HPM視角下的“余弦定理”教學

杜金金　林莊燕　沈中宇

【摘 要】余弦定理是高中數(shù)學的重要定理之一，它表達了三角形的邊角關系，內涵豐富，用途廣泛。教師從HPM視角設計本節(jié)課的教學，通過展現(xiàn)余弦定理不同歷史階段的表現(xiàn)形式和證明方法，呈現(xiàn)幾何與代數(shù)的統(tǒng)一。教師從幾何背景的介紹、幾何方法的推導和幾何定理的聯(lián)系等方面進行教學，讓學生對余弦定理的認知從定理公式上升為幾何關系，進一步發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，實施數(shù)學學科德育。

【關鍵詞】HPM;余弦定理;勾股定理;核心素養(yǎng)

【作者簡介】杜金金，上海市建平中學數(shù)學教師，主要研究方向為高中數(shù)學課堂教學;林莊燕，福建省廈門第一中學數(shù)學教師，主要研究方向為數(shù)學史與數(shù)學教育;沈中宇，華東師范大學數(shù)學科學學院在讀博士研究生，主要研究方向為數(shù)學史與數(shù)學教育。

一、引言余弦定理是高中數(shù)學的重要定理之一，它表達了三角形的邊角關系，內涵豐富，用途廣泛[1]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》指出，借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理，能用余弦定理解決簡單的實際問題[2]。在滬教版高中一年級第二學期的數(shù)學教材中，余弦定理是第5章“三角比”中第三節(jié)“解斜三角形”的內容。從初中到高中，學生經(jīng)歷了從“解直角三角形”到“解斜三角形”的轉變，隨著知識抽象程度的提高以及應用范圍的擴大，教師需要進一步在余弦定理的課堂中落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

在教學實踐中，許多教師對余弦定理的教學進行了探索，有的教師通過創(chuàng)設測量兩點間距離的情境，將其抽象為已知三角形兩邊及其夾角，求第三條邊的問題[3];有的教師直接從已知三角形兩邊及其夾角解三角形入手[4];有的教師從探究一般三角形三邊平方之間的關系入手[5];還有的教師直接從三角形三邊所對應向量之間的運算出發(fā)，形成余弦定理[6]。向量雖然是解決問題的有效工具，但是如果簡單交給學生，不利于提高學生的思維水平，因此教師需要在教學中創(chuàng)設相應的情境[7]。同時，余弦定理是勾股定理推廣的產(chǎn)物[8]，在教學中突出直角三角形與一般三角形的關系是十分恰當?shù)腫9]。

在歷史上，余弦定理最先以幾何定理的形式出現(xiàn)，到后期才出現(xiàn)三角形式，而且主要用于解決“已知三角形三邊求各角”的問題[10]9-13。余弦定理的歷史不僅為教師的教學提供借鑒，而且讓學生的學習聚焦本源。因此，數(shù)學史的融入讓余弦定理的教學始于幾何，終于幾何。在教學過程中，教師從幾何背景的介紹、幾何方法的推導和幾何定理的聯(lián)系等方面入手，讓學生對余弦定理的記憶從死記硬背演變?yōu)槿跁炌?，對余弦定理的認知從定理公式上升為幾何關系。雖然余弦定理是勾股定理的推廣，但是余弦定理在數(shù)學學習中具有重要的地位。從勾股定理到余弦定理的推廣看似是數(shù)學推導中的一小步，實則是數(shù)學發(fā)展中的一大步，由此可以進一步發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，實施數(shù)學學科德育[11]。

有鑒于此，筆者從HPM視角設計本節(jié)課的教學，并擬訂如下教學目標。

（1）掌握余弦定理及其推導過程，運用余弦定理解斜三角形;

（2）經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)、猜想、探索、證明、固化和應用的學習過程，數(shù)形結合地認識余弦定理，培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng);

（3）在數(shù)學活動中培養(yǎng)學生的探究意識，在數(shù)學文化中傳承數(shù)學精神。二、歷史材料及其運用

余弦定理經(jīng)歷了漫長的歷史發(fā)展過程，基于學生的認知基礎，本節(jié)課將余弦定理的歷史分為三個階段：從勾股定理到余弦定理，從幾何形式到三角形式，從幾何方法到解析方法。

（一） 從勾股定理到余弦定理

公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原本》第一卷首先給出了勾股定理的證明。

歐幾里得在《幾何原本》第二卷分別給出鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系。[13]命題Ⅱ12 在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角頂點向對邊延長線作垂線，垂足到鈍角頂點之間的一段所構成。

命題Ⅱ13 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于該銳角兩邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角頂點向對邊作垂線，垂足到原銳角頂點之間的一段所構成。以上命題實際上就是余弦定理的幾何形式，歐幾里得利用勾股定理對上述命題進行證明。事實上，利用歐幾里得證明勾股定理的方法，也可以證明余弦定理，證明方法如下。

因此，可得到余弦定理的三角比例形式。

17至18世紀，在大部分三角學著作中，給出的余弦定理仍然是幾何形式的，少數(shù)數(shù)學家和韋達一樣，由歐幾里得的幾何命題導出余弦定理的三角比例形式，其中意大利數(shù)學家卡諾里在《平面與球面三角形》中利用歐幾里得的證法得到我們熟知的余弦定理的形式[10]9-13。

