基于多模態(tài)快速非奇異終端滑模的船舶航跡跟蹤自抗擾控制

郭 杰， 劉軼華， 馬利華

(上海海事大學(xué) 商船學(xué)院， 上海 201306)

欠驅(qū)動船舶系統(tǒng)是指控制其運動系統(tǒng)的輸入量少于其需要控制的運動自由度的數(shù)量[1]，具有船舶運動模型參數(shù)不確定和非線性強等特點，加上外界風(fēng)、浪、流的干擾，航跡控制器設(shè)計比較困難。常規(guī)船舶上只安裝有螺旋槳主推進器和舵裝置，是典型的欠驅(qū)動船舶系統(tǒng)。[2]傳統(tǒng)非完整系統(tǒng)的控制方法并不能直接應(yīng)用到此類系統(tǒng)中。因此，對這類問題進行研究有重要意義。[3]

國內(nèi)外學(xué)者對航跡控制問題已有豐富的研究成果。文獻[4]～文獻[6]設(shè)計控制器的基礎(chǔ)均為精確的數(shù)學(xué)模型，因此當(dāng)參數(shù)辨識不精確時難以應(yīng)用?；？刂?Sliding Mode Control，SMC)因具有對參數(shù)攝動的不變性而引起廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的滑模是一種線性滑模，如果需要較大的收斂速率，必須增大控制增益，而這會引發(fā)輸入飽和現(xiàn)象。為克服線性滑模漸進穩(wěn)定的問題，文獻[7]提出終端滑模(Terminal Sliding Mode，TSM)的控制策略，由于傳統(tǒng)TSM存在奇異問題，進而提出非奇異終端滑模(Nonsingular Terminal Sliding Mode，NTSM)控制。文獻[8]采用NTSM控制，在模型參數(shù)不確定的情況下實現(xiàn)航跡控制，對外界風(fēng)、流、浪的干擾有較好的抵抗作用。文獻[9]設(shè)計的滑模面雖能彌補普通TSM的缺點，但其收斂速度不夠理想。文獻[10]提出自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)技術(shù)有不依賴精確模型的優(yōu)良控制特性。文獻[11]提出非線性擴張狀態(tài)觀測器(Nonlinear Extended States Observer，NLESO)，在一定范圍內(nèi)，對不確定系統(tǒng)有很好的跟蹤性能。但是，目前還沒有針對其中非線性函數(shù)選擇的明確理論依據(jù)，在大多數(shù)情況下還是要依靠研究者的經(jīng)驗判斷。由于NLESO在參數(shù)整定不易、穩(wěn)定性分析和控制性能分析等方面有一定困難，為擴大擴張狀態(tài)觀測器(Extended States Observer，ESO)的應(yīng)用，文獻[12]將其中的非線性函數(shù)替換為線性函數(shù)，從而得到線性擴張狀態(tài)觀測器(Linear Extended States Observer，LESO)，具有參數(shù)整定方便和理論分析簡單等優(yōu)點，且對擾動的抵抗性能較強。文獻[13]得出LESO的觀測精度較低的結(jié)論。文獻[14]提出當(dāng)系統(tǒng)模型未知時，LESO的觀測誤差收斂是有一定條件的。

本文對原本的ESO進行改造，實時在線性函數(shù)與非線性函數(shù)之間切換，進而設(shè)計一種可切換的組合式ESO，同時發(fā)揮兩種函數(shù)的優(yōu)點，使其性能在不依賴于精確的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上得到進一步提升。同時，基于多模態(tài)的思想，采用分段切換函數(shù)設(shè)計NTSM，根據(jù)實際情況選擇適當(dāng)?shù)幕Ｃ?，實現(xiàn)多個滑動模態(tài)，并引入一種新型雙冪次趨近律，以期達到快速趨近的目的。此外，將此趨近律和NTSM引入狀態(tài)誤差反饋(States Errors Feedback，SEF)環(huán)節(jié)，設(shè)計的基于多模態(tài)的快速NTSM在繼承原本ADRC優(yōu)良控制品質(zhì)的同時，能提高收斂速度和精度，改善控制器性能。

1 船舶運動數(shù)學(xué)模型

三自由度欠驅(qū)動水面船舶運動模型[15]為

(1)

