用球體分割法解決最大平面圖“四色問題”

焦永溢

【摘 要】 最大平面圖就是把整個平面拓?fù)鋱D鋪在一個球面上，并且要使整個球面上形成的多面體的每個面都是三邊形。全是三邊形所組成的球面拓?fù)鋱D，如果要反過來畫在一個平面上，可以把球面上任意一個三邊形拉大到最大一圈（好像地球的赤道），其余的點、線、面就都擠壓到球的另半邊;從球的另半面看過來，就是這個三邊形在整個圖的最外面。

【關(guān)鍵詞】 平面圖;計算證明

最大平面上的任何一個三邊形都可拉大成為最外面的一圈。如果在最大平面圖中間的某個三邊形中又存在一個或多個的點，就是說這個三邊形的外面與里面都是有許多的點。這種情況下仍舊可把這個三邊形拉大到球的最大圈（赤道）上，這個三邊形外面的點與里面的點就分別成了南北半球上的點。如果沿著這三邊形的這一圈線（也就是赤道）把球切成兩半，除了這三條線和三個點分別屬于兩個半球所共有，其他的點和線就南北分開，各不相干。而半球體與球體在拓?fù)渖鲜峭耆粯拥模褪钦f可以把原來的一個球體分割成為各自獨立的兩個球體，接下來分析各點如何著色，就完全是在兩個各不相干的球面上分析了。如果這分開來的球面上又有這種三邊形中包含一個或多個點的現(xiàn)象出現(xiàn)，又可重復(fù)上述操作，把三邊形外的點與內(nèi)的點分割開來，成為各不相干的兩個球，一直能分割到每個球上再沒有這種三邊形內(nèi)外都有點的狀況。這就好比一個芋頭上長出一個甚至多個芋子來，可以把這些芋子掰下來單獨成為球體來看待，芋子上如再長出芋孫，也可把芋孫掰下來單獨成為一球體;子球可以大于母球，所以各球之間不分母子，更可以看成是連體兒，把各球分割開來好比是給連體兒做分離手術(shù)。

其實除了三邊形內(nèi)外都有一個或多個點的情況，一邊形（就是只有一個點，比如地球上的海洋）分別包圍一個或多個點（比如地球上各個島和陸地）的情況;還有二邊形（就是二個點相互有二條連線）內(nèi)外分別包含一點或許多點的情況。這兩種情況也可用與上面相同的方法，沿這個點或二邊分割成兩個各自獨立的球。

前一種海洋與每塊陸地或島嶼可單獨成為一個球體，每個球體上的海洋這一點是共同擁有的，合在一起時就相當(dāng)于若干個子球與母球都是點接觸，分割開來后除了這一點是共同點，其余各球之間的點都是互不相干的。這個分割手術(shù)后只留下一點作為創(chuàng)口，可以忽略不計。

后一種沿二邊形分割后，屬于兩球共有的這二個點二條線中間是沒有點了，可把這二條邊看為一條，這個子球與母球合在一起時只是二點二線一面接觸，而分開后二線可合為一線，一個面也就消失。這個分割手術(shù)后只留下一條線作為創(chuàng)口，也是可以忽略不計的。

沿三邊形分割球體，分割后屬于兩球共有的是這三個點、三條線和一個三邊形，這兩球體之間就是以這個三邊形為接觸面的面接觸，這三邊形也就是這個分割手術(shù)后留下的創(chuàng)口。這個三邊形的小創(chuàng)口已經(jīng)是最小的創(chuàng)口了，整個球面上全是三邊形，全是這樣的最小創(chuàng)口，這最小的創(chuàng)口存在與否，不會影響整個圖的性質(zhì)，也是等于沒有創(chuàng)口。規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的最大平面圖，就是全圖全由三邊形組成，并且再沒有三邊形中還有點的情況，因為一旦有這種情況，又要沿這三邊形分割了。

能不能把大于三邊的一圈當(dāng)赤道來分割成兩個半球呢？只要分割后在兩個各自的球面上把這個多邊形的創(chuàng)口作適當(dāng)?shù)奶幚?，同樣也是行得通的。那么下面就來說一下這個多邊形的創(chuàng)口該如何處理。

為了避免分割切口周圍的點之間有連線（就是我在用“減少法”證明“四色問題”時所說的“短路現(xiàn)象”），必須遵循一個原則，要先處理全圖中度數(shù)小的點。圖論里已經(jīng)有一個定理：最大平面圖中度數(shù)最小的點，一定是等于或小于五度的。上面的球體分割法已經(jīng)把一度、二度、三度的點都當(dāng)小芋子切割下來了，這樣就只要分析四度和五度的點該如何切下并處理創(chuàng)口就行了。

