基于多塊體的非對(duì)稱雙層臨坡地基上限承載力

楊博銘

（湖南大學(xué)設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南長(zhǎng)沙410082）

臨坡地基承載力，既可看作地基極限承載力問(wèn)題，也可看作邊坡整體穩(wěn)定性問(wèn)題.臨坡地基與水平地基的區(qū)別在于：臨坡地基的承載力受到坡體的幾何特性以及邊坡土體的物理力學(xué)性質(zhì)的共同影響和制約.因此推導(dǎo)能綜合考慮臨坡地基影響因素的承載力計(jì)算方法是解決工程實(shí)際問(wèn)題的有效途徑.

目前，在進(jìn)行臨坡地基設(shè)計(jì)時(shí)，沒有相關(guān)規(guī)范可以參考，絕大多數(shù)工程問(wèn)題都是采用在水平地基極限承載力公式的基礎(chǔ)上乘以一個(gè)修正系數(shù)的方法[1].這樣的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法的可靠性、合理性以及經(jīng)濟(jì)性在一定程度上很難實(shí)現(xiàn)定量把控[2-3].關(guān)于臨坡地基極限承載力研究，可分為以下三類：第一類是在平地地基的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究[4-6]，考慮坡面傾斜系數(shù)來(lái)進(jìn)行折減修正，其計(jì)算簡(jiǎn)單，力學(xué)理論清晰明了，但是折減系數(shù)的確定沒有理論公式支持，僅根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值，缺乏一定的科學(xué)性.第二類就是直接以臨坡坡體為研究對(duì)象，充分考慮其破壞模式的非對(duì)稱性，但是其理論基礎(chǔ)還是固體介質(zhì)力學(xué)，這樣導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際存在一定差距[7-8].第三類就是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)處理工程問(wèn)題[9-11].雖然實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與工程實(shí)際更加接近，但是造價(jià)以及時(shí)間成本是制約其發(fā)展的主要因素.上述極限承載力計(jì)算方法，在工程應(yīng)用中計(jì)算值可能過(guò)于保守，造成浪費(fèi)，或者因承載力不足而導(dǎo)致工程事故.綜上，完善臨坡地基設(shè)計(jì)理論、計(jì)算方法，在保證建筑物安全的前提下，優(yōu)化工程設(shè)計(jì)參數(shù)、降低工程造價(jià)具有重要的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益.

在臨坡地基破壞機(jī)理、破壞模式研究方面，Kusakabe 等[12]、Mizuno 等[13]認(rèn)為臨坡地基單側(cè)破壞模式的破壞機(jī)構(gòu)由3 個(gè)滑塊組成，即基礎(chǔ)下的三角形主動(dòng)破壞區(qū)、中間過(guò)渡區(qū)和被動(dòng)滑塊區(qū)，且認(rèn)為基礎(chǔ)底下的主動(dòng)區(qū)為對(duì)稱的三角形.但是，對(duì)于中間過(guò)渡區(qū)，不同學(xué)者又有不同的觀點(diǎn)，Kusakabe 認(rèn)為是對(duì)數(shù)螺旋線而Castelli 等認(rèn)為是圓弧滑動(dòng)面并延伸到坡面[14]；對(duì)于主動(dòng)破壞區(qū)，王曉謀等[15]利用有限元法提出基礎(chǔ)底下的彈性區(qū)應(yīng)為不對(duì)稱的三角形.同時(shí)魏學(xué)勇等[16]還提出應(yīng)該考慮基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體應(yīng)力分布對(duì)基礎(chǔ)承載力的影響.

