在數(shù)據(jù)分析中培育學生統(tǒng)計推理能力

朱榮武

摘? ? 要?? ? 統(tǒng)計推理是個體適應信息社會的必備思維能力，需要從小學階段就結(jié)合統(tǒng)計與概率教學進行滲透。在教學過程中要突出過程性、方法性和體驗性，關(guān)鍵是緊扣描述數(shù)據(jù)分析和推斷數(shù)據(jù)分析兩條主線，引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析及其應用過程，在具體的思維活動中發(fā)展他們的數(shù)據(jù)意識、隨機思維及審慎的態(tài)度。

關(guān)鍵詞? ?統(tǒng)計推理 描述數(shù)據(jù)分析 推斷數(shù)據(jù)分析 隨機思維 審慎的態(tài)度

統(tǒng)計推理，就是利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或統(tǒng)計信息進行的推理[1]，其本質(zhì)是一種歸納推理，前提是一定數(shù)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，過程是發(fā)現(xiàn)并提煉數(shù)據(jù)中蘊含的信息并依據(jù)這些信息做推斷或決策。統(tǒng)計推理是個體適應信息社會必備的思維能力，在小學階段滲透培育，有利于學生體會統(tǒng)計推理的特點，掌握簡單的統(tǒng)計推理方法，學會用隨機思維看待客觀事物及其規(guī)律，實現(xiàn)思維的“更清晰、更深入、更全面、更合理”[2]，并形成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度。

立足小學數(shù)學課堂培育統(tǒng)計推理能力，關(guān)鍵是引領(lǐng)數(shù)據(jù)分析及其應用過程，要緊扣兩條主線——描述數(shù)據(jù)分析和推斷數(shù)據(jù)分析[3]，既讓學生學會從“一堆雜亂無章的數(shù)據(jù)中提煉信息、尋找規(guī)律”[4]，也讓學生經(jīng)歷簡單的從樣本推斷總體的過程，不斷地體會數(shù)據(jù)分析方法、體驗數(shù)據(jù)價值、理解親近數(shù)據(jù)、積累隨機思維經(jīng)驗。但日常統(tǒng)計與概率的教學往往只注重顯性的統(tǒng)計、概率知識的教學，弱化了統(tǒng)計推理能力的培育，因此結(jié)合日常教學有意識、有預見地滲透統(tǒng)計推理能力的培育，任務迫切。

一、經(jīng)歷描述數(shù)據(jù)分析過程，感受數(shù)據(jù)中的信息

統(tǒng)計學的研究基礎是數(shù)據(jù)，但統(tǒng)計推理依靠的不是數(shù)據(jù)本身而是數(shù)據(jù)中的信息。描述數(shù)據(jù)分析是不考慮數(shù)據(jù)隨機性、只針對調(diào)查數(shù)據(jù)本身的一種數(shù)據(jù)分析形式[3]。結(jié)合學生的認知經(jīng)驗，有層次地引領(lǐng)描述數(shù)據(jù)分析過程，從數(shù)據(jù)中提煉信息、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、感受數(shù)據(jù)與信息的關(guān)系，是培育統(tǒng)計推理能力的基礎。

1.理解表達數(shù)據(jù)本身的信息

數(shù)據(jù)是信息的載體，通過問題引導學生表達對數(shù)據(jù)本身含義的理解，提煉信息，產(chǎn)生對數(shù)據(jù)的親近感，是體驗數(shù)據(jù)與信息關(guān)系的教學起點。比如呈現(xiàn)調(diào)查數(shù)據(jù)（表1），先讓學生說說對每個數(shù)據(jù)含義的理解，明白調(diào)查的內(nèi)容和側(cè)重點。接著讓學生圍繞以下問題展開討論：最高得分是多少？最低呢？相差多少分？得分在20以上的有多少場？得分在30以上的呢？這里既涉及到極值、極差，也涉及到數(shù)據(jù)的簡單分布，讓學生在思考表達中切實感受到數(shù)據(jù)中是有信息的。

2.比較提煉數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)信息

基于同一事件的調(diào)查數(shù)據(jù)總是有聯(lián)系的，引領(lǐng)學生用聯(lián)系的眼光觀察、比較數(shù)據(jù)，尋找數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)信息，是深入理解數(shù)據(jù)與信息的重要內(nèi)容。比如引導學生根據(jù)自己一至五年級每年體檢的身高數(shù)據(jù)，思考從一年級到五年級自己長高了多少、從幾年級到幾年級身高增長最快等問題。學生基于數(shù)據(jù)的比較、計算，能超越數(shù)據(jù)本身得到更多的發(fā)現(xiàn)。再比如呈現(xiàn)“李明記錄了自家7袋蒜頭的重量——28千克、31千克、31千克、29千克、33千克、32千克、30千克”，引導學生思考：比較每袋的重量，你能想到什么？學生會根據(jù)數(shù)據(jù)間的關(guān)系提煉“每袋都差不多重、每袋大約重30千克”等關(guān)鍵信息。當然有時數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)信息也體現(xiàn)在樣本與樣本、樣本與總體之間。

