已知一邊及其所對角在解三角形中的應(yīng)用

王洪強

摘? 要：解三角形即是求解三角形的三邊與三角。在歷年高考試題中，解三角形既是高考的重點也是熱點問題。其考查形式常與平面向量、三角函數(shù)以及正余弦定理等知識點交匯。如果已知三角形兩邊與一角或者兩角與一邊，那么解這樣的三角形是很容易的，這是對一名合格高中生的要求。但是已知三角形的一邊與一角，這樣的三角形有無數(shù)個，屬于不定問題。這樣的問題對學(xué)生的能力要求較高，具有一定的選拔功能。因此，這種問題常作為高考題目。然而，在教學(xué)中很少有老師及學(xué)生能把這樣的問題上升為理論，歸納出解決方法。導(dǎo)致了他們總是按照傳統(tǒng)模式去解決這類問題，耗費了大量的解題時間。因此，筆者以此為出發(fā)點，在研究中發(fā)現(xiàn)了已知三角形的一邊與及其所對的角也有一定的規(guī)律性，可應(yīng)用與求三角形面積的最值、弦互換等問題，這樣可大大提高解題效率。

關(guān)鍵字：解三角形? ?一邊及其所對角? 最值? ?邊弦互換

在解三角形時，已知三角形的某一條邊及其所對角，如 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 ， （ 為定值）.其應(yīng)用如下：

1.邊和弦互換求最值

由正弦定理， （ 為 外接圓的半徑）

可知， 唯一確定，不妨設(shè) .

由 ，得

所以，邊和弦可以互換。

例1： 的內(nèi)角 的對邊分別為 ， ， ，求 的最大值。

解析：由 ，得? =2

即? ?= ， .

當 時， 的最大值為 .

2.當且僅當 時， 的最大值為 ， 面積的最大值為 .

推論：若 為銳角，當且僅當 時， 的最大值為 ;

若 為鈍角，當且僅當 時， 的最小值為 .

推導(dǎo)：

所以，當且僅當 時， 的最大值為 ;

從而， 面積的最大值為 .

例2：（2013全國2卷） 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 .

（1）求 ;（2）若 ，求 面積的最大值.

解：（1）易得 ;

（2）由結(jié)論得，當且僅當 時， 面積的最大值是

強調(diào)：本題還可以求 的最大值， 的最大值。

3.已知 ， （ 為定值），若再加一個邊、角關(guān)系，即可解三角形中剩下的元素.

例3： 的內(nèi)角 的對邊分別為 ， ， .若 的面積為 ，求 的值。

解析：由

雖然已知三角形的一邊與及其所對的角雖然屬于不定問題，但我們只要善于抓住三角形所對應(yīng)的外接圓半徑為定值這一規(guī)律，求三角形面積的最值、邊弦互換等問題便迎刃而解。

參考文獻：

[1]黃書虹. 解三角形中的一題多解[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（4）.