對(duì)于非均質(zhì)的臨坡地基承載力的研究，部分學(xué)者給出了相應(yīng)的研究方法.胡衛(wèi)東等[17]考慮了臨坡地基的分層性以及非對(duì)稱性，但是沒有考慮到內(nèi)摩擦角對(duì)臨坡地基承載力的影響，也沒有考慮基礎(chǔ)與土體之間的相對(duì)滑動(dòng)對(duì)承載力的影響；秦會(huì)來(lái)等[18]考慮了地基的分層特性，但其計(jì)算方法是基于水平地基的.因此，本文在條形基礎(chǔ)荷載作用下，將多塊體理論運(yùn)用于臨坡地基，考慮臨坡地基破壞模式的非對(duì)稱性與地基土體的成層性，同時(shí)考慮了土層分層界面處上、下土層的速度間斷性，以及基礎(chǔ)與土體之間的相對(duì)滑動(dòng)，來(lái)建立臨坡地基的多塊體破壞模型及其相應(yīng)允許的速度矢量場(chǎng).引入極限分析理論，推導(dǎo)了非對(duì)稱雙層臨坡地基上限承載力計(jì)算方法.

1 臨坡雙層地基破壞模式的確定

1.1 多塊體上限分析法

多塊體上限分析法是極限分析法的一種，其基本理論為：對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)許可的破壞機(jī)構(gòu)，其內(nèi)能耗散率可用式（1）進(jìn)行描述[19].

式中：Ti為邊界面S 上面積分布力矢量；Xi為區(qū)域V內(nèi)體積力矢量；εij是基于運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)的塑性應(yīng)變率場(chǎng)；σij是滿足流動(dòng)法則并與εij相關(guān)聯(lián)的應(yīng)力場(chǎng)；vi是運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)，即與εij滿足幾何相容的速度場(chǎng).

在本文計(jì)算模型中，外力功的功率應(yīng)包括：重力功的功率、基礎(chǔ)傳遞荷載功的功率和考慮埋深的超載功率；對(duì)應(yīng)的內(nèi)能耗散的功率應(yīng)包括：塊體間速度間斷面的內(nèi)能耗散率和基礎(chǔ)底面摩擦消耗的內(nèi)能.

1.2 雙層臨坡地基中多塊體上限法的破壞模式

破壞模式?jīng)Q定了相容速度場(chǎng)的分布從而決定了內(nèi)能耗散率.相比于雙側(cè)破壞模式，單側(cè)破壞模式計(jì)算臨坡地基承載力偏于安全，且與工程實(shí)際更加接近.為了能夠充分體現(xiàn)分層界面處速度的間斷性，本文采用如圖1 所示的破壞模式，并建立如圖1 所示的坐標(biāo)系：基礎(chǔ)中心點(diǎn)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右、豎直向下分別為x 軸、y 軸正方向.

如圖1 所示，根據(jù)臨坡地基單側(cè)破壞機(jī)理，破壞模式由n 個(gè)剛性三角形組成.為便于敘述，分別做如下規(guī)定：滑動(dòng)面記為A123456…n，沿著滑動(dòng)面上的節(jié)點(diǎn)1、2、…、n 記為外部節(jié)點(diǎn)；外部節(jié)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)相連的線段稱為主斜線（如O71）；水平地層分界線與主斜線的交點(diǎn)用n+1、n+2、2n 來(lái)標(biāo)記，記為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)；條塊標(biāo)示用①②③…表示，條形基礎(chǔ)正下方的三角形條塊為條塊①；連接主斜線的線段稱為輔斜線（如72）；位于滑裂面上的輔斜線稱為底輔斜線（如12）；滑動(dòng)面上的 n 個(gè)大三角形（△O12、△O23…）以原點(diǎn)為頂角，且頂角分別設(shè)定為 α1、α2、α3…；底輔斜線與豎直線的夾角（順時(shí)針）為 β1、β2、β3…；破壞面上的底輔斜線長(zhǎng)為 c1、c2、c3…；輔斜線長(zhǎng)為 p1、p2、p3；主斜線長(zhǎng)為 l1、l2、l3.