進入19世紀，大部分三角學教科書開始給出三角形式的余弦定理而不涉及幾何形式。同時，數(shù)學家開始注重余弦定理與和角公式、正弦定理及射影公式之間的關系。

（三）從幾何方法到解析方法

20世紀之后，除幾何證明方法之外，開始出現(xiàn)用解析幾何證明余弦定理的方法。美國數(shù)學家?guī)鞝柼崴乖谄渲鳌度菍W及其應用》中利用平面直角坐標系推導余弦定理[14];直到1951年，美國數(shù)學家荷爾莫斯在其著作《三角學》中才開始真正采用解析幾何的方法證明余弦定理[15]，而向量法的出現(xiàn)則為之更晚。

三、教學設計與實施

（一）觀察類比，引出猜想

師：上節(jié)課，我們運用正弦定理解決了解斜三角形的問題。我們發(fā)現(xiàn)正弦定理可以解決“兩角一夾邊、兩角一對邊和兩邊及夾角”的問題，但似乎無法輕易解決三角形三邊的問題，這節(jié)課我們便以此為切入點進行探索。請同學們判斷以下六個三角形的形狀（見表1）。

生：①—⑥的三角形形狀分別是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

師：你的判斷依據(jù)和標準是什么？

生：直角三角形可以用勾股定理進行判斷，而銳角三角形和鈍角三角形除非是特殊的三角形，例如等腰三角形和等邊三角形，否則無法直接判斷。

師：我們可以借助作圖等方法直觀判斷，這里我們采用幾何畫板進行驗證。勾股定理刻畫了直角三角形中三邊平方的等量關系，那么對于一般的三角形，是否三邊平方之間也存在著某種關系？

生：在銳角三角形中，銳角所對的邊的平方小于其余兩銳角所對的邊的平方和;在鈍角三角形中，鈍角所對的邊的平方大于其余兩銳角所對的邊的平方和。

師：如同歐幾里得在《幾何原本》中給出的結論一樣：在鈍（銳）角三角形中，鈍（銳）角對邊上的正方形面積之和大（?。┯谄溆鄡射J角對邊上的正方形面積之和，從表2中，我們可以初步驗證這一猜想。

（二）幾何探索，發(fā)現(xiàn)定理

師：同學們還記得歐幾里得在《幾何原本》中是如何發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理的嗎？

生：如圖5，將以a，b為直角邊，c為斜邊的直角三角形ABC的三邊向外延拓為三個正方形，利用等面積法可以將以c為邊長的正方形分割成兩個面積分別為a2和b2的矩形，即證明了勾股定理a2+b2=c2。

師：余弦定理誕生于幾何，作為勾股定理的推廣，有著不亞于勾股定理的美妙和價值。希望同學們可以作為余弦定理的代言人，讓余弦定理進入大眾的視野。（五）鞏固練習，定理應用

首先，教師出示以下練習1和練習2，讓學生在應用中進一步鞏固對余弦定理的認識，并應用余弦定理解決一般的三角形問題。

練習1 在△ABC中，a=6，b=3+1，C=45°，求c。

練習2 已知三角形的三邊之比為3∶5∶7，求這個三角形的最大內角。接著，教師通過以下練習3，進一步提高學生將余弦定理應用于實際生活的能力。

練習3 解決測量不可及物體的問題：如何測量一段隧道的長度。學生給出的方案如下。

方案1：我們可以乘坐直升機在隧道正上方平行隧道飛行（如圖9所示）。在矩形ABCD中AB=CD，故通過測量直升機飛行的距離CD，即可求得隧道的長AB。

方案2：我們可以從隧道的一端A沿隧道AB的方向滑滑板至障礙C處，然后沿垂直于隧道AB的方向滑行至E處，再沿平行于隧道AB的方向滑行至F處，成功繞開障礙后再沿垂直于隧道AB的方向回到隧道上的D處，繼續(xù)沿隧道AB的方向滑至B處（如圖10所示）。測量滑行過程中AC，EF和DB的距離，將它們相加即可求得隧道的長度AB。

方案3：我們可以從隧道的一端A沿垂直于隧道AB的方向小跑至C處，再小跑至B處，C處的選擇使得兩次小跑避開障礙即可（如圖11所示）。測量兩次小跑的距離AC和BC，在直角三角形ABC中通過勾股定理即可求得隧道的長度AB。

方案4：我們可以從隧道的一端A騎自行車直行至C處，再轉向直行至B處，C處的選擇使得兩次直行避開障礙即可（如圖12所示）。測量兩次自行車直行的距離AC和BC以及角C的大小，在△ABC中通過余弦定理即可求得隧道的長度AB。

師：同學們都非常棒，將之前學習的知識都運用到了實際生活中。隨著知識的增長，我們能夠采用的方案也越來越多，而且實施起來的難度也越來越小，這就是數(shù)學帶給我們的力量。（六）拓展延伸，價值升華