3.發(fā)現(xiàn)概括數(shù)據(jù)背后的信息

數(shù)據(jù)背后的信息在這里指數(shù)據(jù)中蘊含的事實或規(guī)律。比如引導學生分組統(tǒng)計、整理同學一庹長度和身高的數(shù)據(jù)并展開比較，鼓勵他們說出自己的發(fā)現(xiàn)：一個人的一庹長度與身高有聯(lián)系，身高特別高一庹就特別長，身高比較矮一庹就比較短等。有趣的規(guī)律讓學生對數(shù)據(jù)蘊藏的信息有了鮮活的體驗。

二、經(jīng)歷推斷數(shù)據(jù)分析過程，豐富和發(fā)展隨機思維

隨機思維是構(gòu)成統(tǒng)計推理能力的重要內(nèi)核，引領(lǐng)學生結(jié)合實際情境經(jīng)歷推斷數(shù)據(jù)分析過程，發(fā)展隨機思維，是培育統(tǒng)計推理能力的核心。推斷數(shù)據(jù)分析強調(diào)通過已調(diào)查數(shù)據(jù)去推斷調(diào)查數(shù)據(jù)之外的信息，通常表現(xiàn)為通過樣本推斷總體[3]。由于數(shù)據(jù)本身具有隨機性，推斷的思維基礎也是合情推理，因而推斷的結(jié)論具有隨機性。

1.比較不同范圍的數(shù)據(jù)，初步感受樣本和總體

盡管小學生很難理解樣本和總體的概念，但仍可用簡單的模型通過比較不同范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，獲得初步感受，從而奠定隨機思維的概念基礎。比如在研究“全班同學中哪個月出生的人數(shù)最多（少）”時，引導學生將本小組的數(shù)據(jù)（樣本）和其他小組（樣本）以及全班匯總的數(shù)據(jù)（總體）展開比較并說出自己的發(fā)現(xiàn)，學生既會發(fā)現(xiàn)樣本與樣本、樣本與總體間的相似性，也會發(fā)現(xiàn)其不同點。接著引導思考“如果在全校學生中調(diào)查，又會怎樣？”促使學生將本班數(shù)據(jù)作為一個樣本去和全校數(shù)據(jù)這一新的總體比較。多層次的比較不斷強化了學生對樣本和總體概念的感受。

2.分析數(shù)據(jù)背景，體驗數(shù)據(jù)的隨機性

數(shù)學課程標準強調(diào)，體驗隨機性包括兩個方面：一是對同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教學中可以引導學生結(jié)合數(shù)據(jù)背景來反思體驗。比如在研究“上學時間”時，先布置學生連續(xù)記錄自己兩周內(nèi)每天上學途中所花時間，然后組織思考：為什么路程相同，每天所花的時間卻不一樣？從連續(xù)記錄的時間里你能發(fā)現(xiàn)什么？通過反思明白：受交通路況、天氣等因素影響，每天的上學時間不可能是完全一樣的，所以每次收集到的數(shù)據(jù)肯定會有所差別。但排除相差較大的時間后，剩下的數(shù)據(jù)都在一定范圍內(nèi)波動，是有規(guī)律的，所以能估計出自己每天上學的大約時間。對數(shù)據(jù)隨機性情理上的認同為發(fā)展隨機思維奠定了基礎。

3.用數(shù)據(jù)說話，體驗推斷結(jié)論的隨機性

根據(jù)同一變量已有的數(shù)據(jù)預測未來發(fā)展趨勢，不同的人、不同的分析方法會得到不同的結(jié)論，這些結(jié)論無所謂對錯。引導學生用數(shù)據(jù)做推斷并體驗結(jié)論的多樣性和不確定性，有利于學生隨機思維經(jīng)驗的積累。比如以“派誰去比賽”為話題引導學生用數(shù)據(jù)說話。