圖1 破壞模式Fig.1 Collapse model

在圖1 中，對(duì)于水平層狀土，若主斜線li位于兩層土中則其長(zhǎng)度分別表示位于上層土的長(zhǎng)度和位于下層土的長(zhǎng)度.大三角形被輔斜線分為兩個(gè)三角形，三角形編號(hào)如圖1 所示，三角形的面積分別表示為S1、S2、S3….土層分界線將偶數(shù)編號(hào)的三角形面積分為上、下層土的面積之和即Si=為上層土中三角形的面積，為下層土中的面積.編號(hào)為奇數(shù)的三角形都位于下層土中，下層土中四邊形面積被輔斜線分為左右兩個(gè)三角形，分別用表示其面積.

1.3 幾何參數(shù)的求解

已知條件：條形基礎(chǔ)的寬度d、基礎(chǔ)外沿距坡頂距離 l=ad（a 為距離比系數(shù)）、可變參量 αi和 βi、上層黏土的厚度h.根據(jù)圖1 所示幾何關(guān)系，可分別求出其他幾何參數(shù).

主斜線長(zhǎng)度見式（2）.

底輔斜線長(zhǎng)度 ci見式（5）（6）.

當(dāng) i>2 時(shí)采用式（7）計(jì)算.

對(duì)于條形基礎(chǔ)下的三角形滑塊1，如果土層分層線通過(guò)底輔斜線A1 時(shí)，同理可將A 1 的長(zhǎng)分解為.

輔斜線的長(zhǎng)度為Pi，由余弦定理：a2+ b2- 2ab cos C=c2，可以推出 pi，見式（10）.

大三角形滑塊的面積 Sαi見式（11）.

當(dāng)i 為偶數(shù)時(shí)：

當(dāng) i 為奇數(shù)且 i ＞ 1 時(shí)：

邊坡表面傾斜且無(wú)限延伸，坡角為η，則邊坡表面最外側(cè)的三角形滑塊，根據(jù)幾何關(guān)系即可確定其幾何參數(shù)，如圖1 所示三角形內(nèi)角分別為ξ、ω、υ，三者之和為180°.

上述分析過(guò)程，構(gòu)建出了條形基礎(chǔ)下的非對(duì)稱臨坡雙層地基的多滑塊破壞模型.該模型既能充分反映地基破壞時(shí)的非對(duì)稱性，又能充分體現(xiàn)在地基分層界面處塊體的速度間斷的特性，為本文計(jì)算臨坡分層地基在條形基礎(chǔ)荷載作用下的極限承載力的合理性打下基礎(chǔ).與此同時(shí)，為了保證單側(cè)滑塊的破壞模式的形成，塊體的幾何條件應(yīng)滿足下述條件的約束：滑塊頂角總和應(yīng)等于π-ω，當(dāng)臨坡地基無(wú)限接近水平地基時(shí)，ω 為0，滑塊頂角總和為π；為保證計(jì)算精度，將臨坡地基分為n 個(gè)剛性三角形（n ＞1），即αi＜π/2；當(dāng)臨坡地基無(wú)限接近水平地基時(shí)ξ 為0，因此 ξ ＞ 0.

2 機(jī)動(dòng)允許速度矢量場(chǎng)的確定

2.1 基本假定

根據(jù)條形基礎(chǔ)下的臨坡地基的幾何參數(shù)，以及本文研究的具體情況，在確定臨坡雙層非對(duì)稱地基承載力上限值所允許的速度矢量時(shí)，做如下假定：

1）土體服從Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則以及相關(guān)流動(dòng)法則；

2）考慮條形基礎(chǔ)基底和土體的相對(duì)滑動(dòng)，其外摩擦角為δ；

3）基礎(chǔ)在上部荷載作用下向下做垂直運(yùn)動(dòng)；

4）土層分界面為水平向.

2.2 速度的確定

根據(jù)假設(shè)以及速度相容原理，求得各滑塊的速度以及間斷面的速度.

