融合數(shù)學(xué)思想　助力思維發(fā)展

呂振華

為參加觀摩課比賽，我與同事選取了北師版《義務(wù)教育教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“確定位置”一課進(jìn)行磨課，最后確定通過從“激發(fā)沖突，引發(fā)數(shù)對(duì)必要性——抽象寫法”“明確數(shù)對(duì)簡(jiǎn)潔性——鞏固練習(xí)”“了解數(shù)對(duì)生活化”三個(gè)環(huán)節(jié)授課。比賽時(shí)，贏得了不少掌聲。

近一年來，隨著對(duì)數(shù)學(xué)深度教學(xué)、數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)等理念的深度理解，我回顧一年前教學(xué)的“確定位置”一課時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然可以從生活中抽象出方格圖，達(dá)到了該教學(xué)預(yù)設(shè)的目標(biāo);但是從數(shù)學(xué)的角度來講，學(xué)生學(xué)得不夠深、不夠透。所以，我對(duì)“確定位置”一課的教學(xué)產(chǎn)生了新的思考并進(jìn)行了新的實(shí)踐。

一、對(duì)“確定位置”教學(xué)的再思考

在思考的過程中，我通過反思，梳理出以下三個(gè)問題，并通過實(shí)踐摸索，逐漸理清了思路。

（一）課中是否可以滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)深度教學(xué)理念指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升。”可以預(yù)見，數(shù)學(xué)深度教學(xué)的開展，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和自覺性，豐富學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)意義的理解，對(duì)于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力也有很大的幫助。要做到深度教學(xué)，需要教師以數(shù)學(xué)思想方法為抓手，幫助學(xué)生借助知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，在理解、抽象數(shù)對(duì)的過程中了解數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度（而不是生活的角度）去讀懂方格圖。

本課涉及兩個(gè)主要的數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想和一一對(duì)應(yīng)思想。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來了新的工具。直角坐標(biāo)系與幾何圖形相結(jié)合，也就是把幾何圖形放在坐標(biāo)平面上，使得幾何圖形上的每個(gè)點(diǎn)都可以用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對(duì)）來表示，這樣就可以用代數(shù)的量化運(yùn)算方法來研究圖形的性質(zhì)，堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。因此，學(xué)生雖然在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸到數(shù)形結(jié)合思想，但數(shù)形結(jié)合思想在“確定位置”一課中卻是體現(xiàn)得最為完美的。

一一對(duì)應(yīng)思想自小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)第一課起已在滲透，學(xué)生都知道一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)一定的數(shù)量，數(shù)軸、點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器等都能讓學(xué)生理解一一對(duì)應(yīng)思想;但本課與學(xué)生先前學(xué)習(xí)的情況不同，本課是用一組有序的數(shù)對(duì)（不是以前的一個(gè)數(shù)）表示方格圖上一個(gè)點(diǎn)的位置。此時(shí)的方格是有結(jié)構(gòu)的、有序的，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一的一組數(shù)，這也是用數(shù)對(duì)確定位置的關(guān)鍵所在。

事實(shí)上，用有序數(shù)對(duì)表示幾何學(xué)上的點(diǎn)，目的是數(shù)形結(jié)合，用數(shù)來表示幾何對(duì)象，包括直線和曲線。當(dāng)小學(xué)生看到根據(jù)數(shù)對(duì)的某種特性，在幾何上就可以表示出許多不同的直線時(shí)，我們可以想象到其內(nèi)心的震動(dòng)是非常強(qiáng)烈的，這也正是高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)的過程性目標(biāo)。

一一對(duì)應(yīng)思想則體現(xiàn)了用數(shù)對(duì)確定位置的有序性，數(shù)形結(jié)合思想化數(shù)字為圖形，讓人們借助圖形看得見數(shù)字。所以，本課中不能割裂只講一種，而是應(yīng)將這兩種思想相互融合，共同促進(jìn)學(xué)生思維的成長(zhǎng)。

我認(rèn)為，通過本課的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生明白一一對(duì)應(yīng)思想不僅指一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)物體或一部分物體，同時(shí)一組數(shù)也可以對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn);數(shù)形結(jié)合思想不僅僅是利用數(shù)字與數(shù)軸、線段圖等幫助學(xué)生理解數(shù)與幾何圖形之間的互為表示，也是數(shù)字與幾何圖形的完美結(jié)合。

（二）“原點(diǎn)”這一知識(shí)點(diǎn)應(yīng)在第幾課時(shí)出現(xiàn)

