挖掘數(shù)學(xué)美的因素，展示數(shù)學(xué)的魅力

陳曉

在許多初中學(xué)生的心中，數(shù)學(xué)除了計(jì)算就是證明，既枯燥又難學(xué)，比不上語文有抑揚(yáng)頓挫的朗讀、歷史有改朝換代的轟烈、政治有發(fā)人深省的教誨。其實(shí)，數(shù)學(xué)也是一門非常吸引人的學(xué)科。該學(xué)科所包含的美麗和奇趣無法與其它學(xué)科相提并論。羅素是英國一位著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)邏輯學(xué)家，可以用他的數(shù)學(xué)邏輯說服所有“金剛大漢”。他將數(shù)學(xué)之美形容為“冷酷而嚴(yán)肅的美”。因此，在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意教授數(shù)學(xué)美的元素，以發(fā)展學(xué)生的審美心理和數(shù)學(xué)美感。久而久之，學(xué)生會對數(shù)學(xué)之美感到簡潔，深刻和令人賞心悅目。數(shù)學(xué)以它美的形象，吸引著學(xué)生去熱愛數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)。筆者認(rèn)為，在培養(yǎng)解題能力的過程中，可以從以下五個方面利用數(shù)學(xué)美學(xué)的因素，以充分說明數(shù)學(xué)美的吸引力。

一、數(shù)學(xué)在傳達(dá)信息、揭示含義中展示對稱美

對稱性是美學(xué)的基本定律之一。在初中數(shù)學(xué)中，許多軸對稱圖形、中心對稱圖形和等量關(guān)系使它們具有平行和協(xié)調(diào)對稱的美。因此，當(dāng)我們看數(shù)學(xué)時，可以從對稱的角度看數(shù)學(xué)，并利用數(shù)學(xué)的對稱性來解決問題，以優(yōu)化問題解決思路，簡化問題解決過程。

例1：若a、b為互不相等的實(shí)數(shù)，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0。

試求的值。

分析：由已知可知a、b在本題所處的地位相同，即a、b具有“對稱性”。根據(jù)問題的含義，a和b是兩個互不相同的實(shí)數(shù)，因此可以將a和b設(shè)置為x方程x2-3x+1=0的兩根，由韋達(dá)定理得a+b=3，ab=1又由已知得1+a2=3a，1+b2+3b。從而有。對這一類較為復(fù)雜的問題通過構(gòu)造一元二次方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，可以化繁為簡，化難為易。所以我們平時在解某些數(shù)學(xué)題時，應(yīng)多觀察、多挖掘相關(guān)聯(lián)的信息，從中展示數(shù)學(xué)的對稱美。

二、數(shù)學(xué)在合理推測、“化異為同”中揭示和諧美

數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)字、形式、公式。數(shù)學(xué)中包含的美的元素是深刻的，數(shù)字的美、形式的美和公式的美隨處可見。因此，通過解決數(shù)學(xué)問題，您可以在數(shù)字、形狀和公式之間找到內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部形式的和諧之美。和諧的美學(xué)可以幫助您制定解決問題的策略，并指出解決問題的方向。從多個角度看，使用多種方法用于解決數(shù)學(xué)問題，這種“殊途同歸"現(xiàn)象會使我們?yōu)閿?shù)學(xué)內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)的和諧美深感贊嘆。

例2：解方程式組

分析：此道題的解法有兩種：

方法一：由①得，y=7-x③，把③代入②并整理，得x2-7x+12=0解得x1=3，x2=4，分別把x1=3，x2=4代入③，得y1=4，y2=3，故原方程組的解為，

方法二：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)x、y是一元二次方程名z2-7z+12=0的兩根，解得，從而亦可求得以上方程組的解。

方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，方法一是利用代入法求解，方法二是根據(jù)此方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解。這個問題是一個方程組和二次方程對一個變量的連接和變換以及方程內(nèi)部結(jié)構(gòu)的和諧之美的典型示例。

