量子力學(xué)純態(tài)表象與混合態(tài)表象間的積分變換

孟祥國(guó)

(聊城大學(xué) 山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、物理科學(xué)與信息工程學(xué)院，山東 聊城 252059)

由狄拉克提出的表象變換理論在量子力學(xué)中是一個(gè)基本的課題[1]，通常來(lái)說(shuō)，它指的是兩個(gè)不同的量子力學(xué)純態(tài)表象之間的變換，例如，由坐標(biāo)表象變換到動(dòng)量表象

(1)

(2)

本文在純態(tài)表象(坐標(biāo)表象|q〉和動(dòng)量表象|p〉)和混合態(tài)表象(Weyl-Wigner表象)之間建立一種新型積分變換，并討論它的具體應(yīng)用.利用有序算符內(nèi)的積分法，坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的完備性關(guān)系可表示為[3]

(3)

這樣，Wigner算符Δ(q,p)的正規(guī)排序?yàn)?/p>

(4)

(5)

利用有序算符內(nèi)的積分法，可證明算符Δ(q,p)滿足如下完備性關(guān)系

(6)

從這個(gè)意義上，說(shuō)明Δ(q,p)能構(gòu)成一個(gè)混合態(tài)表象.因此，根據(jù)Δ(q,p)的完備性關(guān)系，任何算符ρ都能被展開(kāi)(即Weyl展開(kāi))

(7)

或者利用式(5)和(7)，算符ρ也可表示

(8)

1 算符|q〉〈q|p〉〈p|和Δ(q,p)間的積分變換

當(dāng)把經(jīng)典函數(shù)eλq+σp量化為一個(gè)算符時(shí)，可采取如下三種方法

eλq+σp=eλqeσp→eλQeσP, (Q-排序),

eλq+σp=eσpeλq→eσPeλQ, (P-排序),

eλq+σp→eλQ+σP, (Weyl-排序),

(9)

式中[Q,P]=i (?=1).這樣，相應(yīng)的三種量子化方案分別表示為

(10)

其中符號(hào)Q指的是所有的坐標(biāo)算符Q都站在所有動(dòng)量算符P的左側(cè)，而符號(hào)P指的是所有的動(dòng)量算符P都站在所有的坐標(biāo)算符Q左側(cè)，而Weyl排序依賴于Wigner算符，即

(11)

若用符號(hào)

來(lái)標(biāo)記Weyl排序，則算符eλQ+σP的Weyl排序可表示為

(12)

把式(12)代入式(11)并利用有序算符內(nèi)的積分法，可得到Wigner算符Δ(q,p)的Weyl排序，即[8]

(13)

值得指出的是，算符Q和P在以上三種排序中都是對(duì)易的.進(jìn)一步，利用式(13)及其傅里葉變換，可導(dǎo)出Wigner算符的原始定義式，即

(14)

利用Weyl排序內(nèi)的積分法可以建立以上三種排序之間的聯(lián)系，即

(15)

再利用式(13)，我們有

(16)

類似地，可有

(17)

由式(16)和(17)可見(jiàn)，坐標(biāo)和動(dòng)量表象和Wigner表象之間滿足新的積分變換，其積分核為e±i2(p-p′)(q-q′).因此，式(16)和(17)給出的積分變換的逆變換分別為

(18)

2 算符ρ的Wigner函數(shù)與Tr(ρ|q〉〈p|)/Tr(|q〉〈p|)的新關(guān)系

(19)

(20)

相應(yīng)地，其逆變換為

(21)

這個(gè)積分表達(dá)式為計(jì)算算符ρ的Wigner函數(shù)提供了一種新的方法.例如，對(duì)一個(gè)壓縮參量為λ的單模壓縮算符ρλ=e(a?2-a2)λ/2[9,10]，它的坐標(biāo)本征態(tài)表示為[11]

(22)

由此式直接推導(dǎo)出

(23)

把式(23)代入式(21)，可推導(dǎo)出壓縮算符ρλ的Wigner函數(shù)，即

(24)

另一方面，當(dāng)把式(24)代入式(7)時(shí)，可得到算符ρλ的Weyl排序形式，即

(25)

3 菲涅爾算符的Weyl經(jīng)典對(duì)應(yīng)

對(duì)于菲涅爾算符[12,13]

(26)

其中AD-BC=1，它對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光學(xué)中的菲涅爾光學(xué)變換，利用算符eiλPQ的P排序表示

eiλPQ=P[exp{-i(e-λ-1)PQ}],

(27)

可得到

(28)

結(jié)合式(26)和式(28)，我們有

(29)

進(jìn)而，把式(29)代入式(21)并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的積分運(yùn)算，可得到菲涅爾算符F的Weyl經(jīng)典對(duì)應(yīng)

(30)

4 分?jǐn)?shù)階壓縮算符

特殊地，當(dāng)B=coshθ,C=-coshθ,A=sinhθ,D=-sinhθ時(shí)，則式(29)的右邊變?yōu)?/p>

(31)

(32)

另一方面，由式(8)可得到分?jǐn)?shù)階壓縮算符的正規(guī)排序表示，即

(33)

(34)

(35)

綜上，借助有序算符內(nèi)的積分法，本文在純態(tài)表象(坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象)和混合態(tài)表象(Weyl-Wigner表象)之間建立了一種新的積分變換，并由此提出了一種計(jì)算系統(tǒng)密度算符Wigner函數(shù)的新方法.此外，給出了菲涅爾算符的Weyl經(jīng)典對(duì)應(yīng)和分?jǐn)?shù)階壓縮算符的正規(guī)排序及其簡(jiǎn)潔表示.