模態(tài)求解中的若干問題研究

周利 王志偉 楊敏

摘 要：機械結(jié)構(gòu)不僅需要有良好的靜態(tài)承載能力，還需要有優(yōu)異的動力學(xué)性能。模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)線性動力學(xué)的分析基礎(chǔ)，文章采用有限元法針對影響模態(tài)分析精度的預(yù)應(yīng)力（螺栓預(yù)緊力和壓力容器）、摩擦系數(shù)、介質(zhì)（液體或者氣體）、網(wǎng)格粗糙度進行了詳細的對比分析，結(jié)果表明模態(tài)對較小的預(yù)應(yīng)力以及摩擦系數(shù)更加敏感，濕模態(tài)頻率比采用質(zhì)量點法計算的頻率模態(tài)較低，當單元尺寸較小時，模態(tài)頻率變化不明顯，當單元尺寸超過某一限度時，模態(tài)頻率出現(xiàn)丟失甚至錯誤。

關(guān)鍵詞：模態(tài)分析;預(yù)應(yīng)力;摩擦系數(shù);虛擬質(zhì)量法;單元尺寸

中圖分類號：U467? 文獻標識碼：B? 文章編號：1671-7988（2020）13-164-05

Research on Several Problems in Modal Solution

Zhou Li1， Wang Zhiwei2， Yang Min1

（ 1.Shaanxi Automobile Group.， Ltd.， Technical Center， Shaanxi Xi'an 710200;

2.Shaanxi Heavy Duty Automobile Co.， Ltd.， Shaanxi Xi'an 710200 ）

Abstract： Mechanical structures not only need to have good static carrying capacity， but also have excellent dynamic performance. Modal analysis is the basis of structural linear dynamics， In this paper， the influence of prestress （bolt pretension force and pressure vessel）， coefficient of friction， medium （liquid or gas）， mesh roughness on modal analysis accuracy is studied by finite element method. The results show that the modal mode is more sensitive to the smaller prestress and friction coefficient， the wet modal frequency is lower than the frequency mode calculated by mass point method， the modal frequency change is not obvious when the element size is small， and the modal frequency is lost or even wrong when the element size exceeds a certain limit.

Keywords： Modal analysis; Prestress; Coefficient of friction; Virtual mass; Element size

CLC NO.： U467? Document Code： B? Article ID： 1671-7988（2020）13-164-05

前言

模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容，在航空航天、汽車、輪船、電子電器等行業(yè)是必須考察的重要項目。模態(tài)分析是動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，比如在進行頻率響應(yīng)分析、隨機響應(yīng)分析、響應(yīng)譜分析之前，必須先進行模態(tài)分析;模態(tài)分析也是減震隔振的重要依據(jù)，通過比較模態(tài)頻率而避免產(chǎn)生共振;模態(tài)分析還可以用于指導(dǎo)試驗，如幫助確定加速度計的最佳安裝位置、監(jiān)測結(jié)構(gòu)疲勞壽命、用于有限元模型與試驗結(jié)果的對標等。

模態(tài)包含頻率和振型，每一階模態(tài)對應(yīng)著特定的振型，頻率和振型表征了結(jié)構(gòu)的固有屬性，主要與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和剛度分布有關(guān)，影響質(zhì)量分布的因素有材料密度、結(jié)構(gòu)形狀、質(zhì)心坐標等，影響剛度分布的因素有邊界條件、結(jié)構(gòu)形狀、材料彈性模量、接觸等。陳長盛等[1]研究了螺栓連接對結(jié)構(gòu)模態(tài)以及傳遞特性的影響，發(fā)現(xiàn)當預(yù)緊力一定時，固有頻率隨著螺栓剛度的提升增大。伍濟鋼等[2]發(fā)現(xiàn)如果摩擦系數(shù)的變化引起了模態(tài)參數(shù)的有效剛度，那么摩擦系數(shù)對該階模態(tài)的影響就較大，反之就很小。梁建術(shù)等[3]發(fā)現(xiàn)，流固耦合作用對波紋管固有頻率有較大影響，為管道振動提供了重要的動力學(xué)依據(jù)。本文將研究影響模態(tài)的常用幾個因素：預(yù)應(yīng)力（螺栓預(yù)緊力、壓力容器壓力）、摩擦系數(shù)、液體介質(zhì)的簡化以及單元尺寸對模態(tài)的影響，對有限元建模提高模態(tài)分析的精確性具有重要意義。