例3：如圖1，G為正方形A BCD對角線BD上任一點(diǎn)，且GEBC于點(diǎn)E，GFCD于點(diǎn)F，連接AG，EF。求證：AG=EF。

要證明AG=EF，我們可以以下三種方法進(jìn)行分析。

方法一：證兩線段相等，比較常用的方法是通過證兩個三角形全等而獲得，因此連接CG，如圖1，結(jié)合已知條件可由SAS推出△ADG△CDG，從而得到結(jié)論AG=CG。又由條件可知四邊形ECFG為矩形，故EF=CG，所以可得AG=EF。

此方法非常簡單、直接，只要我們仔細(xì)觀察、分析圖形，很容易就可以找到以上這些結(jié)論。只需要使用正方形四邊都相等及對角線平分一組對角的性質(zhì)即可，同理亦可證明△ABG△CBG。

方法二：回顧方法一，細(xì)讀題目，延長EG交A D于點(diǎn)N，如圖2，結(jié)合已知亦可推出Rt△ANGRt△EGF，從而得AG=EF.同理延FG交AB上一點(diǎn)M亦可。此方法充分體現(xiàn)了對矩形、正方形的有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用，將線段的相等問題轉(zhuǎn)化為直角三角形全等進(jìn)行解決，較第一種方法有異曲同工之妙。

方法三：正方形和矩形的對角線的性質(zhì)互，所以連接AC、CG，如圖3，因?yàn)锳C垂直且平分BD，所以AG=CG，又因?yàn)榫匦蜤CFG中，CG=EF，所以AG=EF.此種方法巧妙地利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，推理過程簡潔、清晰。

以上三種方法都是以正方形作為整體，在“和諧美”的指引下，不斷把問題向“同類”轉(zhuǎn)化而獲得解決。數(shù)學(xué)的和諧美，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各知識點(diǎn)之間存在著緊密地聯(lián)系，這種聯(lián)系使相同的數(shù)學(xué)問題可從不同的角度思考。作為教師，若能引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，找到解決問題的突破口，體驗(yàn)各種解決問題的策略，這些策略將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并發(fā)展學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。

三、數(shù)學(xué)在整體代換、“化繁為簡”中體現(xiàn)簡單美

數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性就是所謂的“一個金字”，它決定了它應(yīng)該簡潔，準(zhǔn)確。 因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，我們通常指以最佳方式，最簡潔和正確的語言來解決問題。 例如，當(dāng)單獨(dú)觀察時，某些問題可能更復(fù)雜或更麻煩，但是將它們作為一個整體來處理時，就能化難為易，化繁為簡，使問題得以順利解決，從中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡單美。

例4：若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，試求x+y+z的值。

分析：由題目已知條件求出x、y、z的值，再求出x+y+z的值是十分困難的，因?yàn)閮蓚€方程很難求出三個未知數(shù)的值。通過觀察會發(fā)現(xiàn)兩個方程相加后，這三個未知數(shù)的系數(shù)均相等，即（x+2y+3z）+（4x+3y+2）=10+15，即5x+5y+5=25，從而求出x+y+z=5。另外，復(fù)雜的問題往往是簡單問題的復(fù)合，不掌握解簡單問題的技巧，直接解較復(fù)雜的問題常常是有困難的。因此，我們平時應(yīng)留心記住課本上一些有價(jià)值的題目，并注意題與題之間的關(guān)系，通過這種方式，可以加深對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用，拓寬問題分析的視角和思路，并實(shí)現(xiàn)觸類旁通。

