求，這一誤差在可接受范圍內(nèi)。使用化簡后的數(shù)學(xué)模型能夠減少單片機的運算時間，提高了效率，降低了編程的難度。