1）根據(jù)圖2 所示速度關(guān)系，在條形基礎(chǔ)下方的三角形滑塊的速度以及間斷面的速度見式（23）.

式中：v1為滑塊1 斜向下的移動(dòng)速度.

圖2 塊體1 速度相容矢量場(chǎng)Fig.2 Compatible velocities of block 1

在A1 間斷面上v1為間斷面速度，其方向與A1邊的夾角為該土層的內(nèi)摩擦角.

2）根據(jù)條塊1 的速度來(lái)求條塊3 的速度.滑塊1和滑塊3 之間的相容矢量關(guān)系如圖3 所示.

式中：v3相對(duì)于豎直線夾角為β2+φ2.

圖3 三角滑塊1、3 的相容速度矢量場(chǎng)Fig.3 Compatible velocities between block 3 and 1

同理，可得滑塊 5、7、9、…、i…的速度.

根據(jù)滑塊1 和滑塊3 的速度，求出滑塊2 的速度，其中γ2為中間變量，是滑塊2 的速度與豎直方向的夾角，可以利用求出，然后再代回式中即可求得滑塊2 的速度.其矢量關(guān)系如圖4 所示.

式中：x2為輔斜線相對(duì)于豎直線的夾角.

圖4 速度關(guān)系Fig.4 Velocity relation

同理，根據(jù)滑塊2、5 的速度，可求出滑塊4 的速度.

根據(jù)以上關(guān)系，寫出一般式，見式（36）～（39）.

在求三角形的速度時(shí)應(yīng)該按照 1，3，2，5，4，7，6，…的順序來(lái)求解.

3 功率消耗計(jì)算

3.1 外力功率的計(jì)算

計(jì)算模型中的外力包括：基礎(chǔ)埋深引起的附加均勻分布應(yīng)力、基礎(chǔ)底面的極限壓應(yīng)力和塊體的自重.

1）基礎(chǔ)埋深引起的附加均布應(yīng)力q 的功率Wq見式（41）.

其中不考慮基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體的抗剪強(qiáng)度對(duì)承載力的影響，ρ1為第一層土體重度，H 為基礎(chǔ)埋深.

2）基礎(chǔ)傳遞下來(lái)的極限壓應(yīng)力Qm的功率WQm見式（43）.

滑塊1 土層1 中的自重外力的功率見式（44）.

滑塊1 土層2 中的自重外力的功率見式（45）.

4）其余滑動(dòng)塊的自重外力功率.

i=3，5，7，…時(shí)滑塊自重功率 Wxlsi見式（48）.

靠近斜坡的滑塊自重的外力功率Wsn+1見式（49）.

綜合上述計(jì)算所得外力功率，總功率記為B.

3.2 內(nèi)能耗散率計(jì)算

內(nèi)能耗散率主要考慮到速度間斷面、基礎(chǔ)和土體的接觸面、滑動(dòng)破壞面上的能量耗散.

滑塊間斷面的內(nèi)能耗散率：主斜線lsi、lxi輔斜線Pn.

滑動(dòng)面上的間斷面的內(nèi)能消耗：底輔斜線ci.

綜上所述，總的內(nèi)能耗散率記為A.

4 非對(duì)稱雙層臨坡地基極限承載力上限解

極限分析法，是將巖土體看作剛體，利用連續(xù)介質(zhì)中的虛功定理來(lái)推求巖土極限荷載的上下限解[20].上限定理又叫能量法，首先假設(shè)一個(gè)滑裂面，構(gòu)建一個(gè)位移場(chǎng)，然后根據(jù)虛功原理求解極限荷載，使得外荷載功率和內(nèi)能耗散功率相當(dāng)[21].根據(jù)本文所選取的地基破壞模式、機(jī)動(dòng)允許的速度場(chǎng)，由上限分析理論可得上限解，見式（56）.

