面向多級加筋殼的高效變保真度代理模型

李增聰，田闊,2,*，趙海心

1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連 116024 2. 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，大連 116024

加筋殼結(jié)構(gòu)具有較高的比強(qiáng)度和比剛度，在飛機(jī)機(jī)身[1]、運(yùn)載火箭貯箱[2]和飛行器艙段[3]等航空航天結(jié)構(gòu)中應(yīng)用十分廣泛。其服役過程主要處于軸壓工況下，主要的破壞形式是整體失穩(wěn)[4]。為了進(jìn)一步提高加筋殼結(jié)構(gòu)的抗失穩(wěn)能力，學(xué)者們[5-6]提出了多級加筋殼這種新穎的加筋結(jié)構(gòu)形式，其主要通過非均勻分布的筋條布局實(shí)現(xiàn)加筋殼結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)及高承載需求。為了準(zhǔn)確預(yù)測加筋殼結(jié)構(gòu)的極限承載力水平，需要基于高精度的有限元方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行后屈曲分析，如顯式動力學(xué)方法。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比后發(fā)現(xiàn)顯式動力學(xué)后屈曲分析方法具有較高的預(yù)測精度和計(jì)算穩(wěn)定性[7]，但由于顯式動力學(xué)計(jì)算耗時(shí)較大，限制了其在大規(guī)模優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。對于多級加筋殼結(jié)構(gòu)，更加復(fù)雜的加筋形式將進(jìn)一步增加顯式動力學(xué)后屈曲分析的計(jì)算成本，如何對其進(jìn)行快速的屈曲分析及優(yōu)化成為了亟待解決的技術(shù)難題。

對于加筋筒殼的屈曲分析問題，等效剛度法[8](Smeared Stiffener Method, SSM)是一種代表性的解析的結(jié)構(gòu)等效方法，而由于SSM沒有考慮筋條偏心導(dǎo)致的拉彎耦合剛度，使得屈曲載荷的預(yù)測結(jié)果易產(chǎn)生不準(zhǔn)確的現(xiàn)象[9-10]。相比解析方法，數(shù)值等效方法具有預(yù)測精度高和適用性廣的優(yōu)點(diǎn)，最常用的周期性單胞結(jié)構(gòu)數(shù)值等效方法有代表體元法[11-12]和漸近均勻化法[13]等。Cheng等[14-15]建立了漸近均勻化快速數(shù)值實(shí)現(xiàn)(Numerical Implementation of Asymptotic Homogenization, NIAH)方法，可以在保證漸近均勻化法預(yù)測精度的前提下極大地提高分析效率。

代理模型技術(shù)能有效地降低計(jì)算成本，通過建立代理模型并結(jié)合啟發(fā)式算法[16]可以進(jìn)一步提高分析優(yōu)化效率和尋優(yōu)能力。Rikards等[17]基于RSM代理模型和遺傳算法進(jìn)行復(fù)合材料加筋筒殼后屈曲載荷的全局優(yōu)化研究，在提高效率的同時(shí)保證了模型的高精度。郝鵬[18]、Zhao[19]和王博[20]等基于RBF代理模型和遺傳算法，分別對T型多級加筋殼、多級三角形加筋筒殼和雙層蒙皮多級加筋殼開展了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。但對于復(fù)雜的多級加筋殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，構(gòu)造精確的代理模型需要進(jìn)行大量的樣本點(diǎn)采樣，仍需要耗費(fèi)巨大的計(jì)算資源，例如Tian等[21]在較高精度的多級加筋殼代理模型構(gòu)造中需耗費(fèi)702 h進(jìn)行樣本點(diǎn)抽樣，這是優(yōu)化設(shè)計(jì)中難以承受的。

