導(dǎo)彈對(duì)建筑目標(biāo)射擊命中概率分析

劉震宇,渠弘毅,王 峰,齊昊楨

(1.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所,北京 100076; 2.火箭軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室,北京 100076)

大型建筑物是導(dǎo)彈的主要?dú)繕?biāo)之一[1]。命中概率是指在一定射擊條件下,命中目標(biāo)可能性大小的數(shù)字表征[2]。對(duì)命中概率的計(jì)算是火力規(guī)劃的基礎(chǔ)[3]。傳統(tǒng)的火力規(guī)劃方法通常將建筑視為二維目標(biāo)[4-6],忽略了彈道傾角和建筑的高度的影響。本文從導(dǎo)彈的彈道特點(diǎn)入手,綜合考慮射擊誤差和彈道傾角,提出了一種針對(duì)立體目標(biāo)的射擊方法,并推導(dǎo)了命中概率的計(jì)算公式,結(jié)合算例對(duì)命中概率進(jìn)行分析。

1 目標(biāo)在地面的投影

本文假設(shè)高層建筑為立方體,若彈道傾角為90°,打擊區(qū)域?yàn)榻ㄖ斆?瞄準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)為頂面中心可獲得最大的命中概率;若彈道傾角不為90°,則需要考慮彈道傾角對(duì)命中概率的影響。

由于發(fā)射方向角未知,可分為圖1所示的兩種情形,左圖為射向與目標(biāo)底邊水平或垂直的特殊情形,右圖為一般情形。

圖1 射向示意圖

如圖2所示,當(dāng)射向與目標(biāo)底邊水平或垂直時(shí),建筑沿射向在地面的投影為矩形;其余情形,建筑沿射向在地面的投影為六邊形。圖2中,“O”代表建筑底面中心,“X”代表投影中心。

圖2 立方體沿射向在地面的投影

2 立方體中心射擊方法

從上一節(jié)可以看出,當(dāng)彈道傾角一定時(shí),若瞄準(zhǔn)點(diǎn)為投影中心,命中概率最大。然而,彈道傾角往往存在隨機(jī)偏差,若偏差較大,將導(dǎo)致理論投影與實(shí)際投影相差較大,進(jìn)而影響命中概率。

綜合考慮彈道傾角的偏差和射擊誤差,本文提出一種立方體中心射擊方法,使命中概率最大。

定理:當(dāng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)為立方體中心時(shí),無(wú)論彈道傾角是多少,導(dǎo)彈穿過(guò)目標(biāo)后的理論落點(diǎn)均為投影中心。

證明過(guò)程如下:

情形1:射向與目標(biāo)底邊水平或垂直。記彈道傾角為θ,立方體長(zhǎng)寬高分別為2lx、2ly和H,x=H/tanθ,立方體中心點(diǎn)為G,穿過(guò)立方體中心后的理論落點(diǎn)為O。

圖3 導(dǎo)彈穿過(guò)立方體中心后的落點(diǎn)(情形1)

情形2:射向與目標(biāo)底邊不水平、不垂直。記彈道傾角為θ,射向與短邊的夾角為α,立方體長(zhǎng)寬高分別為2lx、2ly和H,2lz為目標(biāo)沿射向的長(zhǎng)度,z=H/tanθ,立方體中心點(diǎn)為G,穿過(guò)立方體中心后的理論落點(diǎn)為O。

圖4 導(dǎo)彈穿過(guò)立方體中心后的落點(diǎn)(情形2)

綜上所述,導(dǎo)彈穿過(guò)立方體中心后的理論落點(diǎn)為投影中心。

3 命中概率計(jì)算

散布誤差是指射擊時(shí)落點(diǎn)的隨機(jī)偏差。設(shè)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對(duì)立方體目標(biāo)進(jìn)行射擊,瞄準(zhǔn)點(diǎn)為立方體中心,以穿過(guò)立方體后的理論落點(diǎn)O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,長(zhǎng)邊為X軸,短邊為Y軸,實(shí)際落點(diǎn)坐標(biāo)為X=(x,y),目標(biāo)底部面積v=2lx×2ly,如圖5所示。

圖5 目標(biāo)示意圖

受大量隨機(jī)因素的影響,造成導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能重合,因此,形成了彈道的散布,導(dǎo)致實(shí)際落點(diǎn)對(duì)理論落點(diǎn)存在誤差X=(x,y),X是一個(gè)二維隨機(jī)變量,假設(shè)其服從N(0,Σ)分布,概率密度函數(shù)為

(1)

于是,一次射擊命中目標(biāo)的概率為

(2)

圖6 投影區(qū)域

將式(1)代入式(2),推導(dǎo)得到一次發(fā)射命中目標(biāo)的概率為

(3)

式中，lx是目標(biāo)長(zhǎng)邊/2;ly是目標(biāo)短邊/2;H是目標(biāo)高度;σ是散布誤差的標(biāo)準(zhǔn)差;θ是彈道傾角;α是方向角;Φ0(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)。

4 數(shù)值算例

導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對(duì)立方體建筑目標(biāo)進(jìn)行打擊,瞄準(zhǔn)點(diǎn)為立方體中心,目標(biāo)底部尺寸為lx=60 m,ly=40 m。選取不同的CEP、目標(biāo)高度、彈道傾角和方向角,分別計(jì)算命中概率,模型參數(shù)取值匯總?cè)绫?所示。

將表1中的模型參數(shù)代入式(3),計(jì)算得到命中概率。圖7為命中概率隨CEP的變化曲線,當(dāng)CEP大于10之后,命中概率顯著下降;當(dāng)CEP為40 m時(shí),命中概率為0.354。

表1 模型參數(shù)取值

圖7 命中概率隨CEP的變化(情形1)

改變目標(biāo)高度,得到圖8所示的命中概率曲線。隨著目標(biāo)高度的增大,命中概率逐漸增大,當(dāng)目標(biāo)高度大于500 m以后,命中概率變化不大,此時(shí)的命中概率主要受CEP制約。

圖8 命中概率隨目標(biāo)高度的變化(情形2)

改變彈道傾角,得到圖9所示的命中概率曲線,本文方法的瞄準(zhǔn)點(diǎn)為立方體中心,傳統(tǒng)方法的瞄準(zhǔn)點(diǎn)為目標(biāo)底部中心。隨著彈道傾角的增大,命中概率逐漸減小,因?yàn)閺椀纼A角越小,目標(biāo)沿射向在地面的投影越大,越容易命中目標(biāo)。當(dāng)彈道傾角為90°時(shí),為垂直灌頂攻擊,目標(biāo)可等效為二維目標(biāo),兩種方法的命中概率一致。

圖9 命中概率隨彈道傾角的變化(情形3)

改變方向角,得到圖10所示的命中概率曲線,為了便于理解,此處將目標(biāo)底部尺寸改為正方形。隨著方向角的增大,命中概率先增大后減小,容易看出,方向角為45°時(shí),沿射向的截面最大,此時(shí)命中概率最高。

圖10 命中概率隨方向角的變化(情形4)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)導(dǎo)彈的彈道特點(diǎn),對(duì)建筑目標(biāo)進(jìn)行二維投影,并提出了立方體中心射擊方法。通過(guò)對(duì)射擊誤差建模,推導(dǎo)出綜合考慮射擊精度和彈道傾角的命中概率計(jì)算公式。數(shù)值算例表明應(yīng)用該方法能夠?qū)ㄖ繕?biāo)的命中概率進(jìn)行準(zhǔn)確的評(píng)估,從而為火力規(guī)劃系統(tǒng)提供數(shù)據(jù)支撐。