掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)對(duì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的意義

布魯納認(rèn)為：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解（掌握）該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)，包括該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法。他還認(rèn)為：“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！笨梢?jiàn)，他的結(jié)構(gòu)說(shuō)包含事物之間的相互聯(lián)系和規(guī)律性，具有“普遍而強(qiáng)有力的適用性”。重視學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，懂得了基本原理，能使學(xué)科知識(shí)變得更容易理解。這樣，也有助于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的記憶與理解，有助于增進(jìn)學(xué)習(xí)中的遷移，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)或?qū)W習(xí)興趣，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

一、掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)，突顯知識(shí)本質(zhì)

現(xiàn)行的大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中常將學(xué)科結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解和重編，讓學(xué)生一點(diǎn)一點(diǎn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷循環(huán)， 螺旋上升。而作為數(shù)學(xué)教師，要還原數(shù)學(xué)本來(lái)的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生看到或觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)核心的完整樣子，使其感悟到隱藏于知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想。

（一）知識(shí)體系結(jié)構(gòu)

菲利克斯·克萊因說(shuō)：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單;一個(gè)稱(chēng)職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過(guò)程，以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過(guò)?！庇纱祟?lèi)推，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該了解初等數(shù)學(xué)的體系和結(jié)構(gòu)，要了解初等數(shù)學(xué)史。只有這樣，才能更好地把握教學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生良好的數(shù)學(xué)教育。

如“分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。何為分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于實(shí)際測(cè)量與均分。在數(shù)學(xué)史中，由于分?jǐn)?shù)意義的抽象及分?jǐn)?shù)的表達(dá)方式的繁瑣，使得分?jǐn)?shù)的發(fā)展陷于僵局。直至將分?jǐn)?shù)與除法聯(lián)系了起來(lái)，發(fā)現(xiàn)了“在除法中，為了使除法運(yùn)算總可以施行，可以用分?jǐn)?shù)表示除法的商”之后，分?jǐn)?shù)才被更多的人所接受，分?jǐn)?shù)的意義也才有了不同的定義，分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)也才有了較大的拓展。分?jǐn)?shù)被定義為是“正整數(shù)p除以正整數(shù)q的商”，并作了補(bǔ)充定義：當(dāng) q=1時(shí)，[pq]=p;當(dāng) p=0 時(shí)，[pq]=0。

關(guān)于分?jǐn)?shù)，著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生還給出了四種定義。

份數(shù)定義：分?jǐn)?shù)表示把一個(gè)單位平均分成若干份之后表示其中一份或幾份的數(shù)。

商的定義：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。

比的定義：分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比。

公理定義：有序的整數(shù)對(duì)（p，q），其中p≠0。

解讀分?jǐn)?shù)發(fā)生發(fā)展的歷史，有利于我們把握分?jǐn)?shù)的知識(shí)本質(zhì)。雖然現(xiàn)行的教材編排有所不同，但他們都還原了分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷史，即先從測(cè)量或均分開(kāi)始，初步感知分?jǐn)?shù)的意義，再通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系比較拓展分?jǐn)?shù)的意義。這樣的編排，既符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，又利于學(xué)生把握分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。

（二）教材編排結(jié)構(gòu)

任何教學(xué)方式、方法的創(chuàng)新，都離不開(kāi)教師對(duì)本學(xué)科教學(xué)內(nèi)容實(shí)質(zhì)的理解和把握，離不開(kāi)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的了解和尊重。只有科學(xué)、準(zhǔn)確、深入地理解教材，才能用好教材，才能做到因材施教。

教材在編寫(xiě)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容時(shí)有兩條線，第一條線就是對(duì)“1”的理解。三年級(jí)上冊(cè) “分?jǐn)?shù)”這一章，在教學(xué)概念時(shí)，教材中感知的是把單個(gè)物體看做一個(gè)具體形象的整體，把這個(gè)具象整體平均分成幾份，每份是這個(gè)具象整體的幾分之一。所以單個(gè)物體實(shí)體就是一個(gè)具象整體概念“1”。

