基于地球坐標(biāo)系的SINS/GNSS極區(qū)組合導(dǎo)航算法

張甲甲，卞鴻巍，王榮穎，馬 恒

(海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033)

0 引言

極區(qū)冰層的快速減少，使北極航道逐漸成為新的海上交通動(dòng)脈。隨著對極區(qū)導(dǎo)航問題的日益重視，人們針對傳統(tǒng)的力學(xué)編排方案在極區(qū)不再具備導(dǎo)航能力的問題，提出了諸多適用于極區(qū)導(dǎo)航的慣導(dǎo)力學(xué)編排方案，如極區(qū)平面導(dǎo)航、極區(qū)格網(wǎng)導(dǎo)航、橫向坐標(biāo)系導(dǎo)航[1]等。然而無論哪種形式的慣導(dǎo)編排，都會(huì)表現(xiàn)出慣導(dǎo)固有的特性，如穩(wěn)定性、振蕩性以及對初始條件做出的響應(yīng)[2]，這些特性對慣導(dǎo)系統(tǒng)精度將產(chǎn)生嚴(yán)重影響。

為保證艦船在極區(qū)可以長航時(shí)高精度工作，國內(nèi)外學(xué)者對極區(qū)阻尼及組合導(dǎo)航技術(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究[3-8]。文獻(xiàn)[3]提出了適用于極區(qū)的橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation Sy-stem，SINS)阻尼技術(shù)；文獻(xiàn)[4]參考傳統(tǒng)指北方位慣導(dǎo)力學(xué)編排方案，提出了一種基于橫坐標(biāo)系的SINS/多普勒計(jì)程儀(Doppler Velocity Log，DVL)組合方案；文獻(xiàn)[5]在格網(wǎng)坐標(biāo)系框架下推導(dǎo)了格網(wǎng)慣性力學(xué)編排方程和導(dǎo)航誤差方程，結(jié)合星跟蹤器的輸出提出了慣性/星跟蹤器極區(qū)組合方案；文獻(xiàn)[6]提出了極區(qū)游動(dòng)坐標(biāo)系下的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Inertial Navigation System，INS)/全球定位系統(tǒng)(Gl-obal Positioning System，GPS)組合導(dǎo)航方案。但是，文獻(xiàn)[3-5]的慣導(dǎo)編排都是基于地球球體模型的，存在原理性誤差；文獻(xiàn)[6]提出的組合導(dǎo)航方案不具有穿越極點(diǎn)的能力。

綜上所述，本文結(jié)合全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)全球性和高精度等優(yōu)點(diǎn)[9-10]，研究了一種基于地球坐標(biāo)系的SINS/GNSS極區(qū)組合導(dǎo)航算法，在地球橢球模型的框架下定義了橫向坐標(biāo)系，將地球坐標(biāo)系確定為慣導(dǎo)計(jì)算坐標(biāo)系，卡爾曼濾波器估計(jì)的姿態(tài)、速度和位置誤差是相對于地球坐標(biāo)系的，再將地球坐標(biāo)系下的導(dǎo)航結(jié)果轉(zhuǎn)換到橫向坐標(biāo)系。相對于當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系算法，地球坐標(biāo)系下的捷聯(lián)算法和卡爾曼濾波算法在保證導(dǎo)航精度的情況下，計(jì)算效率可以分別提升40%和10%[11]，對實(shí)現(xiàn)高精度的導(dǎo)航及濾波算法十分有利。結(jié)果表明，地球坐標(biāo)系下的組合導(dǎo)航算法滿足極區(qū)航行的需求。

1 基于地球橢球模型的橫向坐標(biāo)系設(shè)計(jì)

如圖1所示，定義0°經(jīng)線和180°經(jīng)線組成的大橢圓為橫向赤道，取90°E經(jīng)線和90°W經(jīng)線的北半球部分組成的半個(gè)大橢圓為0°橫向經(jīng)線，定義原地理坐標(biāo)點(diǎn)(0°，90°E)和(0°，90°W)分別為橫向北極點(diǎn)和橫向南極點(diǎn)。橫向地球坐標(biāo)系與地球固聯(lián)，取地球橢球體模型的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，X′ 軸指向傳統(tǒng)北極N，Y′ 軸指向格林尼治子午線與赤道的交點(diǎn),Z′ 軸指向橫北極點(diǎn)。

圖1 橢球橫向坐標(biāo)系Fig.1 The transversal coordinate frame based on the earth ellipsoid model

地球表面上任意一點(diǎn)P的橫向緯度定義為地球橢球面外法線與橫向赤道面的夾角，其橫向經(jīng)度為地球橢球面外法線在橫向赤道面上的投影與OX′ 軸的夾角。定義橫向地理坐標(biāo)系(n′)的橫地向軸D′沿參考橢球體的法線方向，橫北向軸N′在垂直于D′軸的平面內(nèi)，指向橫北極的方向，根據(jù)右手定則確定橫東向軸E′。

根據(jù)以上定義，利用幾何關(guān)系可以得到橫向經(jīng)緯度與地球坐標(biāo)的關(guān)系為

(1)

依據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)緯度與地球坐標(biāo)的關(guān)系為

(2)

可得，傳統(tǒng)經(jīng)緯度與橢球橫向經(jīng)緯度的變換公式為

(3)

根據(jù)式(3)，RN用橫向經(jīng)緯度表示為

(4)