例5：已知：如圖4，△ABD、△AEC都是等邊三角形。

求證：BE=DC。

分析提示：為證明BE=DC，應(yīng)證明△BAE△DAC，

注意：∠DAB=∠EAC=600， ∠BAE=

∠EAC+∠BAC，∠DAC=∠DAB+

∠BAC

變式一：已知：如圖5，△ACE和△ABD是以△ABC的邊AC和A B為邊的等邊三角形，P、Q、R分別是BC、BD、CE的中點(diǎn)。

求證：PQ=PR。

分析：根據(jù)示例5，很容易想到連接CD和BE。首先，您可以證明CD = BE，然后根據(jù)三角形的中心線定理可以得出PQ = PR。

變式二：如圖6，已知△ABD、△ACE、△BCF是分別以△ABC的邊AB、AC、BC為一邊的等邊三角形。

求證：四邊形A DFE是平行四邊形。

分析：證明兩線段相等，可以先來證明△ABC△EFC，

得到EF=AB=AD，同理FD=A E，再根據(jù)平行四邊形的判定

定理2可得題目要證明結(jié)果，由上述各題我們可以看出三角形與四邊形，一般圖形與特殊圖形均織成了一張密不可分的網(wǎng)，你中有我，我中有你。所以我們可以以課本典型習(xí)題為索引，順藤摸瓜，以題引題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、靈活性，提高學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力，這完全是源于對數(shù)學(xué)簡單美的探索與追求。

四、數(shù)學(xué)在歸類、對比中發(fā)現(xiàn)相似美

在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，我們既要懂得對比，更要學(xué)會歸類，即不是為了找出一道題的答案而做一道題，而是要進(jìn)行歸類，學(xué)會做一類題。同時要進(jìn)行推廣、類比，做到舉一反三，如當(dāng)我們遇到一個陌生的問題時不妨觀察外部結(jié)構(gòu)和聯(lián)想內(nèi)在聯(lián)系，將陌生的問題與熟知的相似問題進(jìn)行類比，采用與相似問題大致相同的方法，往往可以達(dá)到水到渠成的效果。

例6：解方程

分析：這是一個典型的分式方程問題。 直接使用分母非常麻煩。細(xì)察方程的左邊，不難發(fā)現(xiàn)各分母的兩因式之差均為1，其結(jié)構(gòu)與我們所熟知的拆項(xiàng)求和公式的左邊相同，因此，我們把原方程變形為，即，再去分母求解著驗(yàn)根即可。在平時解題中，我們要仔細(xì)分析數(shù)學(xué)的對象或關(guān)系或結(jié)構(gòu)等問題，類比利用相似美解決問題，往往可以體驗(yàn)“輕舟已過萬重山”的輕松。

五、數(shù)學(xué)在大膽創(chuàng)新、峰回路轉(zhuǎn)中欣賞奇異美

我們用來解決數(shù)學(xué)問題的方法通常很棒。 這是數(shù)學(xué)的魅力。 如果一個問題若能抓住其“個性"，那么很有可能會得到意想不到的結(jié)果。 許多奇異的想法是數(shù)學(xué)美的最亮點(diǎn)。

例7：已知關(guān)于x的方程x2+mx-n沒有實(shí)數(shù)根，求證：m+n

分析：由已知得m+4n<0，與結(jié)論的模式相差甚遠(yuǎn)，似乎無法利用，若我們用“補(bǔ)美”的方法進(jìn)行“改容”，把不等式變形為<-n，把原不等式變形為<-n-m+1，<1-（m+n），

即：，從而使命題得以論證。

這種別出心裁的奇思妙想簡直是“美麗不打折”，在驚嘆之余，我們深深體會到數(shù)學(xué)“形美神更美”。數(shù)學(xué)題解法的探討是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主旋律。因此，在探索數(shù)學(xué)題解法的過程中，當(dāng)我們從美學(xué)的角度、用美學(xué)的方法（對稱性方法、簡單性方法、和諧性方法、相似性方法、奇異性方法等）去解決某道數(shù)學(xué)題時，我們總會深感數(shù)學(xué)是如此的五彩繽紛、美妙無窮，同時也獲得一份“如釋重負(fù)”的輕松，而后所進(jìn)行的反思與回味，會使我們有如品味醇香美酒似的陶醉，更為數(shù)學(xué)本身擁有的美而喝彩。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].浙江教育出版社.