要使臨坡地基取得極限承載力Qu的最小值，只有當(dāng)?shù)鼗幱跇O限狀態(tài)，即式（56）取最小值.利用Matlab 編程計(jì)算可獲得承載力的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束非線性規(guī)劃問(wèn)題.對(duì)式（56）進(jìn)行優(yōu)化求解必須滿足式（22）的約束條件，本文采用序列二次規(guī)劃算法（SQP）.SQP 非線性優(yōu)化算法是利用目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)，借此將約束最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，然后利用求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題方法間接求解新目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)解問(wèn)題，此方法既適合高度非線性問(wèn)題，也具有較快的運(yùn)算速度[22-24].

5 工程算例計(jì)算與分析

為了驗(yàn)證本文關(guān)于非對(duì)稱雙層臨坡地基上限承載力計(jì)算方法的合理性，結(jié)合具體工程案例進(jìn)行分析，并與相關(guān)的分析方法、軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.驗(yàn)證的具體情況如下.

5.1 算例1

采用文獻(xiàn)[17]中的計(jì)算案例：某臨坡條形基礎(chǔ)雙層地基，基礎(chǔ)埋深H=1.0 m，持力層范圍內(nèi)兩層飽和黏土.土體相關(guān)計(jì)算參數(shù)詳見文獻(xiàn) [17].基礎(chǔ)外邊緣到基礎(chǔ)坡頂?shù)木嚯xl=a×b，其中a 為距離比例系數(shù)，a=1，邊坡坡角 η =20°.5.1.1 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

文中還采用有限差分軟件（FLAC-3D）對(duì)工程案例1 的非對(duì)稱臨坡地基進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.在分析過(guò)程中按平面應(yīng)變問(wèn)題處理，材料參數(shù)：E = 45 × 103kPa，ν=0.3.土體的本構(gòu)模型服從 Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則.圖5 為分級(jí)加載的荷載-位移曲線，每一級(jí)荷載為10 kPa.

圖5 分級(jí)加載沉降曲線Fig.5 Graded loading sedimentation curve

圖5 所示為FLAC 模擬的分級(jí)加載的荷載-位移曲線，可以看到，當(dāng)加載到110 kPa 時(shí)位移呈極速下降的狀態(tài)，通過(guò)觀察塑性區(qū)可看出，此時(shí)塑性區(qū)已經(jīng)貫通.而文獻(xiàn)[17]中采用Abaqus 得到的荷載-位移曲線得出破壞荷載也應(yīng)該在110 kPa 左右，此時(shí)荷載-位移曲線已經(jīng)處于快速下降階段，在文獻(xiàn)[17]中作者的取值有些偏大.

表1 計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Comparison of computation results

數(shù)值模擬結(jié)果表明，案例1 中的雙層地基加載到Qu=110 kPa 時(shí)臨坡地基發(fā)生了破壞.文獻(xiàn) [17]的理論計(jì)算方法所得地基極限承載力Qu=128.6 kPa，本文所得地基極限承載力Qu=125.9 kPa，兩者的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果都很接近，很明顯本文結(jié)果更加接近數(shù)值分析結(jié)果.在多滑塊體分析模型中，塊體劃分得越細(xì)其計(jì)算值就越精確，本文的塊體劃分比文獻(xiàn)[17]中的塊體數(shù)量少了一半，但計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[17]中的計(jì)算值更加接近于數(shù)值分析結(jié)果，因此本文的分析方法可行且效率更高.

5.1.2 參數(shù)分析與討論

分層地基的承載力一般會(huì)受到土層性質(zhì)、土層厚度的影響.通常，下臥軟弱土層都對(duì)基礎(chǔ)承載力有不利影響.為了探討上、下層土的強(qiáng)度參數(shù)以及幾何尺寸對(duì)基礎(chǔ)的極限承載力的影響規(guī)律，下文通過(guò)改變案例1 中的下臥層土的黏聚力，其他參數(shù)保持不變，來(lái)分析土體強(qiáng)度參數(shù)的改變對(duì)承載力的影響；在保持強(qiáng)度參數(shù)不變的情況下改變上層土體的厚度來(lái)分析土層厚度對(duì)承載力的影響.