師：請同學們說一說余弦定理的價值。

生1：余弦定理和正弦定理一樣均刻畫了邊與角的等量關系，從定量的角度認知三角形。

生2：余弦定理與正弦定理在解斜三角形的作用上互補，能夠高效地解決不同類型的解斜三角形問題，從而能解決生活中不可及物體的測量問題。

師：余弦定理作為一個定理可以研究其對象、結構、作用、表述、聯(lián)系，而這個定理的研究過程更具有一般的推廣性：發(fā)現(xiàn)→猜想→探索→驗證→固化→應用→價值。從特殊到一般，從定性到定量，從幾何到代數(shù)，從聯(lián)系到統(tǒng)一的思想方法為研究增加了系統(tǒng)性和科學性。

師：事實上，余弦定理還可以通過托勒密定理、割線定理、相似三角形、和角公式、射影定理以及正弦定理證明。最后請同學們課后自行完成這個證明。四、課后反饋與調查

課后，教師對全班40名學生進行了問卷調查，主要從學習動機、證明方法、數(shù)學思想和情感德育等方面收集學生對本節(jié)課的反饋。

在課堂的整體理解方面，所有學生都表示能聽懂這節(jié)課的教學內容，其中95?的學生表示喜歡課堂融入的數(shù)學史。

在學習動機方面，625?的學生認為學習余弦定理是因為解題需要，主要用于解決正弦定理難解的三角形問題;125?的學生認為是生活實際需要，可應用于建筑學、航海等領域;部分學生認為是考試需要，能培養(yǎng)數(shù)學思維;還有的學生提到余弦定理將幾何與代數(shù)結合起來。

在證明方法方面，625?的學生學會了3種余弦定理的證明方法（面積法、作高法和解析法），325?的學生學會了2種證明方法，極個別學生學會了更多的證明方法。同時，35?的學生喜歡用面積法證明，理由是直觀、有趣、巧妙;15?的學生喜歡用解析法，因為其簡單、方便;50?的學生喜歡用正弦定理推導余弦定理的方法，因為與之前學習的內容有關聯(lián)性，體現(xiàn)了已知到未知的思想。

在測驗中，教師分別讓兩個傳統(tǒng)教學班級和兩個HPM教學班級的學生證明余弦定理，兩個HPM教學班級學生的得分率明顯優(yōu)于兩個傳統(tǒng)教學班級。此外，傳統(tǒng)教學班級中的大部分學生首選用“作高法”證明余弦定理，不少學生因運算量過大或不做分類討論而未獲得正確結果。而在HPM教學班級中，學生證明方法層出不窮，用幾何方法證明以及用正弦定理證明的學生不少于選擇坐標系證明的學生人數(shù)，而且鮮有學生未完成證明。

在數(shù)學思想方面，60?的學生認為體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，利用面積法證明余弦定理培養(yǎng)了直觀想象素養(yǎng);275?的學生認為體現(xiàn)了先猜想后驗證的思想，余弦定理的證明讓學生經(jīng)歷了從猜想到驗證，從特殊到一般的過程，培養(yǎng)了邏輯推理素養(yǎng)，還有部分學生提到了分類討論的思想。

在情感德育方面，學生印象最深刻的是歐幾里得在《幾何原本》中使用的面積法，有的學生提到因為數(shù)學史地融入，讓課堂多了文化的元素，比起單純地學公式、背公式，讓他們覺得數(shù)學學習變得更有趣、更有意義，發(fā)揮了數(shù)學立德樹人的教育價值。

五、結語

基于余弦定理不同時期的證明方法，本節(jié)課主要采用了探索的方式重構歷史的發(fā)展過程。數(shù)學史為余弦定理的發(fā)現(xiàn)和猜想提供了背景和依據(jù)。此外，類比勾股定理猜想出余弦定理的過程對于學生而言是不可多得的寶貴經(jīng)歷。只有讓學生在幾何直觀上認可余弦定理，才不會讓學生漫無目的地去證明一個未知的結論。以附加式的形式向學生呈現(xiàn)正弦定理和余弦定理的等價是課堂末尾的點睛之筆，從數(shù)學史中細細品味定理之間的聯(lián)系，讓學生從“借問酒家何處有”的困惑中收獲“柳暗花明又一村”的豁然。

本節(jié)課通過展現(xiàn)余弦定理不同歷史階段的表現(xiàn)形式和證明方法，呈現(xiàn)了幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，正弦定理與余弦定理的等價無疑展現(xiàn)了知識之諧;學生完整地經(jīng)歷并主導了余弦定理的探索過程，讓課堂妙趣橫生，充分體現(xiàn)了探究之樂;學生在余弦定理公式的推導和應用中提高了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，彰顯了能力之助;在教學中，教師不僅再現(xiàn)了貫穿古今的數(shù)學史，而且還將數(shù)形結合和類比聯(lián)系的數(shù)學思想方法融入課堂并推向高潮，凸顯了文化之魅;學生對余弦定理的認知不再只是一個冰冷的公式，而是多個維度、富有情感的認知過程，學生不再只是公式的使用者，還是公式的見證者、公式的傳承者，達成了德育之效。

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（責任編輯：陸順演）