式(1)中：x、y和φ分別為船舶在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)位置和艏向角；u、v和r分別為縱向速度和橫蕩速度、艏向角速度?？紤]ADRC的設(shè)計，加上控制過程中非線性因素和外界干擾的影響，可得出

(2)

(3)

式(3)中：δr為命令舵角；KE為舵機控制增益；TE為舵機時間常數(shù)。

由上述計算可得運動數(shù)學(xué)模型為

(4)

2 基于FNTSM的ADRC設(shè)計

2.1 FNTSM算法

由文獻[8]可知，傳統(tǒng)TSM的切換函數(shù)為

(5)

式(5)中：x1和x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量；β>0；p和q為正奇數(shù)，且p=2m+1，(m=1,2,…)，p>q。對應(yīng)的控制律為

(6)

此控制律在x1=0、x2≠0時存在奇異問題，特別是在平衡點附近出現(xiàn)的頻率很高，奇異現(xiàn)象嚴(yán)重。

為克服TSM的奇異問題，研究者設(shè)計了很多切換函數(shù)，其中文獻[8]中NTSM切換函數(shù)為

(7)

式(7)中：x1和x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量；β和v為可調(diào)參數(shù)，β>0,1

為進一步改善收斂性能，本文基于多模態(tài)的思想設(shè)計一種組合式的滑模面，可根據(jù)實際情況進行選擇，并引入一種新型的雙冪次趨近律，得到快速非奇異終端滑模，提高收斂速度。本文設(shè)計的分段切換函數(shù)[17]為

(8)

s2=x2+β1/vsgn(x1)|x1|ω

(9)

式(8)中：ω為可調(diào)參數(shù)，且ω>1。當(dāng)|x1|<1時，取切換函數(shù)s1=0；當(dāng)|x1|≥1時，取切換函數(shù)s2=0。兩切換函數(shù)收斂度對比見圖1。

圖1 兩切換函數(shù)收斂度對比

由圖1可知：當(dāng)|x1|<1時，切換函數(shù)s1的收斂速度優(yōu)于s2；當(dāng)|x1|≥1時，s2的收斂速度大大優(yōu)于s1。因此，采用切換設(shè)計可同時發(fā)揮兩個函數(shù)的優(yōu)點。

本文采用的新型雙冪次趨近律相比傳統(tǒng)的趨近律，具有更好的運動品質(zhì)。[18]推導(dǎo)分段切換函數(shù)相對應(yīng)的控制律[19]過程如下。

根據(jù)式(4)定義船舶航向誤差為

φe=φ-φd

(10)

式(10)中：φd為指令信號，即期望航向。

(11)

令

f(r)=-α1r-α2r3

(12)

由此可得二階船舶航向控制系統(tǒng)為

(13)

由式(8)和式(9)結(jié)合船舶系統(tǒng)可得

(14)

(15)

對式(13)進行求導(dǎo)可得

(16)

(17)

可得

sgn(s1)-k2|s1|βsgn(s1)

(18)

整理得控制律為

(19)

對未知的外界干擾ω(t)進行限制，‖ω(t)‖0，以減小不確定性的影響。同時，為防止控制量為0，加入一個很小的避零常數(shù)ζ(ζ>0)，從而得到新的控制律為

(20)

式(20)中：η為設(shè)計常數(shù)。同理可得切換函數(shù)s2對應(yīng)的控制律為

(21)

當(dāng)|x1|<1時，取控制律u1；當(dāng)|x1|≥1時，取控制律u2。對于式(13)，分別取式(14)和式(20)、式(18)和式(21)時，能使得在有限時間內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)變量最終到達終端滑模面，且跟蹤誤差收斂到0，此證明過程可詳見文獻[8]。

2.2 自抗擾控制方法

韓京清[10]利用非線性機制開發(fā)一些具有特殊功能的環(huán)節(jié)，如跟蹤微分器(Tracking-Differentiator，TD)和擴張狀態(tài)觀測器等，并加以組合，由此形成自抗擾控制技術(shù)。該技術(shù)因具有良好的控制特性而備受關(guān)注，此后隨著研究深入，出現(xiàn)許多富有成效的研究成果。[20]二階不確定非線性系統(tǒng)ADRC結(jié)構(gòu)見圖2。[21]