如圖1、圖2所示，圖1是教材第一課時(shí)從座位圖抽象出的格子圖，圖2是教材第二課時(shí)直接出示的格子圖。通過對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)圖1沒有原點(diǎn)（0，0），圖2有原點(diǎn)（0，0）。

平面直角坐標(biāo)系有三個(gè)關(guān)鍵要素：原點(diǎn)、方向、單位。第一課時(shí)教學(xué)中對(duì)方向和單位都有滲透，唯獨(dú)缺了原點(diǎn)。我認(rèn)為，這樣不便于使學(xué)生更清楚地理解方格圖。通過多方查找資料，我發(fā)現(xiàn)有一些教師在第一課時(shí)教授原點(diǎn)，這也給了我完善教材的勇氣。于是，我將對(duì)原點(diǎn)教學(xué)的理解融入了教學(xué)設(shè)計(jì)，并希望通過實(shí)踐來檢驗(yàn)。

（三）學(xué)生學(xué)完本課后應(yīng)有哪些新的收獲

我一年前將本課的授課目標(biāo)確定為：第一，結(jié)合座位圖，理解用數(shù)對(duì)表示位置的必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系;第二，經(jīng)歷數(shù)對(duì)的抽象過程，探索用數(shù)對(duì)確定位置的方法，體會(huì)數(shù)對(duì)與方格紙上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能在方格紙上用數(shù)對(duì)確定位置，發(fā)展空間觀念和推理能力;第三，在經(jīng)歷探索用數(shù)對(duì)確定位置的過程中，體會(huì)知識(shí)的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的興趣。

通過對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)2011版”）的深度解讀，我發(fā)現(xiàn)“課標(biāo)2011版”對(duì)“位置”教學(xué)的要求是“在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)?！薄靶枰仍诜礁窦埳蠘?biāo)明正整數(shù)刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)（行列或者列行）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對(duì)之間可以進(jìn)行比較。這個(gè)過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標(biāo)系?！?/p>

我的解讀是，從生活中抽象出數(shù)對(duì)來確定位置是本課的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，但更要為日后的方格直角坐標(biāo)系提供認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)。經(jīng)過思考，我將教學(xué)目標(biāo)重新設(shè)定為：結(jié)合座位圖，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)對(duì)的抽象過程，理解用數(shù)對(duì)表示位置的必要性，探索用數(shù)對(duì)確定位置的方法。同時(shí)，在這個(gè)過程中理解用數(shù)對(duì)表示位置的簡(jiǎn)潔性和統(tǒng)一性。結(jié)合方格圖，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與數(shù)軸之間的關(guān)系，進(jìn)而確定原點(diǎn)，使學(xué)生掌握直角坐標(biāo)系雛形。結(jié)合方格圖，使學(xué)生進(jìn)一步掌握一一對(duì)應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并能借助這兩種方法進(jìn)行推理，進(jìn)而解決問題。

與前一教學(xué)目標(biāo)相比，重新設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)更具有數(shù)學(xué)味，更有深度。

二、對(duì)“確定位置”一課教學(xué)的再實(shí)踐

基于對(duì)教材的再度分析，我將原來的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改，并應(yīng)用于實(shí)踐。針對(duì)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成和前文三個(gè)問題的實(shí)踐，我選擇其中的幾個(gè)片段加以說明。

（一）體驗(yàn)經(jīng)歷，在感悟中滲透數(shù)學(xué)思想

教材中共提了四個(gè)問題，其中第二個(gè)問題（如圖3）是把座位圖抽象成方格紙，把座位抽象為格點(diǎn)，把座位的位置抽象為數(shù)對(duì)，這是本課的重點(diǎn)。在解決第二個(gè)問題的過程中，我和學(xué)生共同經(jīng)歷了方格圖和數(shù)對(duì)的抽象過程，體驗(yàn)了一一對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)思想的角度體會(huì)了用數(shù)對(duì)表示位置的必要性、簡(jiǎn)潔性、統(tǒng)一性。我依次出示了圖3至圖5，并進(jìn)行了如下教學(xué)。

