常見(jiàn)函數(shù)不等式證明問(wèn)題解法研究

◇ 廣東 鐘琴玲

函數(shù)不等式證明問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，它涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等組合成的函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)，滲透數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).函數(shù)不等式的證明多與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，還涉及構(gòu)造新的函數(shù)，以及抽象出一些不能準(zhǔn)確計(jì)算的數(shù)據(jù)，滲透化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求較高.這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中要多向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生深入理解知識(shí)之間的共性以及數(shù)學(xué)中的通性通法，為綜合應(yīng)用知識(shí)打下基礎(chǔ).

1 構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)、求最值證明

在解決證明不等式成立問(wèn)題時(shí)，一種重要的方法就是構(gòu)造函數(shù)，然后通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值，通過(guò)判斷函數(shù)的最值與某個(gè)定值的大小關(guān)系，從而證明不等式成立.有些題目可能比較復(fù)雜，需要多次構(gòu)造函數(shù)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：

(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時(shí)f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減.

若a＞2，令f′(x)＝0，得

(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1.由于

第(1)問(wèn)討論函數(shù)的單調(diào)性是為第(2)問(wèn)作鋪墊，由第(1)問(wèn)的判斷可將a 的范圍縮小在(2，＋∞)內(nèi).第(2)問(wèn)證明不等式成立，充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，先將原不等式的證明等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明另一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的不等式，再構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而使不等式得證.解題時(shí)，要時(shí)刻關(guān)注第(1)問(wèn)對(duì)第(2)問(wèn)的影響，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的思路要明確.構(gòu)造函數(shù)時(shí)應(yīng)注意盡量避免構(gòu)造分式函數(shù)，若第一思路是構(gòu)造分式函數(shù)，則應(yīng)思考能否將其轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)，因?yàn)榉质胶瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)一般會(huì)比整式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)雜.解決此題必須具備很強(qiáng)的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

當(dāng)m≤2，x∈(－m，＋∞)且ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＞0.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋2)，f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)單調(diào)遞增，又f′(－1)＝－1＜0，f′(0)＝＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一實(shí)根x0，且x0∈(－1，0).當(dāng)x∈(－2，x0)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)，f′(x)＞0，從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值.由得，故

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)＞0.

本題先通過(guò)放縮，將含參量的不等式證明轉(zhuǎn)化為不含參量的不等式證明，然后通過(guò)求最值，判斷函數(shù)的最小值大于0，從而證得結(jié)論.將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非參數(shù)問(wèn)題，大大降低了難度，是解題的一種非常重要的思路.

2 構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性定義證明

在證明函數(shù)不等式時(shí)，有時(shí)需要轉(zhuǎn)化思想，即在證明兩個(gè)自變量的大小關(guān)系時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)值的大小關(guān)系，或者在證明兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)自變量的大小關(guān)系，而這種轉(zhuǎn)化的橋梁主要是函數(shù)的單調(diào)性定義.

(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；

由已知可得f(x1)＝f(x2)＝0，不難發(fā)現(xiàn)x1≠1，x2≠1，不妨設(shè)x1＜x2，故可整理得

要證x1＋x2＜2等價(jià)于證x1＜2－x2，由x1＜1＜x2，可知2－x2＜1，g(x1)－g(2－x2)＝g(x2)－.令h(x)＝(x－2)ex＋xe2－x，h′(x)＝(x－1)ex＋(1－x)e2－x＝(x－1)(exe2－x).

當(dāng)x＞1，即x＞2－x 時(shí)，h′(x)＞0，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，h(1)＝(1－2)e＋e＝0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，h(x)＞0，所以h(x2)＞0，從而g(x1)＞g(2－x2)，故x1＜2－x2，即x1＋x2＜2.

此題是將待證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為x1＜2－x2，將x1，2－x2看成兩個(gè)自變量，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)，先判斷函數(shù)值g(x1)，g(2－x2)的關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，證得結(jié)論.

3 將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)比較大小

將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)比較大小，用其中一個(gè)函數(shù)的最小值與另一個(gè)函數(shù)最大值進(jìn)行比較，從而證明函數(shù)不等式成立.

(1)求a，b；

(2)證明：f(x)＞1.

設(shè)函數(shù)g(x)＝xlnx，則g′(x)＝1＋lnx，所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故g(x)在()單調(diào)遞減，在，＋∞)單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值g()＝.設(shè)函數(shù)，則h′(x)＝e－x(1－x)，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)＞0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，故h(x)在(0，1)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)的最大值為

綜上，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.

此題若采用構(gòu)造函數(shù)求最值的方法很難獲解，而采取將證明待證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明g(x)＞h(x)，分別求函數(shù)g(x)的最小值和函數(shù)h(x)的最大值，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到函數(shù)g(x)的最小值與函數(shù)h(x)的最大值相等，但兩個(gè)函數(shù)取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量不相等，從而當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞h(x)，證得原不等式成立.

函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想與方法，在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的，解題時(shí)常把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)等.

函數(shù)不等式證明問(wèn)題涉及知識(shí)面廣，如求函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性與最值等，有時(shí)還不能直接求出函數(shù)最值，需要進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，判斷最值的大小，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.解題方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，計(jì)算強(qiáng)度大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.本文介紹的3種方法是比較常用的，但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ?，因此在備考的各個(gè)階段都應(yīng)重視函數(shù)不等式證明問(wèn)題的教與學(xué)，提高學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力.