圖2 二階不確定非線性系統(tǒng)ADRC結(jié)構(gòu)圖

2.2.1TD

采用二階最速跟蹤微分器能更快地實現(xiàn)對輸入信號及其微分的跟蹤。結(jié)合式(13)可得其離散算法[22]為

(22)

式(22)中：φd(k)為輸入信號；φd1(k)和φd2(k)分別為φd(k)的跟蹤信號和近似微分信號；r0為速度因數(shù)；h為濾波因數(shù)；T為系統(tǒng)積分步長；fhan(φd1,φd2,r0,h)為最速控制綜合函數(shù)，其計算式見文獻[10]。

2.2.2LESO和NLESO切換法

抖振問題是滑?？刂品椒ǖ墓逃腥毕?，當(dāng)控制系統(tǒng)有較大不確定性時，為保證系統(tǒng)的魯棒性，控制量的抖振現(xiàn)象會更嚴(yán)重，解決系統(tǒng)的不確定性問題成為關(guān)鍵。ESO理論的出現(xiàn)為處理不確定性問題提供了新的方式，ESO為ADRC的核心部分，其作用是根據(jù)輸入和輸出數(shù)據(jù)對系統(tǒng)動態(tài)和總擾動進行實時估計，可根據(jù)函數(shù)類型的不同分為線性擴張狀態(tài)測器和非線性擴張狀態(tài)觀測器。相對應(yīng)的ADRC分為線性自抗擾控制(Linear Active Disturbance Rejection Controller，LADRC)[23]和非線性自抗擾控制(Nonlinear Active Disturbance Rejection Controller，NLADRC)。[24]

LESO的理論分析較為簡單，參數(shù)整定方便，且跟蹤性能幾乎不隨擾動幅度的變化而變化；NLESO相對來說較為困難和復(fù)雜，跟蹤性能與擾動幅度有關(guān)。但是，采用本文所述方法可使得其與LESO有同等噪聲放大效應(yīng)，同時具有參數(shù)效率較高和跟蹤精度高等優(yōu)點。由此可知：LESO和NLESO的特點不同，為發(fā)揮各自的優(yōu)勢，采用組合方式設(shè)計ESO[25]，即

(23)

(24)

式(23)和式(24)中：e1=z1-y,z1為y的跟蹤信號；z2為z1的微分信號;z3為總擾動的跟蹤信號；li為ESO的增益函數(shù)；b0為b的估計值；gi(e1)為一種常用的非線性函數(shù)。設(shè)置切換條件如下：當(dāng)ESO跟蹤偏差|e1|>1時，采用LESO，即式(23)；反之，采用NLESO，即式(24)。這樣就能發(fā)揮各自的優(yōu)點。gi(e1)的表達式為

(25)

式(25)中：αi和δ為待定常數(shù)。

(26)

令gi(e1)=λ0i(e1)e1，取αi=0.25，δ=0.05，分析λ0i(e1)函數(shù)的特性曲線見圖3。

圖3 λ0i(e1)函數(shù)特性曲線

由圖3可知：λ0i(e1)在線性區(qū)間δ內(nèi)是常數(shù)，當(dāng)誤差e1>δ時，隨著誤差的增大而減小，具有“大誤差，小增益；小誤差，大增益”的特點，因此，將|e1|>1作為切換條件是合適的。

2.2.3參數(shù)整定

“不退不改”“只改不退”……當(dāng)前，電影票“退改簽難”問題廣泛存在。記者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不同售票渠道“退改簽”標(biāo)準(zhǔn)不一，套路重重，飽受消費者詬病。近日，中國電影發(fā)行放映協(xié)會發(fā)布《關(guān)于電影票“退改簽”規(guī)定的通知》，要求電影票“退改簽”規(guī)定要優(yōu)化流程、簡化手續(xù)，并盡快實施，維護消費者權(quán)益。

LESO的參數(shù)整定問題可通過文獻[12]中的“帶寬法”或其改進型來解決，難點在于NLESO的參數(shù)整定問題。本文采用一種結(jié)合“帶寬法”和“經(jīng)驗法”的較為適于調(diào)試的參數(shù)整定方法，原則如下：

(2) 由圖3可知：δ的取值過大會導(dǎo)致丟失非線性增益的優(yōu)勢，過小會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，一般取δ=0.01；αi通常取經(jīng)驗值，α1=1,α2=0.5,α3=0.25。