1.確定組和排的順序

師：這是淘氣班的座位圖（圖4），請(qǐng)找一找淘氣坐在哪個(gè)位置上。

（學(xué)生有不同說法）

師：淘氣的位置為什么會(huì)有不同的說法？

生：因?yàn)闆]有給淘氣班的座位分幾組，分幾排，所以會(huì)有不一樣的說法。

師：同意他的說法嗎？請(qǐng)你給淘氣班分一分小組，第一組在哪里？

生：從左邊第一列為第一組……（依次分完6組）

師：我們?cè)跀?shù)學(xué)課上規(guī)定按照從左到右的順序來分組（圖5）。

（按照分組的方法繼續(xù)分排，形成圖3左邊圖的樣子）

2.確定淘氣的位置

師：淘氣班不僅從左到右分好了組，而且從前到后分了排。規(guī)定好了組和排，我們就形成了帶有組和排的座位圖，看看座位圖你能重新說說淘氣坐在第幾組第幾排嗎？

生：第2組第4排。

師：還有不一樣的想法嗎？

生：沒有。

師：為什么這張座位圖，淘氣和笑笑的位置都只有一種說法？

生：因?yàn)樽粓D里，規(guī)定了組和排的順序。

師：（小結(jié)）用序數(shù)規(guī)定了組和排的順序，同學(xué)們的位置只能有一種說法。

3.直觀感受方格圖形成過程（見圖6）

師：請(qǐng)看大屏幕，（課件動(dòng)態(tài)顯示，見圖6）每個(gè)座位都有一個(gè)縱向和一個(gè)橫向的位置，把他們用線連接起來就形成了這樣的方格圖（6-1）。橫線和縱線會(huì)形成交叉點(diǎn)，而這些交叉點(diǎn)就是同學(xué)們的位置（6-2）。這張由橫線和縱線組成的座位圖，每一條縱線和每條橫線都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字（6-3）。

師：方格圖從左到右橫著寫的數(shù)表示什么？（第幾組）

師：序號(hào)1在最左邊，表示第一組，也就是按組分的起始組。

師：從前往后豎著寫的6個(gè)數(shù)字，表示什么？（表示6排）

師：因?yàn)榈?排在最前面，所以在最下面，我們以后畫這樣的圖的時(shí)候，數(shù)字的位置也是從下向上寫。

師：看完這個(gè)動(dòng)畫，你發(fā)現(xiàn)同學(xué)們的座位與方格圖之間的關(guān)系了嗎？

生：每個(gè)同學(xué)的座位是方格圖上橫線和縱線的交叉點(diǎn)。

師：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以把每位同學(xué)看做一個(gè)點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)數(shù)對(duì)與方格圖之間的關(guān)系了嗎？

生：每位同學(xué)代表一個(gè)點(diǎn)，用一組數(shù)對(duì)表示，數(shù)對(duì)在方格圖中的位置就是同學(xué)在教室座位圖中的位置。

師：對(duì)，一組數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)方格圖中的一個(gè)點(diǎn)，同樣對(duì)應(yīng)座位圖中的一位同學(xué)，同學(xué)的位置、數(shù)對(duì)、方格圖中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

生：一組數(shù)對(duì)代表一個(gè)同學(xué)的位置，同學(xué)的位置可以用2個(gè)數(shù)字表示，也可以用方格圖中的點(diǎn)表示，說明數(shù)對(duì)和圖形是有聯(lián)系的。

師：對(duì)，數(shù)字可以化成圖形的形式來讓同學(xué)們看得更清楚，圖形也可以化成數(shù)字的形式來讓我們更便于統(tǒng)計(jì)。

學(xué)生通過上面三個(gè)環(huán)節(jié)自然地由淺入深，由生活抽象到數(shù)學(xué)的層面，由單一的數(shù)學(xué)知識(shí)引申到深層次的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，真正成為了學(xué)習(xí)的主人。

（二）以疑促解，在對(duì)比中滲透數(shù)學(xué)思想

學(xué)生在認(rèn)識(shí)方格圖之前對(duì)數(shù)軸有著豐富的體驗(yàn)，數(shù)軸和方格圖相比，是一維和二維的關(guān)系。經(jīng)過思考，我充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方格圖與數(shù)軸之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)確定原點(diǎn)的必要性，從而在學(xué)生腦海中形成了直角坐標(biāo)系的雛形。

首先，我出示圖1和圖7（數(shù)軸），請(qǐng)學(xué)生觀察方格圖和數(shù)軸，“你能想到什么問題？”學(xué)生回答：“二者有什么關(guān)系？有什么相同點(diǎn)？不同點(diǎn)？”我把問題一一記錄，要求學(xué)生自己認(rèn)真觀察，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最終形成統(tǒng)一的思路：數(shù)軸只有一行，可以用一個(gè)數(shù)表示一個(gè)點(diǎn)，將兩根數(shù)軸互相垂直，畫出格子線，就會(huì)形成格子圖。之后，我引導(dǎo)學(xué)生：兩根數(shù)軸相交的點(diǎn)是0，這個(gè)0既是橫軸的起點(diǎn)，也是縱軸的起點(diǎn)，所以也是方格圖的起點(diǎn)。依據(jù)數(shù)對(duì)的表示方法，我們把方格圖的起點(diǎn)定為（0，0），這個(gè)點(diǎn)也叫原點(diǎn)。