三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”則是把多個(gè)物質(zhì)實(shí)體看做一個(gè)抽象的整體，所以多個(gè)物質(zhì)實(shí)體的集合就是一個(gè)抽象整體概念“1”，顯性呈現(xiàn)就是由1個(gè)蘋(píng)果到1筐蘋(píng)果的單位“由個(gè)到筐”。由原來(lái)單個(gè)的具象整體到多個(gè)物質(zhì)實(shí)體集合的抽象整體，是學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一次質(zhì)的飛躍。因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真復(fù)習(xí)三年級(jí)下冊(cè)的“一個(gè)整體平均分”，處理好“個(gè)數(shù)”與“份數(shù)”的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上揭示，把一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一些物體組成的整體都可以用自然數(shù)“1”來(lái)表示，這就是單位“1”。得到單位“1”之后，還要引導(dǎo)學(xué)生與自然數(shù)1進(jìn)行比較，以突出單位“1”的意義。

第二條線就是對(duì)關(guān)系的理解。教材從三年級(jí)開(kāi)始一直到五年級(jí)上冊(cè)的前面部分，更多的是理解部分與整體之間的關(guān)系。就是學(xué)生所理解的均分的定義，即把一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系后，分?jǐn)?shù)更多的是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，這就不僅是部分與整體之間的關(guān)系，也表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系，更可以表示整體與部分之間的關(guān)系，就出現(xiàn)了假分?jǐn)?shù)。再到六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“比”時(shí)，溝通了分?jǐn)?shù)與比之間的關(guān)系。這樣，既尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又突出了分?jǐn)?shù)的知識(shí)本質(zhì)。

整體理解教材的編排結(jié)構(gòu)，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，我們就會(huì)有不一樣的認(rèn)識(shí)，就不會(huì)一味地強(qiáng)調(diào)“平均分成若干份，取這樣的一份或幾份”了。由此可以看出，教材的編排注重知識(shí)之間的聯(lián)系，通過(guò)“橫向遷移”與“縱向深入”，不斷推動(dòng)學(xué)生深入對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)。

（三）數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)

在理解教材編排結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步讀懂教材，理解教材知識(shí)的呈現(xiàn)方式，把握其中所內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法。相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)背景、學(xué)生認(rèn)知方式、內(nèi)化途徑等決定著教材知識(shí)呈現(xiàn)的方式。反過(guò)來(lái)說(shuō)，只有理解了編排方式，讀懂了其中內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法，才能更好地去教學(xué)。

如五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積計(jì)算”，其在進(jìn)行公式的推導(dǎo)時(shí)，教材安排了三個(gè)例題。

這三個(gè)例題之間有著怎樣的邏輯關(guān)系呢？怎樣引領(lǐng)學(xué)生的思維，讓他們能夠通過(guò)對(duì)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí)，掌握一般平面圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法呢？這是我們?cè)诮庾x教學(xué)內(nèi)容時(shí)需要思考的問(wèn)題。研讀教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含這樣的思考探究過(guò)程：例1是通過(guò)轉(zhuǎn)化前后的面積是否相等，告訴學(xué)生圖形的轉(zhuǎn)化要以面積相等為基礎(chǔ);同時(shí)，也正是由于面積相等，所以才能通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)推導(dǎo)圖形的面積計(jì)算公式，這是面積公式推導(dǎo)的基石。例2是直接提出問(wèn)題“你能把右邊的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？”這讓很多教師感到困惑，這樣不是會(huì)減少學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化的靈活性嗎？其實(shí)不然，有向轉(zhuǎn)化，正是面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維基礎(chǔ)。要求推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式，那就必須轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形。因此，就要以長(zhǎng)方形的特征為思維基礎(chǔ)，進(jìn)行有向轉(zhuǎn)化，只有概括長(zhǎng)方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結(jié)論，也為以后面積計(jì)算公式推導(dǎo)提供思維路徑。例3則是通過(guò)教材第115頁(yè)提供的各種形式的平行四邊形，讓學(xué)生從中任意挑選，并提供表格讓學(xué)生交流、比較，意在讓學(xué)生明確這樣的關(guān)系比較普遍。最后，通過(guò)與長(zhǎng)方形進(jìn)行對(duì)比和簡(jiǎn)單演繹推理過(guò)程，得出平行四邊形面積計(jì)算公式。這樣就是從等積變形（轉(zhuǎn)化后與轉(zhuǎn)化前面積相等）→有向轉(zhuǎn)化（沿高剪開(kāi)轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)面積公式圖形）→更多舉例（經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納過(guò)程）→公式表達(dá)（由圖形各要素關(guān)系導(dǎo)出計(jì)算公式）的過(guò)程。

