一類桿端點(diǎn)速度問題的多角度分析

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學(xué) 136200)

一、提出問題：

如圖1所示，質(zhì)量不計(jì)、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)桿，緊靠豎直墻壁放置.由于輕微擾動(dòng)，桿兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別沿豎直墻面和水平地面滑動(dòng)，當(dāng)細(xì)桿與水平方向成θ角時(shí)，分析A和B兩球的速度.

二、分析方法

1.繩桿約束法

不可伸長(zhǎng)的桿或繩繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，盡管各點(diǎn)速度不同，為任意兩點(diǎn)之間的距離保始不變，故各點(diǎn)速度沿桿或繩方向的投影相同.

解析如圖2所示，將AB兩點(diǎn)沿墻和地面的速度vA和vB沿著桿和垂直桿分解，兩端點(diǎn)沿桿分速度相等.

由速度矢量三角形可得

由以上三式聯(lián)立可解得：vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)此種方法為高中階段最通用的解法，但學(xué)生沒有了解到剛體和速度投影的概念，在速度分解時(shí)，學(xué)生初學(xué)時(shí)會(huì)感覺到比較棘手.常見的錯(cuò)誤出現(xiàn)在將B速度分解為水平分量和豎直分量.

2.轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心法

當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總能找到一個(gè)瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)，剛體上的每一個(gè)點(diǎn)都以不同的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑繞著該點(diǎn)以某一相同角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，這一瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，常用C表示.若已知某瞬間剛體上兩點(diǎn)的速度方向，且速度方向不同，可做兩速度的垂線，垂線的交點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心.

其中RA=Lcosθ，RB=Lsinθ

由上式聯(lián)立可得：vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)此種方法屬于速算類解法，瞬心內(nèi)容非高考考點(diǎn)，可作為拓展解法，拓寬學(xué)生視野，激發(fā)優(yōu)等生對(duì)物理的熱愛.

3.微元法

微元法是解決高中物理問題的常見思想方法之一，用此方法可以使一些復(fù)雜的物理問題得以簡(jiǎn)化.在使用此方法處理問題時(shí)，需要在復(fù)雜的過程中選取一段時(shí)間等物理量非常小的“元過程”，在該“元過程”中某些變化的物理量可認(rèn)為不變或均勻變化，再應(yīng)用相關(guān)的物理思想和數(shù)學(xué)方法處理該過程，最后通過“元過程”的分析歸納出適用全過程的結(jié)論.

解析如圖4所示，設(shè)經(jīng)歷一小段時(shí)間Δt→0，桿AB移動(dòng)到了A′B′位置，AB和A′B′交于O點(diǎn)，做A′A″垂直AB,BB″垂直A′B′.選取的運(yùn)動(dòng)時(shí)間極短，角度變化非常小可以忽略不計(jì)，速度變化非常小可近似為勻速運(yùn)動(dòng).

∠A′B′B≈∠ABO=θ，∠OA′B′≈∠A′AB=90°-θ

ΔA′A″O′和ΔBB″O′為兩全等三角形，A″B=A′B″

由此可得AA″=B′B″

①

其中AA″=AA′sinθ=vAΔtsinθ

②

B′B″=BB′cosθ=vBΔtcosθ

③

由①②③可得：vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)此種方法難點(diǎn)在于微小量的尋找和數(shù)學(xué)關(guān)系的計(jì)算，對(duì)學(xué)生的思維要求比較高.

4.求導(dǎo)法

解析如圖5所示，A點(diǎn)坐標(biāo)：YA=Lsinθ

B點(diǎn)坐標(biāo)：XB=Lcosθ

對(duì)AB坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間θ求導(dǎo)

表達(dá)式中的符號(hào)表示變化趨勢(shì)相反，不代表大小，故在下面計(jì)算中僅帶入數(shù)值大小.

vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，解決此類速度關(guān)系的優(yōu)勢(shì)非常明顯.此種方法在物理競(jìng)賽中的應(yīng)用非常廣泛.

5.功率法

系統(tǒng)內(nèi)一對(duì)內(nèi)力所做的總功等于力與力方向的相對(duì)位移的乘積，若由無形變的輕質(zhì)桿或繩連接著兩物體，則桿或繩對(duì)兩物體做的總功等于零，即桿或繩對(duì)兩物體做功的功率也等于零.

解析輕桿對(duì)AB兩端點(diǎn)的彈力方向如圖6所示，桿對(duì)AB兩端點(diǎn)的功率之和等于零.

消去F可得：vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)：利用功能關(guān)系分析牽連速度的關(guān)系時(shí)，思路清晰，分析簡(jiǎn)單，不易出錯(cuò)，并且能有效的拓寬學(xué)生的視野.

6.相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

知識(shí)準(zhǔn)備：通常我們選擇地面作為最大的參考系，并認(rèn)為地面是絕對(duì)靜止的，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)奈矬w或點(diǎn)為參考系，能有效地簡(jiǎn)化分析過程.任何物體相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)，稱之為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)于地面的位移和速度分別稱為絕對(duì)位移和絕對(duì)速度，而相對(duì)于非地面的參考系的運(yùn)動(dòng)，稱之為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)于該參考系的位移和速度分別稱為相對(duì)位移和相對(duì)速度，參考系的運(yùn)動(dòng)，我們稱之為牽連運(yùn)動(dòng)，其位移和速度分別稱之為牽連位移和牽連速度.

絕對(duì)位移=相對(duì)位移+牽連位移；s絕=s相+s牽

絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度；v絕=v相+v牽

解析選擇B點(diǎn)為參考系，則A點(diǎn)以B端點(diǎn)為圓心，以桿長(zhǎng)為半徑做圓周運(yùn)動(dòng).

vA=vAB+vB

由速度矢量三角形分析可得，vB=vAtanθ

點(diǎn)評(píng)：在處理運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常以地面為參考系，時(shí)間長(zhǎng)了容易形成慣性思維，只要是運(yùn)動(dòng)學(xué)問題就一定選擇地面為參考系.本解法旨在讓學(xué)生明確，很多復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，換個(gè)思路、換個(gè)參考系，就可能大大的簡(jiǎn)化問題難度，提升解題效率，本解法更有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

綜上所述、通過以上六個(gè)角度的分析，讓學(xué)生能夠比較透徹的理解牽連速度問題，同時(shí)使用多種非基礎(chǔ)解法，有助于拓寬學(xué)生知識(shí)面.