基于數(shù)學核心素養(yǎng)的一題多解分析

祝 燕

(廣東省梅縣東山中學 514017)

現(xiàn)在我國對人才的要求是綜合化、創(chuàng)新化，如果缺乏對事物的“舉一反三”能力，將很難面對今后復雜多類的現(xiàn)實問題，很難適應社會的需要.一題多解是指利用不同的思維方法，對于同一個問題使用兩種或者兩種以上的方法策略進行分析解答.以下通過具體實例的求解進行闡述.

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)假設直線l與動點C所形成的軌跡相切于點P，并與直線x=4相交于一點Q，那么以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的某定點？若經(jīng)過，求出該點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.

(2)方法一設而不求，精準計算.

由題意分析可知，直線l的斜率是存在的，那么可設直線l的方程為：y=kx+m.

依題意，Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即3+4k2=m2.

綜合以上分析，可知以PQ為直徑的圓必過x軸上的定點(1，0).

方法二善用性質結論，減少復雜運算.

將各點坐標代入整理可得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0，即x0(1-t)+t2-4t+3=0.

因為x0是任意取的，所以有1-t=0，t2-4t+3=0同時成立，所以t=1.

故以PQ為直徑的圓必過x軸上的定點(1，0).

方法三由特殊到一般，代入驗證.

易得到與x軸的交點坐標分別為(1,0)，(3,0).

小結一般情況下，對于圓錐曲線中的定點、定值問題通常有兩類處理方法：

(1)參數(shù)法：對動點坐標或動直線方程系數(shù)，引進相關參數(shù)，利用參數(shù)表示坐標或系數(shù)等，然后依據(jù)題意，分析定點、定值成立的條件，得出方程，進而解方程求出答案.

(2)從特殊到一般的推理法：先選擇一些特殊點(如坐標軸上的點)或特殊直線(如垂直于x軸或y軸的直線，經(jīng)過原點的直線等)探究求出滿足條件的點坐標或某值，再進一步證明該點或值與相關變量無關，那么即為所要求的定點或定值等.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)方法一設而不求，精準計算.

(a)若直線的斜率存在，可設直線方程為y=k(x-1)(k≠0)，交點A，B的坐標分別為A(xA，yA)，B(xB，yB).

那么依據(jù)題意有：

方法二由特殊到一般，代入驗證.

在平時學習、考試碰到的數(shù)學問題中，很多通過各個板塊知識交匯編制的數(shù)學題都具有采用一題多解策略分析求解的可能，具備培養(yǎng)處理數(shù)學問題核心素養(yǎng)的價值.通過對此類題目進行一題多解的探究，不僅有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力、解題能力、探究能力等，而且可以在探究多種解法的過程中，通過各種解法的相互比較，促進學生積極地、全面地靈活運用所學數(shù)學知識處理數(shù)學問題，有助于學生進一步理解數(shù)學知識、掌握數(shù)學方法、提升數(shù)學能力、培育數(shù)學素養(yǎng).