近年來，變保真度模型(Variable-Fidelity Model, VFM)技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用，VFM通過把高保真度模型(High-Fidelity Model, HFM)和低保真度模型(Low-Fidelity Model, LFM)以某種合理的方式結(jié)合起來，綜合了HFM的高精度和LFM的計(jì)算成本廉價(jià)兩個特性，能夠有效的節(jié)約計(jì)算資源。Han等[22-24]提出了基于梯度增強(qiáng)型Kriging的VFM、基于分層Kriging的VFM以及基于CoKriging的VFM等，在代理模型、飛行器設(shè)計(jì)和氣動優(yōu)化等領(lǐng)域取得了較為重大的突破。宋保維等[25]基于Han等[26]提出的樣本點(diǎn)更新策略結(jié)合交叉算子方法建立了VFM，能夠精確的預(yù)測自主水下航行器的流體動力參數(shù)。黃禮鏗等[27]利用Co-Kriging方法構(gòu)造了一種高效的VFM，并通過氣動優(yōu)化算例驗(yàn)證了該方法在優(yōu)化中的高效性與實(shí)用性。Zhou等[28-29]等提出一種根據(jù)已有信息主動學(xué)習(xí)進(jìn)行加點(diǎn)的VFM構(gòu)造方法，并通過數(shù)值算例和工程算例驗(yàn)證了方法的通用性。劉蔚[30]采用VFM對7 000 m載人潛水器的載人耐壓球殼結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算分析。但針對多級加筋殼這種復(fù)雜的薄壁結(jié)構(gòu)的后屈曲分析問題，是一個有潛力的VFM應(yīng)用場景，國內(nèi)外目前還未針對多級加筋殼后屈曲分析給出有效的VFM構(gòu)建方法，包括HFM與LFM的建立方式，合適的樣本點(diǎn)更新策略等，亟待開展研究。

針對多級加筋殼結(jié)構(gòu)的后屈曲極限承載力預(yù)測問題建立了VFM，并基于最大RMSE加點(diǎn)準(zhǔn)則在VFM最大誤差處進(jìn)行樣本點(diǎn)更新。結(jié)果表明建立的VFM能高效且準(zhǔn)確地預(yù)測多級加筋殼結(jié)構(gòu)的后屈曲極限承載力。同時(shí)還討論了合適的LFM建立方式對VFM精度的重要性。

1 多級加筋殼HFM與LFM建立方法

1.1 HFM建立方法

基于精細(xì)有限元模型的顯式動力學(xué)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)極限承載力的計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果作為HFM。顯式動力學(xué)方法可以模擬軸壓實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，進(jìn)而準(zhǔn)確模擬結(jié)構(gòu)后屈曲行為，預(yù)測得到結(jié)構(gòu)極限承載力，該方法穩(wěn)健、不存在收斂性問題[31]，其控制方程為

(1)

1.2 LFM建立方法

對于加筋筒殼結(jié)構(gòu)，周期性單胞結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)可以基于漸近均勻化數(shù)值等效方法進(jìn)行求解。根據(jù)經(jīng)典的漸近均勻化理論[13]，周期性單胞結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)Aij、Bij和Dij的求解公式為

(2)

漸近均勻化方法的傳統(tǒng)數(shù)值求解方法需要在每個單元上進(jìn)行積分求解支反力和應(yīng)變能。當(dāng)周期性單胞結(jié)構(gòu)中含有微結(jié)構(gòu)時(shí)，為了準(zhǔn)確分析結(jié)構(gòu)性能，需要針對微結(jié)構(gòu)劃分大量單元。此時(shí)，傳統(tǒng)數(shù)值求解方法需要進(jìn)行大量的單元積分求解，計(jì)算成本將大幅度增加。為了提高漸近均勻化方法的求解效率，Cheng[14]和Cai[15]等建立了漸近均勻化方法的快速數(shù)值求解方法，將周期性單胞結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)用一種更簡潔的方式來進(jìn)行計(jì)算：

(3)

式(3)中的每個系數(shù)均可基于商用有限元軟件計(jì)算得出，無須采用傳統(tǒng)漸近均勻化方法中的復(fù)雜積分求導(dǎo)，從而加筋單胞的等效剛度系數(shù)Aij、Bij和Dij可以快速獲得。

基于上述剛度等效方法，對多級加筋殼次筋進(jìn)行等效，然后基于顯式動力學(xué)方法進(jìn)行后屈曲分析，以此作為LFM。由于上述方法既等效了結(jié)構(gòu)又保留了后屈曲分析，建立的LFM可以在保證較高效率的同時(shí)獲得結(jié)構(gòu)的后屈曲特性，稱此方法為混合方法。

