由一道余姚市教師大比武試題引發(fā)的思考

傅 絨 史日能

(1.浙江省余姚市夢麟中學 315400；2.浙江省余姚市第七中學 315400)

本人有幸參加了余姚市第二屆青年教師大比武，該活動意在提高青年教師的教學能力，進一步推進師資隊伍建設.無論是準備過程還是比賽過程都是一種自我的提高與成長，從中可以發(fā)現(xiàn)不足、查漏補缺，收獲頗豐.比如在參加筆試時，第九道選擇題就讓我印象深刻.

一、問題的提出

第9道選擇題是：函數(shù)y=f(x)在點x=x0處取得極大值，則必有( ).

A.f′(x0)=0 B.f″(x0)<0

C.f′(x0)=0且f″(x0)<0 D.f′(x0)=0或不存在

分析如果函數(shù)y=f(x)在x0可導，且在點x=x0處取得極大值，則必有f′(x0)=0；如果函數(shù)y=f(x)在x0不可導，但也有可能在點x=x0處取得極大值，例如函數(shù)y=f(x)=-|x|，由函數(shù)的圖象可知在x=0處不可導，但有極大值.所以該題應選D.

疑惑：函數(shù)的二階導數(shù)與函數(shù)的極值有什么關系呢？

二、問題的解決

人教版選修1-1里對函數(shù)極值的定義是：函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)=0；而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0.類似地，函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其它點的函數(shù)值都大，f′(b)=0；而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0.我們把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.這是用函數(shù)的一階導數(shù)來定義函數(shù)的極值，那么函數(shù)的二階導數(shù)與它的極值又有什么關系呢？下面來研究它們的內(nèi)在聯(lián)系：

假設f″(x0)存在且不為0，x0是函數(shù)y=f(x)的極值點，則f′(x0)=0，由導數(shù)的定義可知：

三、結(jié)論的得出

如果f″(x0)存在且不為0，x0是函數(shù)y=f(x)的極值點，若f″(x0)>0，則點x=x0是函數(shù)的極小值點，函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極小值；若f″(x0)<0，則點x=x0是函數(shù)的極大值點，函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極大值.

四、結(jié)論的應用

那么現(xiàn)在我們又多了一種求函數(shù)極值點的方法，下面我們用這種方法來解決一些常見的極值問題.

(1) 函數(shù)y=(x2-1)3+1的極值點是( ).

A.極大值點x=-1 B.極大值點x=0

C.極小值點x=0 D.極小值點x=1

解y′=3(x2-1)2·2x，令y′=0，得x=±1,0，y″=30x4-36x2+6.∵y″|x=-1=0，y″|x=1=0，y″|x=0=6>0，∴選C.

(3)2010年天津理科21題的第Ⅰ問是：已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.下面來解決這個函數(shù)的極值問題

顯然用以上方法來求極值點與書本上提供的方法要來得簡單方便，但是這種方法也不是萬能的.對于某些復雜函數(shù)，如果出現(xiàn)f″(x0)=0的情況就不適用了，例如函數(shù)f(x)=x4(x-1)3.用函數(shù)的二階導數(shù)來求極值點的方法適用于函數(shù)f″(x0)存在且不為0的時候.

通過對這道題目的思考使我對函數(shù)極值有了更深入與廣泛的了解.正如克萊因所說的：“挑選好一個確定的研究對象，鍥而不舍，你可能永遠達不到終點，但是一路上準可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的東西.”