式中，R0為赤道半徑。

慣導(dǎo)系統(tǒng)直接輸出地球坐標(biāo)系下的導(dǎo)航參數(shù)，經(jīng)過以下變換可得到橫向地理坐標(biāo)系下的導(dǎo)航參數(shù)。根據(jù)定義可以得橫向地球坐標(biāo)系與橫向地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(5)

從地球坐標(biāo)系到橫向地球坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(6)

由式(6)可以得到,地球坐標(biāo)系到橫向地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(7)

則橫向地理坐標(biāo)系下的速度為

(8)

橫向地理坐標(biāo)系下的姿態(tài)矩陣為

(9)

由式(1)可得,由地球坐標(biāo)系下的位置到橫向地理坐標(biāo)系下的位置的計(jì)算式為

(10)

由于式(10)中等式右側(cè)包含L′、λ′、RN項(xiàng)，且RN是橫向經(jīng)緯度的函數(shù)，故式(10)需經(jīng)過多次迭代才能得到。一般可取前一時(shí)刻的橫向位置作為迭代初值。

2 地球坐標(biāo)系下的慣導(dǎo)編排

(11)

(12)

(13)

其中，μ為地球引力常數(shù)，取值為3.986004418×1014m/s2，J2為地球第二引力常數(shù)，取值為1.082627×10-3[13]。

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差模型不僅是系統(tǒng)誤差分析與控制的基礎(chǔ)，而且還可用于系統(tǒng)中實(shí)時(shí)故障檢測和卡爾曼濾波的執(zhí)行。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)在地球坐標(biāo)系下的誤差模型可表示為[14]

(14)

(15)

3 地球坐標(biāo)系組合導(dǎo)航算法

在本文研究的SINS/GNSS組合導(dǎo)航系統(tǒng)(見圖2)中，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)選用地球坐標(biāo)系作為導(dǎo)航解算坐標(biāo)系，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)直接輸出地球坐標(biāo)系下的位置和速度信息作為量測量輸入到卡爾曼濾波器，對SINS誤差進(jìn)行估計(jì)。將濾波器估計(jì)的SINS誤差反饋到慣導(dǎo)系統(tǒng)中對導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行校正，再對校正后的地球坐標(biāo)系下的導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行導(dǎo)航信息轉(zhuǎn)換，得到橫向地理坐標(biāo)系下的導(dǎo)航參數(shù)構(gòu)成組合導(dǎo)航系統(tǒng)輸出。

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

(16)

根據(jù)式(14)可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(17)

式中，ws為系統(tǒng)噪聲向量，G為系統(tǒng)噪聲分布矩陣，系統(tǒng)矩陣F表示為

(18)

其中

(19)

3.2 系統(tǒng)量測方程

將GNSS測量的地球坐標(biāo)系下的載體位置、速度與慣導(dǎo)輸出的位置、速度的差值作為觀測量，建立量測方程為

(20)

則量測方程的矩陣形式為

z=Hx+wm

(21)

式中,wm為量測噪聲，用I3表示三階單位陣，測量矩陣近似為

(22)

4 仿真驗(yàn)證

圖3 橫向位置誤差對比Fig.3 Comparison of transverse position errors

圖4 橫速度向誤差Fig.4 Comparison of transverse velocity errors

圖5 橫向姿態(tài)誤差對比Fig.5 Comparison of transverse attitude errors

由圖3～圖5可得，在1800s的仿真時(shí)長內(nèi)，兩種組合導(dǎo)航方法輸出的橫向地理坐標(biāo)系下的導(dǎo)航信息均獲得了較好的收斂效果?；诘厍蜃鴺?biāo)系的SINS/GNSS極區(qū)組合導(dǎo)航方法的橫向定位誤差不超過2m，橫向速度誤差不超過0.02m/s，姿態(tài)精度達(dá)到0.4′。在1100s左右穿過極點(diǎn)時(shí)，各導(dǎo)航信息未發(fā)生跳變，系統(tǒng)十分穩(wěn)定。其中地球坐標(biāo)系下的組合導(dǎo)航方法得到的位置和航向精度優(yōu)于橫向地理坐標(biāo)系下的組合導(dǎo)航方法，且輸出導(dǎo)航信息更加穩(wěn)定。這是因?yàn)樵跇O區(qū)范圍內(nèi)，地球表面形變較大，不能很好地與地球橢球模型吻合，而地球坐標(biāo)系下的組合導(dǎo)航方法脫離了地球橢球模型假設(shè)，具有更高的導(dǎo)航精度。由此可以看出，本文研究的組合導(dǎo)航系統(tǒng)能有效解決極區(qū)環(huán)境下慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差隨時(shí)間積累的問題，滿足極區(qū)航行作業(yè)的需求。

5 結(jié)論

本文研究了一種基于地球坐標(biāo)系的極區(qū)SINS/GNSS組合導(dǎo)航算法，給出了橫向坐標(biāo)系的定義，建立了地球坐標(biāo)系與橫向坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的計(jì)算更新在地球坐標(biāo)系下完成，將GNSS測量的地球坐標(biāo)系下的載體位置、速度與慣導(dǎo)輸出的位置、速度的差值作為觀測量進(jìn)行濾波估計(jì)，最后將解算結(jié)果轉(zhuǎn)換到橫向坐標(biāo)系下。算法在保證導(dǎo)航精度的情況下，大幅度提升了計(jì)算效率。仿真結(jié)果表明，該算法滿足極區(qū)航行的要求，并且在艦船穿越極點(diǎn)時(shí)，也可提供高精度的導(dǎo)航信息。