1.3 HFM與LFM預(yù)測精度和計(jì)算效率

開展算例研究來對比HFM與LFM 的預(yù)測精度與計(jì)算效率。算例所采用的多級加筋殼模型幾何參數(shù)如下：不可變參數(shù)包括多級加筋殼直徑D=3 000.0 mm和多級加筋殼高度L=2 000.0 mm；可變參數(shù)包括蒙皮厚度ts、主筋高度hj、主筋厚度trj、軸向主筋數(shù)目Naj、環(huán)向主筋數(shù)目Ncj、次筋高度hn、次筋厚度trn、主筋格柵中的軸向次筋數(shù)目Nan和主筋格柵中的環(huán)向次筋數(shù)目Ncn。蒙皮和筋條的材料屬性如表1所示?？勺儏?shù)的變量設(shè)計(jì)空間如表2所示。進(jìn)行顯式動力學(xué)分析的加載時(shí)間為200 ms，加載總位移為20 mm。邊界條件設(shè)置如下：底端固支，頂端約束除軸向位移外的其余自由度，并將頂端面所有節(jié)點(diǎn)剛性耦合至參考點(diǎn)，在參考點(diǎn)上施加軸壓位移載荷直至結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌。

表1 材料屬性Table 1 Mechanical properties

表2 多級加筋殼設(shè)計(jì)空間Table 2 Design space of hierarchical stiffened shells

HFM和LFM的有限元模型示意如圖1所示?；诶〕⒎匠闃?Latin Hypercube Sampling, LHS)方法在設(shè)計(jì)空間抽取20個樣本點(diǎn)，并基于HFM和LFM分別計(jì)算樣本點(diǎn)的極限承載力，其數(shù)據(jù)相關(guān)性如圖2所示，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.97，表明LFM與HFM計(jì)算結(jié)果有較強(qiáng)的相關(guān)性。HFM的計(jì)算時(shí)長約為1.67 h，而LFM的計(jì)算時(shí)長僅約為0.083 h，表現(xiàn)出較高的分析效率?？梢钥闯?，LFM具有較高的預(yù)測精度和效率。

圖1 多級加筋殼HFM與LFM示意圖Fig.1 Illustration of HFM and LFM of hierarchical stiffened shells

圖2 HFM和LFM的相關(guān)性分析Fig.2 Correlation analysis results of HFM with LFM

2 多級加筋殼VFM構(gòu)建方法

2.1 橋函數(shù)

Benjamin等[32]總結(jié)了3種對HFM和LFM進(jìn)行結(jié)合的方式，分別是自適應(yīng)(Adaptation)、融合(Fusion)與過濾(Filtering)。自適應(yīng)方法在計(jì)算過程中采用自適應(yīng)策略，利用來自HFM的信息增強(qiáng)LFM；融合方法通過對LFM和HFM數(shù)據(jù)進(jìn)行評估，以某種方式將LFM和HFM結(jié)合起來；過濾方法在對LFM濾波器進(jìn)行測評之后調(diào)用HFM數(shù)據(jù)。

融合方法是較為常用的VFM結(jié)合方法，又稱為橋函數(shù)法，可分為加法式[33]、乘法式[33]與綜合式[34-35]。基于加法式橋函數(shù)構(gòu)建VFM：

yVFM=yLF(x)+δ(x)

(4)

通過在LFM(yLF)的基礎(chǔ)上加入橋函數(shù)δ(x)，得到VFM (yVFM)。

2.2 高斯過程回歸

高斯過程回歸(Gaussian Process Regression, GPR)是使用高斯過程先驗(yàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析的非參數(shù)模型[36]。高斯過程是一個隨機(jī)過程，對處理小樣本、非線性、高維數(shù)等復(fù)雜問題有較好的擬合效果。

高斯過程的表達(dá)式為

f(x)～GP(m(x),k(x,x′))

(5)

式中:f(x)表示滿足聯(lián)合高斯分布的任意假設(shè)函數(shù)；m(x)表示均值函數(shù)；k(x,x′)表示協(xié)方差函數(shù)，GP表示高斯過程。