1 模態(tài)基本理論

對于自由度為N的無阻尼系統(tǒng)的振動，其自由振動的微分方程為：

（1）

式中：M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;X為位移向量。對上述方程進行拉式變換，得到：

（2）

對于時不變系統(tǒng)，s=jw，帶入上述方程（2）中得到：

（3）

為了將上述方程解耦，通過模態(tài)矩陣，建立物理坐標與模態(tài)坐標的關(guān)系，為：

（4）

式中?為由各階模態(tài)組成的模態(tài)矩陣，Q為模態(tài)坐標矩陣。將4式帶入3中，并且在方程兩邊乘以得到?T，得到方程為：

（5）

式中， Mr、Kr為模態(tài)坐標下的模態(tài)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，均為對角陣。對于第i階模態(tài)，其表達式為：

（6）

式中，Mr，i、Kr，i為第i階模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，w為對應(yīng)的角頻率，w/2π即為對應(yīng)的自然模態(tài)頻率。

2 預(yù)應(yīng)力對模態(tài)的影響

本文采用有限元方法對結(jié)構(gòu)進行建模，前處理軟件采用HyperMesh，求解器為OptiStruct，后處理軟件采用Hyper View。模型為某車型用油罐支架，截取一段車架縱梁。由于縱梁和油罐支架均為薄板構(gòu)件，將上述支架抽中面并劃分為平均單元尺寸為8mm的網(wǎng)格單元，主要為四邊形單元和少量三角形單元。為簡化計算，將螺栓簡化為兩端抓取一圈rbe2單元中間通過截面半徑為16mm的結(jié)構(gòu)，預(yù)緊力通過一維梁單元施加。在油罐支架的內(nèi)表面與車架縱梁的外表面建立接觸對，油罐支架的內(nèi)表面為從面，車架縱梁外表面為從面，設(shè)定接觸為滑動摩擦，接觸摩擦系數(shù)為0.3;為了橫向?qū)Ρ?，將預(yù)緊力分別設(shè)定為0N、50000N、10000N、20000N、40000。約束縱梁兩端節(jié)點全部自由度，便于計算比較，僅計算結(jié)構(gòu)的前六階模態(tài)。有限元仿真模型如圖1，首先對螺栓施加預(yù)緊力，進行非線性靜力學(xué)分析，計算完成后，將施加預(yù)緊載荷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣傳遞到后續(xù)的模態(tài)分析中，即將非線性分析的最后結(jié)果作為模態(tài)分析的基態(tài)，預(yù)緊力為0N時的模態(tài)振型如圖2所示。

經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，預(yù)緊力的施加對模態(tài)振型的影響并不顯著，但是對頻率的影響如表1所示，預(yù)緊力由0增加到5000N時，第一到第六階模態(tài)均有較大幅度的增加，并且階次越高，頻率增加的幅度越大，高階次模態(tài)對螺栓預(yù)緊力更加敏感;預(yù)緊力從5000N增加到40000N過程中，第1到6階頻率基本沒有變化，這說明模態(tài)頻率對較小的預(yù)緊力更加敏感。壓力容器的中預(yù)壓力對模態(tài)影響的研究方法、原理和過程類似，這里不做詳細介紹。