(3) 在切換控制中，當(dāng)擾動幅度較大時采用LESO，當(dāng)擾動幅度較小時采用NLESO；根據(jù)文獻[25]得到δ=0.01時,典型三階ESO參數(shù)和NLESO的參數(shù)設(shè)置可參考表1。

2.2.4穩(wěn)定性分析

針對此切換型ESO進行簡單且便于應(yīng)用的穩(wěn)定性分析。典型三階NLESO的表達式為

表1 參數(shù)優(yōu)化表

(27)

令

g2(e1)=λ02(e1)e1

(28)

g3(e1)=λ03(e1)e1

(29)

將式(28)和式(29)代入式(27)，可得

(30)

(31)

(32)

(33)

采用傳遞函數(shù)形式和根軌跡法分析如下：

根據(jù)勞倫斯判據(jù)，該ESO穩(wěn)定的充要條件為

λ02l1l2>λ03l3

(34)

若α2=α3，則λ02=λ03，滿足l1l2>l3即可。對于切換型ESO，只要滿足

(35)

(36)

2.2.5SEF

利用ESO能夠?qū)崟r獲得總擾動估計值的特性，在控制律中給予補償，由此實現(xiàn)自抗擾控制。誤差反饋控制律為

(37)

式(37)中：u0為基于多模態(tài)思想設(shè)計的分段滑模控制律，即

(38)

3 風(fēng)、流影響下的航跡控制方法與Simulink仿真

通過期望艏向角方程將航跡控制問題轉(zhuǎn)化為航向控制問題[1]，有

(39)

式(39)中：β0用于壓縮航跡偏差坐標(biāo)；β1用于調(diào)整航跡收斂速度；β2用于調(diào)整積分速度。將式(39)中的φd(t)作為ADRC的參考輸入信號，使艏向角跟蹤φd(t)，有

(40)

3.1 直線航跡控制

計劃航跡向φp=0°，計劃航跡yp=0，航跡偏差Δy=500 m，此處只仿真分析橫向航跡偏差，因為縱向航跡偏差可通過螺旋槳來控制，前進速度u=7 m/s，初始航向φ=0°。橫向航跡偏差、艏向角、舵角和艏向角誤差的變化曲線分別見圖4、圖5、圖6和圖7。

3.2 曲線航跡控制

計劃航跡向φp=0°，計劃航跡yp=200sin(0.000 4πx)，前進速度u=7 m/s，v=0.3 m/s，初始航向φ=0°。橫向位置、艏向角、舵角和艏向角誤差的變化曲線分別見圖8、圖9、圖10和圖11。

4 結(jié)束語

在上述直線航跡控制仿真中，設(shè)計的FNTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC，橫向航跡搖擺程度較小，且更早地到達偏差為0的位置；在曲線航跡控制中，F(xiàn)NTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC航跡更貼近于振幅為200的正弦曲線，且在兩種情形中為達到期望航跡所調(diào)整的舵角、艏向角幅度均相對較小，有利于減少反復(fù)操作和舵機磨損。由圖10和圖11可知：在直線和曲線航跡控制中，F(xiàn)NTSM-ADRC相較于NTSM-ADRC艏向角誤差均較小。由上述分析可知，本文設(shè)計的航跡控制器相對來說收斂速度快，精度高，效果好。

本文針對欠驅(qū)動水面船舶航跡控制問題，在原有ADRC的基礎(chǔ)上，對擴張狀態(tài)觀測器采用組合式函數(shù)設(shè)計進行改造，并將基于多模態(tài)思想構(gòu)造的NTSM和一種新型的雙冪次趨近律引入狀態(tài)誤差反饋環(huán)節(jié)中，達到快速趨近的效果。同時，構(gòu)建期望艏向角方程，產(chǎn)生控制系統(tǒng)的期望輸入，從而達到航跡控制的目的。本文分別設(shè)計了直線和曲線航跡控制兩種情況下的仿真試驗，結(jié)果表明：設(shè)計的新型控制器相對來說能更好地提高收斂速度和控制精度，有較好的控制特性。在后續(xù)的工作中，將繼續(xù)研究如何在更加復(fù)雜的海況下做到精準(zhǔn)控制。