假設(shè)自變量為x，因變量為y，加入噪聲ε即可建立高斯回歸過程模型，即

y=f(x)+ε

(6)

由式(5)和式(6)可得觀測值y的先驗(yàn)分布：

(7)

根據(jù)貝葉斯原理，GP在給定數(shù)據(jù)集內(nèi)建立先驗(yàn)函數(shù)，并在測試數(shù)據(jù)集中轉(zhuǎn)變?yōu)楹篁?yàn)分布，觀測值y與預(yù)測值f*的聯(lián)合高斯分布為

(8)

式中：K(X,X)表示N×N的核矩陣，其元素為Kij=k(xi,xj)；X表示輸入樣本；X*表示待預(yù)測輸入值。

于是GPR方程可寫為

f*|X,y,X*～N(m*,K(f*,f*))

(9)

(10)

K(f*,f*)=K(X*,X*)-K(X*,X)·

(11)

式中：f*是GPR模型的輸出；m*為預(yù)測值的均值；K(f*,f*)表示輸出預(yù)測值的后驗(yàn)方差。預(yù)測值的后驗(yàn)方差可以用來度量預(yù)測結(jié)果的不確定性，即可信程度。

2.3 樣本點(diǎn)更新策略及精度評價(jià)指標(biāo)

基于代理模型的優(yōu)化方法，國際上已發(fā)展了多種加點(diǎn)準(zhǔn)則[37]，其中基于最大均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)方法的加點(diǎn)準(zhǔn)則是提高代理模型全局精度最好的準(zhǔn)則[38]。前面已經(jīng)提到，GPR不僅可以預(yù)測未知點(diǎn)處的響應(yīng)值，還可以預(yù)測未知點(diǎn)處的RMSE，對于VFM，其未知點(diǎn)處的均方根誤差為LFM的誤差與橋函數(shù)的誤差之和：

RMSE(x)=RMSE(yLF(x))+RMSE(δ(x))

(12)

通過在迭代時(shí)加入RMSE值最大的樣本點(diǎn)，即可不斷提高模型的整體精度。具體加點(diǎn)原理通過簡單一維測試函數(shù)展示。如圖3(a)所示，初始時(shí)高保真樣本點(diǎn)只有3個，可以看到藍(lán)色線表示的VFM與黃色線表示的真實(shí)模型存在一定的差距。通過在RMSE最大處加入3個樣本點(diǎn)，如圖3(b) 所示，VFM曲線已經(jīng)和真實(shí)模型接近，只有局部存在少量誤差。當(dāng)樣本點(diǎn)數(shù)量增加到6個時(shí)，如圖3(c)所示，VFM曲線已基本和真實(shí)模型重合，紅色線表示的均方根誤差也都處于較小值，模型的整體精度有較明顯的提升。

圖3 基于最大RMSE自適應(yīng)加點(diǎn)示意圖Fig.3 Illustration of procedure for maximal RMSE-based adaptive updating approach

采用RMSE和R2作為代理模型精度的評價(jià)指標(biāo)：

(13)

(14)

2.4 VFM構(gòu)造步驟

VFM的構(gòu)建方法如圖4所示，主要步驟包括：

圖4 VFM構(gòu)建流程Fig.4 Flowchart of constructing VFM

步驟1對高、低保真度數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，本文使用LHS進(jìn)行抽樣，以得到分布相對均勻的高、低保真度樣本點(diǎn)。

步驟2基于第1節(jié)中的方法分別獲得高、低保真度樣本點(diǎn)處的響應(yīng)，并根據(jù)低保真度數(shù)據(jù)基于GPR構(gòu)建LFM。

步驟3先計(jì)算LFM在高保真度樣本點(diǎn)處的響應(yīng)，然后得到該處的LFM響應(yīng)與HFM結(jié)果的差值，根據(jù)差值建立橋函數(shù)代理模型。