3 摩擦系數(shù)的影響

采用上述油罐支架縱梁模型，由于模態(tài)對較小的預(yù)緊力更加敏感，所以設(shè)定所有的螺栓預(yù)緊力為5000N，設(shè)定摩擦系數(shù)依次為0、0.2、0.4、0.6、0.8以及綁定接觸，試驗結(jié)果如表2所示。當摩擦系數(shù)由0增加到0.2時，前六階模態(tài)振型未發(fā)生變化，模態(tài)頻率發(fā)生了明顯變化，模態(tài)階次越高，模態(tài)頻率變化的幅值越大，尤其是第四階模態(tài)頻率發(fā)生了顯著的變化。當摩擦系數(shù)由0.2增加到0.4時，模態(tài)振型無變化，模態(tài)頻率出現(xiàn)了微小的幅度的降低。當模態(tài)系數(shù)由0.4增加到0.8時，模態(tài)振型不變，模態(tài)頻率無變化，可見當摩擦增加到一定數(shù)值時，模態(tài)頻率不在受到影響。當采用綁定連接時，模態(tài)頻率顯著高于其它摩擦系數(shù)下的頻率。由此可以判斷，隨著摩擦系數(shù)的增加，模態(tài)頻率隨之增大，模態(tài)階次越高，對摩擦系數(shù)越敏感;當摩擦系數(shù)增加到一定值是，模態(tài)頻率不在隨著摩擦系數(shù)發(fā)生變化;綁定連接顯著的增大了接觸面的剛度，顯著的影響模態(tài)頻率。

4 介質(zhì)

在許多實際的結(jié)構(gòu)中，既有液體也有固體，比如液體火箭發(fā)動機、汽車燃油箱、水中的輪船等，為了簡化計算，通常在有限元建模時采用質(zhì)量點的方式代替液體，然后用rbe3單元將質(zhì)量點與單元節(jié)點連接。然而通過與試驗結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，這種簡化方式造成求解的模態(tài)與實際測試結(jié)果偏差較大，為后續(xù)的動力學(xué)求解造成較大基礎(chǔ)誤差。為了解決這一問題，陳偉等[4]采用聲固耦合的方法研究了流固耦合模態(tài)，但是付廣等[5]發(fā)現(xiàn)，目前考慮流體的方法中，虛擬質(zhì)量法的精度最高，本文采用虛擬質(zhì)量法計算流固耦合模態(tài)，探討不同液面高度時，與質(zhì)量點法計算的模態(tài)的差異。

虛擬質(zhì)量法主要用來考慮水動力效應(yīng)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，液體會在濕表面產(chǎn)生附加質(zhì)量，該質(zhì)量不是流體的實際質(zhì)量，而是等效附加質(zhì)量，該方法不需要對流體區(qū)域劃分流體網(wǎng)格。該方法假定流體無粘、無旋、不可壓縮。具有統(tǒng)一的密度，自由面壓強為零，不考慮重力，晃蕩頻率低于結(jié)構(gòu)的基頻，并且不考慮非線性效應(yīng)和氣彈效應(yīng)。

由Helmholtz和Laplace方程可以求得速度勢和壓力場：

（7）

（8）

式中：

ui—任意節(jié)點ri的速度向量;

Aj —結(jié)構(gòu)表面上某微元的面積;

σj—節(jié)點rj處的單位面積體積流量向量;

eij—從點i到j(luò)點的單位向量;

pi—任意面Aj上的壓力;

ρ—流體密度。

由上式可得矩陣x和Λ，故：

（9）

（10）

式中F為節(jié)點壓力，根據(jù)力矩陣、質(zhì)量矩陣與加速度矩陣之間的關(guān)系：

（11）

聯(lián)合可求得虛擬質(zhì)量矩陣為：

（12）

流體以虛擬質(zhì)量矩陣出現(xiàn)在耦合方程中，耦合方程可表示為：

（13）

式中：

M—結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;

MA—流體虛擬質(zhì)量矩陣;

K—結(jié)構(gòu)剛度矩陣;

KA—流體對結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。

一般情況下，KA與結(jié)構(gòu)自身剛度相比較小，可以忽略。由上式可計算出基于虛擬質(zhì)量法的耦合特征值。

本算例采用長、寬、高均為100mm的頂部開口的箱體，箱體壁面厚度為1mm;將箱體抽中面，用四邊形單元劃分，單元尺寸為5mm，約束箱體的底角四個節(jié)點自由度123456，模型如圖3所示。為了研究的便利性，分別計算當液面高度h為箱體高度的1倍、0.5倍、0.25倍時結(jié)構(gòu)的模態(tài)，采用質(zhì)量點法和虛擬質(zhì)量法考察模態(tài)變化規(guī)律。