正是這三個(gè)例題中蘊(yùn)含的四個(gè)思考過(guò)程，把平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維路徑展開(kāi)得科學(xué)合理。教學(xué)時(shí)要把這樣的展開(kāi)邏輯讓學(xué)生充分經(jīng)歷、體驗(yàn)和感悟，形成思維結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生在今后的平面圖形面積計(jì)算公式乃至立體圖形體積計(jì)算公式等推導(dǎo)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自覺(jué)運(yùn)用，形成正向遷移。

二、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率

布魯納認(rèn)為：“學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用（同化），形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。”同化和順應(yīng)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的兩種途徑和方式 ，知識(shí)之間的關(guān)系是多向的，有并列、遞進(jìn)、從屬等關(guān)系。學(xué)生對(duì)新內(nèi)容的理解與存儲(chǔ)需要進(jìn)行類(lèi)比遷移與內(nèi)化，需要讓新舊內(nèi)容產(chǎn)生意義聯(lián)接，在同化、順應(yīng)中形成更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）教學(xué)推進(jìn)結(jié)構(gòu)

建構(gòu)原理指出：“學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理或法則時(shí)，要以最合適的方法建構(gòu)其代表?！泵恳粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)都要依據(jù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，選擇有效的教學(xué)方式，采取有效的推進(jìn)結(jié)構(gòu)，是演繹還是歸納，每一個(gè)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)都有自己的展開(kāi)邏輯與推進(jìn)結(jié)構(gòu)。如在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，我們就可以按如下四步逐漸推進(jìn)。

1.計(jì)算比較，提出猜想

學(xué)生分別計(jì)算兩只三角板的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)兩只三角板的內(nèi)角和都是180度。從而引發(fā)猜想：所有三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

2.多元驗(yàn)證，豐富體驗(yàn)

首先是分類(lèi)列舉，集中研究。根據(jù)三角形的分類(lèi)，從直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形中各選一個(gè)，提供給學(xué)生共同研究。學(xué)生自主選擇用量一量、算一算;撕一撕、拼一拼;折一折、拼一拼的方法去驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和。他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，量出的三個(gè)內(nèi)角的和都在180度左右;把三角形的三個(gè)角切下來(lái)，拼到了一起，正好是一個(gè)平角;采用折的方法，把三個(gè)角折到一起，也正好是一個(gè)平角。其次是更多舉例，尋找反例。教師先介紹兩個(gè)工具小軟件，一個(gè)是蘋(píng)果電腦中的APP“圖形活動(dòng)”，另一個(gè)是我們自主開(kāi)發(fā)的小軟件，稱(chēng)之為“活動(dòng)三角形”，就是一個(gè)三角形，旁邊顯示出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并用算式計(jì)算出內(nèi)角和。學(xué)生任意拖到了一個(gè)點(diǎn)，或者一條邊，就會(huì)得到若干個(gè)新的三角形。接著，讓學(xué)生自主選擇方法進(jìn)一步舉例驗(yàn)證，方法主要有三個(gè)，一是教師提供的一些三角形紙片，二是利用“圖形活動(dòng)”畫(huà)三角形驗(yàn)證，三是利用“活動(dòng)三角形”拖動(dòng)頂點(diǎn)或邊，觀察三角形的內(nèi)角和。學(xué)生交流體會(huì)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在“圖形活動(dòng)”中，任意畫(huà)出的三角形，切出的三角都可以拼成一個(gè)平角;拖動(dòng)“活動(dòng)三角形”時(shí)，三角形的形狀在變，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)也在變，但是三角形的內(nèi)角和都是180度。沒(méi)能找到內(nèi)角和不是180度的三角形。最后是了解經(jīng)典，豐富認(rèn)識(shí)。學(xué)生自主觀察小帕斯卡的驗(yàn)證方法，看完后與同桌交流。一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360度，平均分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度。任意一個(gè)銳角三角形或者鈍角三角形都可以沿著高分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度，兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360度，去掉拼成一條邊的兩個(gè)直角的度數(shù)，原來(lái)三個(gè)角的度數(shù)和是180度。