這一教學(xué)片段中，學(xué)生自己提出問題，自己解決問題，最終形成了圖8，即平面直角坐標(biāo)系的雛形。這一圖看似只是增加了一個(gè)原點(diǎn)，但前后方格圖在學(xué)生心中的意義是不一樣的，沒有0的方格圖只是座位圖的抽象圖，有原點(diǎn)的方格圖具備了平面直角坐標(biāo)系所有的特征，它是高于生活的。

（三）直觀聯(lián)想，在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想

在變式習(xí)題的設(shè)計(jì)中，我結(jié)合數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)了一道習(xí)題：

有五個(gè)點(diǎn)，分別是A（2，2）、B（2，6），C（3，7）、D（5，7）、E（5，5），現(xiàn)將這些數(shù)對(duì)所表示的點(diǎn)描出來，再把對(duì)應(yīng)的字母的數(shù)對(duì)標(biāo)注在旁邊，依次連線。然后，將數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)交換位置，形成新的數(shù)對(duì)，分別是A（2，2）、B'（6，2），C'（7，3）、D'（7，5）、E（5，5）。最后，畫圖，回答問題：

（1）所有點(diǎn)連線后形成了（）形？

（2）這是個(gè)（）圖形？

（3）對(duì)稱軸在哪里？

（4）對(duì)稱軸的兩邊的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

（5）兩組數(shù)對(duì)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生將所有點(diǎn)連線后會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖形是一個(gè)心形。這是學(xué)生可以直觀看得見的圖形，因此學(xué)生理解起數(shù)學(xué)思想來會(huì)更方便。同時(shí)，這還是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過AE兩點(diǎn)的直線，對(duì)稱軸兩邊的點(diǎn)互為對(duì)稱，相對(duì)稱的點(diǎn)的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)字前后顛倒。此題融合了一一對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生明白，一組數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)前后位置發(fā)生變化，點(diǎn)的位置也會(huì)發(fā)生變化，變化后的點(diǎn)是對(duì)稱的，這樣能夠拓展學(xué)生的思維。

與此同時(shí)，在拓展環(huán)節(jié)，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生展開了合理聯(lián)想，使學(xué)生明白：數(shù)對(duì)來源于生活，但不僅僅應(yīng)用于生活，它是人類智慧的結(jié)晶，是人類對(duì)生活現(xiàn)象的高度總結(jié)。

師：同學(xué)們，再來看這張方格圖（圖5），其實(shí)，方格圖不僅可以表示班級(jí)的座位圖。同學(xué)們可以想象一下，如果全校同學(xué)整齊劃一地坐在操場(chǎng)上，是否可以用方格圖表示。（可以）

師：因?yàn)樽匀粩?shù)是無窮盡的，看來，這張方格圖想畫多大就可以畫多大，操場(chǎng)上的同學(xué)都可以用方格圖上任意一個(gè)點(diǎn)來表示。請(qǐng)同學(xué)們把你們腦中的方格圖無限擴(kuò)大，用它把屏幕上的地球儀包上（課件出示地球儀），你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（方格圖變成了地球儀上的經(jīng)緯線，地球上任何一個(gè)點(diǎn)的位置都能用數(shù)對(duì)表示出來。）

師：是的，數(shù)對(duì)知識(shí)的背后是一一對(duì)應(yīng)和數(shù)形結(jié)合思想的支撐。確定一個(gè)小小的教室里的座位需要一一對(duì)應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想，確定60億分之一的你在地球某一處的位置同樣需要一一對(duì)應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)學(xué)思想是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙，同學(xué)們要善于發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用它。

至此，一幅更大的方格圖讓學(xué)生對(duì)數(shù)對(duì)甚至是數(shù)學(xué)思想有了更深的認(rèn)知，他們的數(shù)學(xué)抽象能力逐漸提高，課堂中的數(shù)學(xué)味道也越來越濃。通過這兩道題，我感受到了學(xué)生的感覺是震撼的，內(nèi)心深處是有觸動(dòng)的。

實(shí)踐證明，融入數(shù)學(xué)思想的課堂更利于學(xué)生思維的生長(zhǎng)，更利于教師今后的數(shù)學(xué)教學(xué)。在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)教師以此為抓手，可以和學(xué)生一起打造出精彩的課堂。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）