由表3可見，相同高度液面下，采用虛擬質(zhì)量法計算的結(jié)構(gòu)模態(tài)比采用質(zhì)量點法計算的結(jié)構(gòu)模態(tài)普遍較低，隨著液面高度的降低，差距逐漸縮小。

5 網(wǎng)格粗糙度的影響

由公式6可知，對于多自由度系統(tǒng)，通過有限元離散成有限數(shù)量節(jié)點，節(jié)點自由度的多少決定了模態(tài)階次和振型;影響節(jié)點自由度的主要因素有單元的形狀、單元尺寸、單元階次等，常用單元形狀三角形單元、四面體單元、四面體單元、六面體單元、三棱柱單元等，常用的單元階次為1階單元和二階單元。在實際使用過程中，鈑金件應(yīng)用非常廣泛，尤其在汽車結(jié)構(gòu)中，以三角形和四邊形單元混合建模較為常見。

本算例采用長100mm、寬1mm、厚0.2mm的薄板件，約束零件的兩端自由度123456。分別采用單元尺寸為1mm、5mm、10mm、20mm、50mm劃分零件，為了方便對比，只考察結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)頻率和振型。如表4和表5所示，網(wǎng)格尺寸為1mm、5mm、10mm時，前3階模態(tài)頻率相差不大，但是第4、第5和第6階模態(tài)頻率差異變大。當單元尺寸增加到20mm，振型基本保持不變，但是頻率已經(jīng)與上述的三種單元尺寸相差較大，隨著模態(tài)階次的提高，差異更加明顯。當單元尺寸增加到50mm時，模態(tài)振型出現(xiàn)顯著改變，尤其是當單元尺寸為50mm時，振型已經(jīng)和單元尺寸為1mm、5mm、10mm、20mm時完全不同，模態(tài)頻率相差數(shù)十倍，并且隨著階次的增加差異更加明顯。由于模型的對稱性，當單元尺寸為1mm時，模型的第一階模態(tài)和第二階模態(tài)振型和頻率基本相同，實際可以認為是同一階模態(tài)，但是隨著單元尺寸的增加，振型仍然為對稱狀態(tài)，但是頻率已經(jīng)有較大差異。此可見，當單元尺寸為1mm、5mm、10mm，模態(tài)頻率和振型差異不明顯，即模態(tài)對網(wǎng)格尺寸不敏感，但單元尺寸增加為20m時振型基本一致，但是頻率已經(jīng)發(fā)生了較大的變化單元為50mm時，模態(tài)和振型均發(fā)生顯著差異;即模態(tài)對網(wǎng)格已經(jīng)非常敏感。

6 結(jié)論

本文采用有限元法研究了預(yù)應(yīng)力（螺栓預(yù)緊力和壓力容器）、摩擦系數(shù)、介質(zhì)（液體或者氣體）、網(wǎng)格粗糙度對模態(tài)分析精度的影響，結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)模態(tài)對較小的預(yù)緊力更加敏感;隨著摩擦系數(shù)的增加，模態(tài)頻率隨之增大，當摩擦系數(shù)增加到一定值時，模態(tài)頻率不再隨著摩擦系數(shù)發(fā)生變化;相同高度液面下，采用虛擬質(zhì)量法計算的結(jié)構(gòu)模態(tài)比采用質(zhì)量點法計算的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率低，隨著液面高度的降低，差距逐漸縮小。當網(wǎng)格尺寸較小時，模態(tài)對網(wǎng)格尺寸不敏感，當網(wǎng)格尺寸較大時，模態(tài)頻率和振型出現(xiàn)明顯變化，當網(wǎng)格尺寸超過一定范圍時，會導(dǎo)致模態(tài)失真甚至錯誤。

參考文獻

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