3.介紹證明，得出結(jié)論

教師介紹關(guān)于三角形的內(nèi)角和等于180度，還有更多的驗(yàn)證方法。數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，僅靠驗(yàn)證是不行的，數(shù)學(xué)家們還進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，最后得出結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于180度。

4.回顧研究，交流體會(huì)

教師借助學(xué)生的研究成果，以圖片的形式，領(lǐng)著學(xué)生一起回顧研究過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生思考：前面的研究過(guò)程中，你印象最深刻的是什么？有什么體會(huì)？

（二）習(xí)題編排結(jié)構(gòu)

比較和變式原理指出：“從具體形式到抽象形式的過(guò)渡，需要比較和變式，比較是幫助學(xué)生直觀地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、提高其抽象水平最有用的方式之一。”任何知識(shí)的學(xué)習(xí)，能力的養(yǎng)成，必須有一定量的練習(xí)。做怎樣的習(xí)題，習(xí)題如何呈現(xiàn)，這里也存在一定的結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，我們要根據(jù)知識(shí)的本質(zhì)，將相關(guān)習(xí)題以題組的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在比較中突出知識(shí)本質(zhì)，在辨別中掌握方法，掌握解題的一般步驟。

在學(xué)習(xí)完“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”后，可以提供如下一組練習(xí)：

學(xué)校體育室有50只足球，有40只排球。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學(xué)校體育室有50只足球，排球比足球少10只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學(xué)校體育室有40只排球，足球比排球多10只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學(xué)校體育室有40只排球，足球比排球多[14]。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

這組練習(xí)中，不管題目如何變化，最終都是用排球的只數(shù)除以足球的只數(shù)。如果當(dāng)中某個(gè)數(shù)量沒(méi)有直接告訴我們，則需要根據(jù)給出的條件先表示出某個(gè)數(shù)量，最終形成結(jié)構(gòu)：“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”與之前學(xué)習(xí)的“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”是一樣的，都是用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)。就這樣形成了解題的思維結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，有些題目也有一些特殊的方法，如第4個(gè)題目，就有不同的方法。但是，盡管有不同的方法，上述這種方法才是最本質(zhì)的方法。

（三）知識(shí)儲(chǔ)存結(jié)構(gòu)

關(guān)聯(lián)原理提出：“應(yīng)當(dāng)把各種概念、原理聯(lián)系在一起，在一個(gè)統(tǒng)一的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)。”要使學(xué)習(xí)卓有成效，就必須說(shuō)明和理解數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。如果學(xué)習(xí)的一個(gè)新知識(shí)，能夠納入學(xué)生已經(jīng)有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中去，學(xué)生就能輕松理解和記憶，就能理解知識(shí)之間的本質(zhì)，就能溝通知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，可以總結(jié)出異分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)加減法的一般方法：先通分，再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生回憶，我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)整數(shù)加減法、小數(shù)加減法時(shí)，一般是如何計(jì)算的。得出：計(jì)算整數(shù)加減法時(shí)，要把數(shù)的末尾對(duì)齊，從低位算起;小數(shù)加減法時(shí)，要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，再?gòu)牡臀凰闫?。啟發(fā)學(xué)生思考：為什么計(jì)算整數(shù)加減法時(shí)，要把末尾對(duì)齊;小數(shù)加減法時(shí)要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊;分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，卻要先通分。通過(guò)討論，交流得出：計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才可以直接相加減，這些做法都是為了讓計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)對(duì)齊。

“獲得的知識(shí)，如果沒(méi)有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。”注重結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)不是機(jī)械的學(xué)習(xí)，不是讓人很快遺忘的學(xué)習(xí)，而是有質(zhì)量的學(xué)習(xí)，有發(fā)展的學(xué)習(xí)，是一種素養(yǎng)提升的學(xué)習(xí) 。

把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、遵循兒童認(rèn)知規(guī)律、科學(xué)施教，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育的追求。讓學(xué)生感悟到結(jié)構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，可以讓學(xué)生用最少的時(shí)間，把握數(shù)學(xué)的精華，豐盈思維的結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）