生1：我選甲，最高成績是甲創(chuàng)造的。

生2：甲不穩(wěn)定，我選乙。

生3：我選甲，盡管乙比較穩(wěn)定但成績一直平平，如果對手很強，他就很難取勝。

生4：我選丙，丙的成績后來一直在提升，說不定比賽時會繼續(xù)提升呢！

師：真是各說各有理，老師也不好決定了。經(jīng)過討論你們有什么收獲呢？

生5：根據(jù)數(shù)據(jù)和折線圖可以幫助我們做判斷。

生6：雖然大家的意見不同，但我覺得都有道理，因為都是數(shù)據(jù)在指導我們。

生7：無論選誰去都不一定確保獲勝。

……

有理有據(jù)的辯論、不確定的結(jié)論，以及深刻鮮活的反思過程，讓隨機性熠熠生輝。

4.展開概率分析，拓寬隨機思維視野

描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學方法有兩個，一是統(tǒng)計，二是概率。概率分析方法一般有兩種：一種是根據(jù)“所有可能的結(jié)果”去判斷某種結(jié)果出現(xiàn)的可能性;一種是通過重復試驗，由事件的頻率估計概率。比如研究“從3張紅桃和1張黑桃中任意摸1張，哪種牌被摸到的可能性大？”這一事件。先引導學生列舉出所有可能的結(jié)果再判斷：可能的結(jié)果有4種，其中3種是紅桃，1種是黑桃，所以摸出紅桃的可能性大。接著組織試驗——從中任意摸出1張，摸后放回，打亂后繼續(xù)摸，一共摸40次并記錄每次摸到的花色。試驗的結(jié)果無外乎三種：紅桃多（大多數(shù)）、一樣多和黑桃多（個別）。然后組織學生交流討論：統(tǒng)計結(jié)果能說明之前的判斷嗎？通過數(shù)據(jù)分析，學生發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計結(jié)果有的能證實之前的判斷，有的則不能，進而引導學生體會：通過概率分析既可以事先對結(jié)果進行合理預測，而實際結(jié)果大多符合規(guī)律，但也有例外，例外的個案并不能否定規(guī)律。

三、經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析應用過程，體驗統(tǒng)計推理的價值

應用數(shù)據(jù)分析解決實際問題，既要關(guān)注問題的現(xiàn)實性和趣味性，又要突出數(shù)據(jù)分析方法與問題解決之間的關(guān)聯(lián)，還要著力提高學生思維的卷入程度、水平及其感受體驗。

1.統(tǒng)計分析提煉規(guī)律

圍繞要解決的問題整理調(diào)查數(shù)據(jù)、展開數(shù)據(jù)分析、提煉信息發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決實際問題的重要方式。在小學生的生活世界中這樣的實例也有很多，教學中要引領(lǐng)學生經(jīng)歷解決問題的全過程。比如解決“運動與脈搏有怎樣的關(guān)系？”這一問題，先組織學生討論制訂方案：四人為一組分別測出3項1分鐘脈搏的次數(shù)——運動前的脈搏次數(shù)、原地高抬腿30秒后的脈搏次數(shù)、休息2分鐘后的脈搏次數(shù)，算出平均數(shù)，并比較研究。然后展開實驗—統(tǒng)計數(shù)據(jù)—比較分析—提煉規(guī)律—獲得結(jié)論—反思感悟等活動。其間方案的醞釀是重點，有利于學生從整體上了解用統(tǒng)計推理解決問題的過程特點;反思感悟是關(guān)鍵，既強化了方法體會還獲得了統(tǒng)計推理的價值體驗。

2.抽樣分析推斷總體

通過“由樣本推斷總體”解決問題，不僅要重視結(jié)果的獲得還要不斷引發(fā)深度思考。比如解決“班級里的男（女）同學中穿多少碼鞋的人數(shù)最多？”這一問題，先讓學生理出思路：將男女生分別分成若干組，整理出每組中穿各種鞋碼的人數(shù)，利用小組數(shù)據(jù)去估計全班情況;再分別匯總?cè)嗄信臄?shù)據(jù)，做出判斷。活動中要不斷引發(fā)思考：你覺得其他組的調(diào)查數(shù)據(jù)會和你們組一樣嗎？怎樣判斷全班的情況？你們小組數(shù)據(jù)與全班數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？引導學生體會：各男、女生小組數(shù)據(jù)（樣本）間既有相似性也有區(qū)別，可以根據(jù)小組的特點去估計全班（總體）的特征。接著引申思考：你覺得三年級其他班的情況會怎樣？整個三年級呢？讓學生體會隨機數(shù)據(jù)中的規(guī)律，即三年級的學生年齡都差不多，穿鞋碼數(shù)的情況也會和本班大致相同。再追問：六年級的情況會和咱班一樣嗎？讓學生體會用三年級學生的情況去推測六年級顯然不合理，體會不同范圍內(nèi)統(tǒng)計數(shù)據(jù)和結(jié)論的隨機性。

此外，培育統(tǒng)計推理能力還要著力培養(yǎng)學生以審慎的態(tài)度評價統(tǒng)計推理活動的意識，即養(yǎng)成一種審視統(tǒng)計推理過程的理性自覺。因為統(tǒng)計推理盡管是基于數(shù)據(jù)說話，但由于其不是必然性推理，結(jié)論并不一定正確。比如提供以下信息讓學生展開推理：三年級學生的近視人數(shù)比去年增加40%;六年級學生的近視人數(shù)比去年增加20%;哪個年級學生的視力情況好些？絕大多數(shù)同學認為六年級學生的視力情況好于三年級。此時教師不動聲色地呈現(xiàn)：三年級去年近視10人，六年級去年近視100人。學生恍然大悟：在沒有基數(shù)的情況下比較百分率是沒有意義的;根據(jù)數(shù)據(jù)做判斷要小心，不能盲目…… 教學中要有意識地讓學生經(jīng)歷分析—推斷—反思—修正的過程，在積累思維經(jīng)驗的同時形成科學的態(tài)度。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]