步驟4根據(jù)橋函數(shù)代理模型與LFM構(gòu)建VFM。

步驟5檢驗(yàn)是否滿足停止準(zhǔn)則。若滿足，則跳轉(zhuǎn)至步驟7；若不滿足，則繼續(xù)步驟6。

步驟6根據(jù)樣本點(diǎn)更新策略加入新樣本點(diǎn)。首先，在步驟 6.1 中，在設(shè)計(jì)空間中通過LHS方法產(chǎn)生1 000組樣本點(diǎn)，構(gòu)成基礎(chǔ)樣本集。然后，在步驟6.2中，分別求出LFM和橋函數(shù)代理模型的誤差指標(biāo)RMSE，并將兩者求和。遍歷1 000 組樣本點(diǎn)對應(yīng)的RMSE，將RMSE值最大的樣本點(diǎn)作為新樣本點(diǎn)加入高保真度樣本點(diǎn)集中，跳轉(zhuǎn)至步驟2。

步驟7輸出滿足要求的VFM。

3 多級加筋殼VFM構(gòu)建結(jié)果

HFM的預(yù)測精度與樣本點(diǎn)數(shù)目的關(guān)系如表3 所示，柱狀圖形式如圖5所示?？梢钥闯鲭S著高保真樣本點(diǎn)的增加，HFM的整體精度也隨之增加。當(dāng)代理模型精度較高(R2=0.951)時(shí)，需要計(jì)算100個高保真樣本點(diǎn)的響應(yīng)以構(gòu)造代理模型，計(jì)算成本較大。

圖5 HFM精度與高保真樣本點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系Fig.5 Relationship between accuracy of HFM and number of high-fidelity sample points

表3 HFM精度與高保真樣本點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系

基于混合方法建立的LFM的預(yù)測精度與樣本點(diǎn)數(shù)目的關(guān)系如表4所示，繪制成柱狀圖形式如圖6所示。當(dāng)?shù)捅Ｕ娑葮颖军c(diǎn)的數(shù)量為200時(shí)，代理模型RMSE為1 742.2，R2為0.892。可以看出，若繼續(xù)增加樣本點(diǎn)數(shù)量，LFM的精度也無明顯提高。

圖6 LFM精度與低保真樣本點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系Fig.6 Relationship between accuracy of LFM and number of low-fidelity sample points

表4 LFM精度與低保真樣本點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系

選取20個高保真樣本點(diǎn)與200個低保真樣本點(diǎn)構(gòu)建的VFM作為基準(zhǔn)，通過第2節(jié)所提出的樣本點(diǎn)更新策略進(jìn)行加點(diǎn)，設(shè)定的收斂準(zhǔn)則為新增樣本點(diǎn)數(shù)目不超過10個。加點(diǎn)個數(shù)與VFM精度關(guān)系如圖7所示，隨著樣本點(diǎn)的不斷更新，VFM精度也不斷提高，收斂時(shí)RMSE為1 185.5，相比加點(diǎn)前降低38.2%；收斂時(shí)R2為0.949，相比加點(diǎn)前提高9.2%。

圖7 加點(diǎn)個數(shù)與VFM精度的關(guān)系Fig.7 Relationship between accuracy of VFM and number of updating sample points

由表5可知，上述根據(jù)自適應(yīng)加點(diǎn)構(gòu)建的VFM的R2為0.949，100個HFM的R2為0.951，兩者精度水平較為接近，而前者的計(jì)算時(shí)間只需4 000 min，相比100個HFM降低了60%的計(jì)算耗時(shí)。若直接采用30HFM+200LFM構(gòu)建VFM，計(jì)算耗時(shí)也為4 000 min，但其RMSE為1 521.5，相比自適應(yīng)加點(diǎn)方法構(gòu)建的VFM增加了28.3%，R2為0.915，相比自適應(yīng)加點(diǎn)方法構(gòu)建的VFM降低了3.6%，表明了加點(diǎn)策略的有效性。

表5 代理模型樣本數(shù)量與精度和計(jì)算耗時(shí)的關(guān)系

綜合來看，基于RMSE的自適應(yīng)加點(diǎn)方法構(gòu)建的VFM可以在滿足精度要求的同時(shí)有效地節(jié)約計(jì)算成本。

4 面向后屈曲問題LFM建立方法討論

在VFM的構(gòu)建過程中需要先建立HFM和LFM，LFM有多種建立方式[39]。針對不同的實(shí)際問題，如何建立合適的LFM是一個具有挑戰(zhàn)性的難題，建立不恰當(dāng)?shù)腖FM可能會導(dǎo)致構(gòu)建的VFM精度不如直接使用HFM[40]。如前文所說，多級加筋殼結(jié)構(gòu)后屈曲極限承載力的預(yù)測是一個高度非線性和復(fù)雜的問題，建立合適的LFM對于VFM效率和精度尤為重要。