對于四度的點，如果沿著包圍它的一圈當(dāng)赤道切割下來，兩半球的接合面就會形成四邊形的一個創(chuàng)口。如果用中間加一點，再與四邊形四個頂點畫連線的方法處理這個創(chuàng)口，割下小的子球等于四棱錐的底面中加一點再與面上的四個點畫連線，就成了一個六個點（每點都是四度）、十二條線、八個面的多面體。而分割后的母球的創(chuàng)口處理后仍舊成了原樣，等于白白切割了這一刀。所以在處理這個四邊形的創(chuàng)口時不能這么操作，而是應(yīng)該以其中一條對角線為對稱軸，把對稱軸兩邊所對應(yīng)的點和線合并到一起（其實就是我的“減少法”中的合并方法），只要這四邊形的四點間沒有短路現(xiàn)象，就可以這么操作。這樣處理創(chuàng)口后，割下來的子球就成了這面兩個相鄰的三邊形、反面也兩個相鄰的三邊形的扁平四方片。而割下來的母球上，創(chuàng)口上的點和線合并后，這沒合并的對稱軸兩端的這兩點的度數(shù)都是減少了二度（見圖1左邊A點和C點），下一步就可以再繼續(xù)找球面上度數(shù)少的點進(jìn)行這樣的操作。兩個球的共同部分（切割后的創(chuàng)口）從四個點、四條線合并成了三個點A、B（D）、C和二條線AB（D）、B（D）C。兩球上只要A、B（D）、C這三點著色時對應(yīng)相同，其他各個球上的點就可各自處理了。

對于五度的點，如果也沿著包圍它的一圈切割下來，兩個半球的接合面就會形成五邊形的一個創(chuàng)口。如果也用中間加一點，再與五邊形五個頂點畫連線的方法，同樣也是白白切割了這一刀。這時也需要用我的“減少法”中的合并方法來合并周圍的點，因為周圍的點是奇數(shù)，不可能完全把對稱的點合并，還要剩下一個三邊形，只要這五邊形外圍的點之間沒有短路現(xiàn)象，也可以這樣操作的（圖1的右邊）。這樣處理創(chuàng)口后，割下來的子球就成了一個三棱錐，再在一條棱上長一個三邊形的薄片，仿佛背上長鰭的一條魚。而割下來的母球上，創(chuàng)口上的點和線合并處理后，沒合并的三個點A、C、D度數(shù)都是減少的，下一步又可以繼續(xù)在球面上找度數(shù)少的點進(jìn)行這樣的操作。兩個球的共同部分（創(chuàng)口）從五個點、五條線合并成了一個三邊形B（E）CD再加上一個點A和一條線AB（E）。兩球上只要這三邊形的B（E）、C、D這三個點及外加的A點著色時對應(yīng)相同，其他各個球上的點也可以各自處理了。

上面的這兩種合并的方法就如在連體兒分離切割手術(shù)后對創(chuàng)口的縫合，還有一種更加簡單的操作不用這樣的縫合，而是在多邊形的創(chuàng)口上采用另一種扇形分割法。如圖2所示，在把這個球面上的多邊形分割為三邊形時，不是用前面的中間加一點，再向周圍各點畫連線（仿佛中心點向外放射光芒狀）的方法，而是從其邊上的一個點A向其余各點畫連線（仿佛展開的折扇狀）的方法。這種折扇形分割法，把多邊形分割成三邊形時，球面上點數(shù)沒有合并減少，但線數(shù)是減少的（這個射線出發(fā)點兩旁的點B和F不用畫連線，度數(shù)一定比分割前要?。７指铋_來的兩球多邊形創(chuàng)口上，都對應(yīng)地這樣做創(chuàng)口處理，這個射線出發(fā)點A用一種顏色，其余B、C、D、E、F各點依次用第二和第三種顏色（周圍點數(shù)是偶數(shù)時A點可與C、E同色只要二種顏色就夠了）。用這種處理方法，兩球分割開來的共同多邊形，就變成了連在一起的幾個三邊形，只要這幾個共有的三邊形上的對應(yīng)點著色相同，兩球上其余互不相干的各點就可以在各自的球上自行處理。做好了以上這一步后，又可在球面上找度數(shù)最少的點進(jìn)行這樣的切割操作。

通過以上的分析，不但點接觸、線接觸以及三邊形面接觸的兩球體可分開來分析，有著更大的共同多邊形相連的兩個球也可分割，就是說不一定從葫蘆形細(xì)小的地方來分割，可以從任何一個圈切開來，就連原來沒有明顯葫蘆狀的任何球的變形體，前提只要是連線能圍成圈，并且這圈上的點之間沒有短路現(xiàn)象，就可沿著這一圈線切割下來。這樣切割后，只要兩個球切割面多邊形上的對應(yīng)的點，作相同的劃分成三邊形處理，一直是可以一步步切割下去的，直到每一小塊上的點數(shù)少于等于四為止。就像一個芋頭上的大小芋子可以切割下來，每一個芋子上的芋孫也可以切割下來，并且在每個單獨的球體（芋頭或芋子、芋孫）上還可以下刀切割（前提是切口多邊形的周圍點之間沒有短路，切下后兩個球體上的創(chuàng)口要作對應(yīng)相同的最大化（也就是多邊形分割成三邊形處理），就如把大的芋頭或芋子、芋孫再切為幾塊，一直切到每一小塊上的點只剩四點和四點以下，這樣每一塊都是四種顏色夠了。反過來操作，把每一塊著四色的碎芋塊（包括分割開來的芋子及碎塊），拼合起來就能成為大的芋頭和芋子的結(jié)合體。每個小塊四色足夠了，整個拼起來的球面體也就四色足夠了。這個結(jié)論就是任何復(fù)雜的球形多面體，都可由許多塊四點及四點以下的多面體拼合組成，而每一小塊的點只要四種或四種以下顏色組成，整個合成后也是只用四種顏色就夠了。也就是說，我最早寫的《關(guān)于“四色問題”的證明》和《徹底解決“四色問題”》兩篇文章中的分析是對的，任何復(fù)雜的最大平面圖，都是由許許多多的三邊形及三點包圍一點圖形所組成。