注重直觀想象引領(lǐng)深化溯源解法探究落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

◇ 江西 章建榮 劉 臻

史寧中教授曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)是讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”用簡潔的三句話深刻闡述了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng).史寧中教授還提出數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)于三大類：抽象思想、推理思想與模型思想.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出著力發(fā)展核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算就是六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)算法法則準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).從運(yùn)算求解能力到數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是對數(shù)學(xué)運(yùn)算的進(jìn)一步完善與升華.

考試大綱對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力進(jìn)行了明確的闡述，運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等.運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙再調(diào)整運(yùn)算的能力.

解析幾何的考查中，要求學(xué)生建立標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，解決問題.考查內(nèi)容聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，融入數(shù)學(xué)文化.

解析幾何是數(shù)學(xué)的重要分支，解析幾何問題常常涉及多個知識點(diǎn)，對學(xué)生能力要求較高，很多學(xué)生在考試中得分不理想.筆者結(jié)合一道典型例題的根源與解法探究，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)

題目已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，焦距為4，過點(diǎn)F 的直線l與橢圓E 相交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn)A 關(guān)于原點(diǎn)O 的對稱點(diǎn)為C，當(dāng)l 的斜率存在時，直線AB 和BC 的斜率之積為.

(1)求橢圓E 的方程；

(2)求△OBC 的面積的最大值.

命題意圖本題主要考查橢圓的“第三定義”、橢圓的對稱性、直線與橢圓的位置關(guān)系、焦點(diǎn)弦、二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 回歸教材

教材是高考試題命制的出發(fā)點(diǎn)和根源，命題人匠心獨(dú)具的重要體現(xiàn)就是最終以教材為命題的依歸，所以該試題的命制也依托于教材.

1)北師大版高中數(shù)學(xué)《選修2－1》70頁第8題和91頁圓的壓縮

△ABC 的兩個頂點(diǎn)A，B 的坐標(biāo)分別為(－6，0)，(6，0)，邊AC，BC 所在直線的斜率之積為，求頂點(diǎn)C 的軌跡方程，并畫出草圖.

2)人教A 版《選修2－1》第41頁例2以及第50頁B 組第1題

在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P 作x 軸的垂線段PD，D 為垂足，當(dāng)點(diǎn)P 在圓上運(yùn)動時，線段PD 的中點(diǎn)M 的軌跡是什么? 為什么?

通過對上述教材中的問題進(jìn)行分析與探究，發(fā)現(xiàn)可以將橢圓通過仿射變換得到圓.由于圓具有許多優(yōu)美又簡潔的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美、嚴(yán)謹(jǐn)美、對稱美、和諧美，故橢圓中也具有類似的性質(zhì).換句話說，與橢圓相關(guān)的問題由仿射變換可以將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，結(jié)合圓的性質(zhì)求解問題可以大大降低運(yùn)算量，節(jié)省運(yùn)算時間，也在一定程度上拓寬了研究問題的視野.

3 尋根探源

“前車之鑒，后事之師.”借鑒歷年真題可以給予我們很多啟迪.高考試題來源于教材且高于教材，很多高考試題的背后，都凝聚了命題者的艱辛與心智.調(diào)研考試試題命制的靈感就是在歷年真題的體會和研究中產(chǎn)生的.

題目(2015 年全國卷Ⅱ理20)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點(diǎn)O 且不平行于坐標(biāo)軸，l與C 有兩個不同的交點(diǎn)A，B，線段AB 的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線OM 的斜率與直線l 的斜率的乘積為定值；

命題意圖本題主要考查與橢圓弦的中點(diǎn)有關(guān)的結(jié)論、定值、橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).試題的第(2)問是個開放問題，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決開放性問題的策略與經(jīng)驗(yàn).

如圖1，通過幾何畫板探究，發(fā)現(xiàn)直線OM 的斜率與直線AB 的斜率的乘積為定值.