除了1.2節(jié)中介紹的混合方法，通常思路是通過剛度等效的方式對筋條進(jìn)行等效以降低計(jì)算成本，再通過瑞利-里茲法得到其線性屈曲載荷，Wang等[41]針對多級加筋筒殼結(jié)構(gòu)基于NIAH方法和瑞利-里茲法建立了NSSM方法，可以快速預(yù)測多級加筋殼的線性屈曲載荷和屈曲模態(tài)，但該方法只能預(yù)測線性階段承載能力，無法獲得后屈曲特性。本節(jié)將以基于NSSM方法建立的LFM與1.2節(jié)中基于混合方法建立的LFM進(jìn)行對比，以討論這兩種LFM對于構(gòu)建VFM的精度的影響。

NSSM方法的流程主要包括3步[42]：第1步，從多級加筋殼結(jié)構(gòu)中提取出代表性單胞結(jié)構(gòu)，進(jìn)行有限元建模；第2步，基于NIAH方法計(jì)算單胞結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)Aij、Bij和Dij；第3步，將上述等效剛度系數(shù)代入至瑞利-里茲公式，計(jì)算得出整體型屈曲載荷值。本節(jié)將第3節(jié)中的200個 LFM樣本點(diǎn)基于NSSM方法重新計(jì)算，構(gòu)建的相關(guān)代理模型精度結(jié)果如表5所示。

由表5可知，盡管基于NSSM方法建立的LFM在計(jì)算耗時(shí)上有所降低，但其200個低保真度樣本點(diǎn)構(gòu)建的LFM的R2精度只有0.658，遠(yuǎn)低于基于混合方法構(gòu)建的LFM。原因是NSSM方法只預(yù)測線性屈曲階段，沒有預(yù)測到后屈曲階段高度非線性和復(fù)雜性的信息，因此造成了較大的誤差。相比之下，基于混合方法建立的LFM，可以有效預(yù)測后屈曲階段，R2達(dá)到0.892，表現(xiàn)出更高的預(yù)測精度。由1.3節(jié)內(nèi)容可知，基于混合方法所建立的LFM和HFM在設(shè)計(jì)空間內(nèi)具有高度相關(guān)性，是一種能較準(zhǔn)確描述極限承載力變化趨勢的LFM。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，基于NSSM方法建立的LFM構(gòu)建的VFM及其加點(diǎn)后結(jié)果與混合方法相比均精度較差，并沒有達(dá)到理想的高精度效果。由此可見，選取合適的LFM對于高精度VFM的建立具有重要意義。

5 結(jié) 論

1) 以精細(xì)有限元模型和顯式動力學(xué)算法建立了多級加筋殼的HFM，并基于混合方法建立了多級加筋殼的LFM。在此基礎(chǔ)上，借助于橋函數(shù)實(shí)現(xiàn)了HFM與LFM的連接，并基于GPR方法構(gòu)建了適用于多級加筋殼的VFM。

2) 基于RMSE更新策略在VFM誤差最大處持續(xù)更新樣本點(diǎn)，使得VFM精度進(jìn)一步提高。多級加筋殼算例結(jié)果表明，在達(dá)到同樣的高精度要求時(shí)，基于本文提出方法構(gòu)建的VFM相比于基于直接通過HFM抽樣的代理模型降低了約60%的計(jì)算成本，將有助于提高多級加筋殼后屈曲分析及優(yōu)化效率。

3) 驗(yàn)證了基于混合方法建立LFM的有效性，表明了對于后屈曲分析問題LFM應(yīng)選取可捕捉后屈曲階段的LFM，而只能計(jì)算線性屈曲的LFM對于建立后屈曲問題的VFM作用不大。

后續(xù)將基于提出的VFM開展多級加筋殼高效優(yōu)化方法研究。