由一道高考題感悟平面向量問題的常見解法

林 娜

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

一、試題呈現(xiàn)

二、求解策略

解法1(基底法)

解法2 (坐標(biāo)法)

分析已知圖形是一個等邊三角形，比較特殊，我們可以嘗試建立坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積運算坐標(biāo)化，可以減少運算量.

點評解法2建立平面直角坐標(biāo)系，先假設(shè)點P的坐標(biāo)，然后將所求用坐標(biāo)表示出來，將向量運算坐標(biāo)化，極大地減少運算量，提高運算速度和準(zhǔn)確率. 基底法和坐標(biāo)法是解決平面向量問題的兩個“法寶”，基底法和坐標(biāo)法是以數(shù)助形的兩種常用途徑，兩種方法本質(zhì)相同. 在處理向量的問題時，若能建立坐標(biāo)系的時，我們應(yīng)該首選坐標(biāo)法，若無法建系時，再去考慮基底法來處理.

解法3 (極化恒等式)

取AD中點E，由極化恒等式得

解法4( 向量三角化)

點評解法4根據(jù)向量數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cos〈a,b〉聯(lián)想到余弦定理，將向量問題三角化，最后也轉(zhuǎn)化為求一條邊的長度最小. 解法3和解法4兩種解法最后歸結(jié)的問題相同. 余弦定理和平行四邊形的結(jié)論我們都可以利用向量來證明，兩種解法本質(zhì)是相同的.

解法5( 調(diào)整法即多次使用不等式)

思路2將點D投影到PA上，設(shè)投影為R，則

點評在解決雙變量最值問題時，我們往往可以固定其中一個變量，讓另一個變量變化，使用兩次不等式，求得最值，最后需要驗證兩次等號能夠同時取到. 解法5中的兩個思路就是根據(jù)這個原理，思路1利用向量的正交分解，思路2利用數(shù)量積的投影的幾何意義.

解法6(軌跡法)

所以問題轉(zhuǎn)化為“圓周”與三角形區(qū)域有公共點，

三、解法反思

向量是既有方向又有大小的量，從向量的概念可以看出向量是溝通代數(shù)、幾何、三角等的工具. 縱觀近幾年的高考試題，考查內(nèi)容主要分為三部分：其一，考查平面向量的相關(guān)概念、公式與定理；其二，考查平面向量的基本運算；其三，考查平面向量的綜合應(yīng)用. 考查形式多以選擇題、填空題為主，有時也融入到解答題中. 對于平面向量的綜合應(yīng)用考查，往往考查平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容的綜合問題，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力. 通過一題多解，可以讓學(xué)生深入理解和體會向量的概念、線性運算、數(shù)量積運算及其幾何意義，理解向量的兩個“屬性”.學(xué)生在一題多解的探究過程中，能夠體會和感悟向量和其它知識的橫向聯(lián)系，并利用這種聯(lián)系尋找解決問題的方法. 在高三復(fù)習(xí)備考過程中，應(yīng)該多角度去引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生分析問題、思考問題和解決問題，從中感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、變式訓(xùn)練

解法2 (坐標(biāo)法)

設(shè)BC=2m. 以D為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.則B(-m,0),C(m,0).

醫(yī)學(xué)圖書館隨著數(shù)字圖書館的嵌入，是人員的思維定勢得以改變，醫(yī)學(xué)圖書館是科研和教學(xué)的支柱之一，為讀者開展文化傳播和信息咨詢的場所，使資源得到共享和宏觀調(diào)控，摒除單一的高校圖書館信息資源建設(shè)，建立多元化體系，醫(yī)學(xué)圖書館應(yīng)該改變行政辦公管理體制，設(shè)立知識型服務(wù)運營手段，建立可持續(xù)發(fā)展能力和競爭力。建立數(shù)字圖書館需要引入大量的高新技術(shù)，借助網(wǎng)絡(luò)對數(shù)據(jù)進行個性化、專題化和智能化服務(wù)。積極開展特色的信息資源，是資源共建共享，更好的配合學(xué)校教學(xué)、科研，進行文獻采集提高電子資源的利用率。

解法3 (極化恒等式)

解法1 (坐標(biāo)法)過程略.

過點M作MN∥CD交BD于點N. 當(dāng)點P在圓C上運動時，易知當(dāng)P與點M重合時，PF最長，此時為MN=2CD=2，于是λ+μ的最大值為3.

解法3 (軌跡法)此題我們也可以利用點的軌跡思想來解決. 由向量等和線，當(dāng)λ+μ=m為定值時，動點P的軌跡為與BD平行的直線，將BD平行移動，使得它與圓C有公共點. 易知，當(dāng)l與圓C相切于點M時，λ+μ取得最大值3.