圖1

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，則x1＋x2＝2xM，y1＋y2＝2yM，對于橢圓而言，由于A，B 兩點(diǎn)在橢圓上，則即，可以推導(dǎo)出

圖2

設(shè)直線l：y＝kx＋b(k ≠0，b ≠0)，A(x1，y1)，B (x2，y2)，M(xM，yM)，仿 照 上 述 推 導(dǎo)過程易知kABkOM＝－9.

圖3

4 解法探究

圖4

解法1令B(x1，y1)，C(x2，y2)，則A(－x2，－y2)，

當(dāng)直線AB 的斜率存在時，設(shè)直線BC：y＝kx＋m(k≠0)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以x1＋x2＝所以，所以

又因?yàn)辄c(diǎn)(0，0)到直線y＝kx＋m 的距離為d＝

解法2令A(yù)(x1，y1)，B (x2，y2)，則C (－x1，－y1).

當(dāng)直線AB 的斜率不存在時，則BC 的斜率為0，此時S△OBC＝.

圖5

當(dāng)直線AB 的斜率存在時，設(shè)直線AB：y＝k(x－2)，由得

所以S△OBC的最大值為.

該解法采用化歸轉(zhuǎn)化思想，因?yàn)椤鱋BC 的面積與△OAB 的面積相等，故可以將△OBC 的面積轉(zhuǎn)化為△OAB 的面積求解，根據(jù)分割法可 知，S△OAB＝S△OFB＋S△OFA＝×|OF|·|y1－y2|，得出面積的求解形式后，利用比較判斷，最大值在斜率不存在時取到.

解法3學(xué)生使用基本不等式求解最值的方法，如果對基本不等式的理解比較薄弱，則我們還可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

所以S△OBC的最大值為.

解 法4令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－x1，－y1)，設(shè)直 線AB：x ＝ty ＋2，由可 得(t2＋2)·y2＋4ty－4＝0，所以

圖6

當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時，即直線AB 垂直于x 軸時，△OBC面積取得最大值.

設(shè) 直 線 方 程 為x ＝ty ＋2，利 用S△OAB＝S△OFB＋S△OFA＝|OF|·|y1－y2|求解面積，得出面積的求解形式后，利用基本不等式求解.

解法5由解法4知.由三角形面積向量公式，知

當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時，即直線AB 垂直于x 軸時，△OBC面積取得最大值.

圖7

解法6如圖7所示，由橢圓的第二定義可知|AF2|＝a＋ex1，|BF2|＝a＋ex2，推導(dǎo)得出|AB|＝設(shè)直線AB 的傾斜角為θ，所以得所以當(dāng)且僅當(dāng)sinθ＝1 時，即直線AB 垂直x 軸時，△OBC 面積取得最大值.

解法7構(gòu)造仿射變換，則橢圓＋轉(zhuǎn)化為x′2＋y′2＝8，如圖9所示，則S△OAB＝，欲求S△OAB的面積，只需要求解S△OA′B′的面積即可，設(shè)直線A′B′的方程為x′＝my′＋2，所以，所以

當(dāng)且僅當(dāng)m ＝0 時，即直線A′B′垂直于x 軸時，△OA′B′面積取得最大值即S△OBCmax＝.

圖8

圖9

該解法利用仿射變換將橢圓的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓中的相關(guān)問題，使問題變得簡單，優(yōu)化計算，節(jié)約時間.

試題求解的過程中都繞不開迅速且準(zhǔn)確地找到運(yùn)算對象、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、準(zhǔn)確求解運(yùn)算結(jié)果，然而高中教師普遍認(rèn)為應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，而忽視了對學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生在解題時出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的現(xiàn)象.因此，教師要轉(zhuǎn)變觀念，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算對象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思路的探究、運(yùn)算方法的選擇和運(yùn)算背景的變換等入手，合理設(shè)計運(yùn)算教學(xué)，將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)落實(shí)到每節(jié)課，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).