圖6 所示為在不同的上層土體厚度情況下，土體黏聚力對(duì)承載力的影響曲線.由圖6 可知：隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基的承載力上限值也逐漸增加且增加速度越來(lái)越快.在上層土厚度不同的情況下，上、下層土體強(qiáng)度差距越小，其地基的承載力也就越接近，這與事實(shí)相符.當(dāng)上、下層土體強(qiáng)度逐漸接近時(shí)，不管上層土的厚度是多少，其地基承載力趨近于同一個(gè)值，即接近于均質(zhì)地基承載力.

圖7 所示為臨坡條形基礎(chǔ)的上限承載力與上層土厚度的關(guān)系，圖中給出了上、下土層不同黏聚力的承載力隨著上層土的厚度變化的關(guān)系.當(dāng)兩層土體強(qiáng)度相差不是很大時(shí)，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加.當(dāng)土層厚達(dá)4 m 左右時(shí)，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉(zhuǎn)化為單層土體的地基承載力形式.兩層土體的強(qiáng)度差異很大時(shí)，其承載力依然隨著厚度增加而增加.

圖6 上限承載力和黏聚力比的關(guān)系Fig.6 Relationship between upper bearing capacity and cohesion ratio

圖7 上限承載力與上層土厚度的關(guān)系Fig.7 Relationship between upper bearing capacity and upper soil thickness

5.2 算例2

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文計(jì)算理論的正確性和合理性，下面采用不分層的臨坡地基來(lái)計(jì)算地基上限承載力.一臨坡地基，基礎(chǔ)寬b=2 mm，坡頂距比a=0，基礎(chǔ)埋深2 m，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=π/6，黏聚力C=20 kPa，坡角η=π/9.計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[17，25-26]計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表2.

表2 計(jì)算結(jié)果比較（a=0）Tab.2 Comparison of computation results（a=0）

算例2 是非成層地基，而本文計(jì)算方法主要針對(duì)分層地基，但是本文計(jì)算方法可以退化為均勻地基來(lái)計(jì)算臨坡地基的承載力上限值.計(jì)算結(jié)果與其他3 種理論計(jì)算方法對(duì)比表明：本文采用較少的計(jì)算單元（10 個(gè)計(jì)算單元）獲得了與其他文獻(xiàn)相近的承載力值.綜上，本文采用較少的單元?jiǎng)澐?，得到較好的計(jì)算結(jié)果，證明了本文采用的破壞模式是合理、有效的.

6 結(jié) 論

本文綜合考慮了地基的分層性、破壞的非對(duì)稱性、基礎(chǔ)與土體的摩擦作用、地基埋深、基礎(chǔ)外緣與坡頂距離等對(duì)臨坡地基承載力的影響.采用一種新的多滑塊模式來(lái)構(gòu)建其破壞模式并根據(jù)速度相容的關(guān)系、速度三角形閉合條件確定該模型的相容速度場(chǎng)，同時(shí)采用極限分析法的上限分析理論來(lái)推導(dǎo)雙層臨坡地基上限承載力的計(jì)算公式.最后，通過(guò)兩個(gè)算例，分別與數(shù)值分析結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證明了本文計(jì)算方法的合理性，并進(jìn)行參數(shù)分析，得出如下結(jié)論：

1）隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基承載力上限值也逐漸增加且增加得越來(lái)越快.

2）當(dāng)兩層土體強(qiáng)度相差不是很大時(shí)，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加.當(dāng)土層厚達(dá)4 m左右時(shí)，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉(zhuǎn)化為單層土體的地基承載力形式.兩層土體的強(qiáng)度差異很大時(shí)，其承載力依然隨著厚度增加而增加.