例說“一題多解”
——一道彈性碰撞問題的思考

◇ 山東 屈 濤

提高解題的速度，方法的選擇尤為重要.選擇合適的解題方法不僅可以避免復雜的計算，還可以在考試中為其他題目爭取更多的解題時間，而方法的合理選取還要靠平時的積累.通過一題多解，可以拓展學生發(fā)散性思維，優(yōu)化解題思路，從多解中尋求靈活、簡捷、巧妙的解法，使學生的思維得到最大限度的發(fā)展，有利于學生積累解題的經(jīng)驗.本文通過一道碰撞問題的3種解法進行相關討論.

1 問題的來源

A.25m·s－1B.20m·s－1

C.15m·s－1D.5m·s－1

本題是一道以體育運動為背景的彈性碰撞問題，文字敘述清晰，問題情境簡單，求解的基本思路是動量守恒定律和機械能守恒定律.這種方法是學生最容易想到的方法，但方程的處理較為煩瑣，數(shù)學基礎薄弱的學生很容易出錯，換一個角度來審視，也許會“柳暗花明”.

下面我們就從最基本的解法入手，以不同的角度，逐步尋找求解本題的其他解法，以期在分析比較中優(yōu)化解題思路，提高解題效率.

2 分析問題的3種方法

方法1基本方法

以地面為參考系，設羽毛球的質(zhì)量為m1，碰前的速度為v01，碰后的速度為v1，球拍的質(zhì)量為m2，碰前的速度為v02，碰后的速度為v2，根據(jù)動量守恒定律有m1v01＋m2v02＝m1v1＋m2v2.根據(jù)機械能守恒定律有，解得

由于球拍的質(zhì)量遠大于羽毛球的質(zhì)量，則羽毛球的質(zhì)量可以忽略不計，故有v1＝－v01＋2v02，考慮矢量性，代入數(shù)值解得v1＝25m·s－1，選項A 正確.

此種解法是利用彈性碰撞的動量守恒和機械能守恒的規(guī)律聯(lián)立方程求解，是一種最基本的方法，不足之處是計算量大，耗費時間長，容易出錯.

方法2轉換參考系

當v02＝0時，即運動物體與靜止物體發(fā)生彈性碰撞，碰后的速度為這個是我們熟悉的“一動撞一靜”模型，若m1＝m2，則發(fā)生速度交換，若m1?m2，則等速率反彈.

從相對運動的角度分析，以球拍為參考系，羽毛球速度為15 m·s－1.由于球拍質(zhì)量遠大于羽毛球質(zhì)量，利用彈性碰撞“一動撞一靜”規(guī)律，羽毛球會等速率(相對于球拍)反彈回來，速率仍然為15 m·s－1，故羽毛球反彈速度大小(相對地面)為25m·s－1，A正確.

此種解法通過合理轉化參考系，把“一動撞一動”模型轉換成了“一動撞一靜”的碰撞模型，充分利用了“一動撞一靜”的碰撞規(guī)律，從而使問題的解決方便快捷，僅用口算即可，避免了煩瑣的計算.

方法3巧用恢復系數(shù)

本題規(guī)定球拍速度方向為正方向，則羽毛球與球拍的接近速度為v01－v02＝－5m·s－1－10m·s－1＝－15m·s－1，分離速度v2－v1＝10m·s－1－v1.二者發(fā)生的是彈性碰撞，則，即－15 m·s－1＝10m·s－1－v1，解得v1＝25m·s－1，選項A 正確.

此種解法需要知道恢復系數(shù)這個概念，當發(fā)生完全彈性碰撞時，e＝1，即接近速度等于遠離速度，這樣也能較為迅速地得出結果.

一題多解有助于學生對相關知識點進行有效聯(lián)系，同時使學生在多種方法的分析與比較中，學會思考，優(yōu)化解題思路，掌握分析、解決問題的方法.