含時變延遲且控制方向未知的自適應迭代學習

夏元天,周菊香,徐天偉

(云南師范大學 民族教育信息化教育部重點實驗室,昆明 650000)

0 概述

自動化系統(tǒng)在建模和實際應用過程中存在不確定性和不精確性的問題,使用傳統(tǒng)的PID控制、最優(yōu)控制等技術難以解決上述難題。迭代學習控制(Iterative Learning Control,ILC)[1-3]和重復控制(Repeat Control,RC)[4-5]很早被提出且得到了很好的發(fā)展。ILC作為一種克服傳統(tǒng)控制設計局限性的有效控制技術[6-7],其善于在有限的時間間隔內處理重復的控制任務。文獻[1-3]提出一種新的ILC方法用來補償基于收縮映射的ILC。文獻[8]針對一類具有延遲性能的線性系統(tǒng)提出一種ILC協(xié)議。文獻[9]提出一種基于PID-type的ILC算法?？偟膩碚f,ILC以其良好的全時間間隔軌跡跟蹤性能已廣泛用于各類控制領域。

受控系統(tǒng)的時延效應會降低系統(tǒng)性能,甚至會導致系統(tǒng)癱瘓。文獻[10]引入分離技術,用以解決時延效應帶來的影響。文獻[11]為了解決一類不確定非仿射非線性時變時滯系統(tǒng)的自適應控制問題,提出一種新的拉祖米欽-努斯鮑姆引理。文獻[12]通過引入飽和函數(shù),構造出一種新的ILC機制。文獻[13]針對不確定非線性時變時滯系統(tǒng)中存在的非仿射非線性故障問題,提出一種基于模糊逼近的自適應容錯跟蹤控制方法。文獻[14]利用神經逼近技術和努斯鮑姆函數(shù)法設計一種自適應ILC方案。文獻[15]提出一種自適應迭代學習控制(AILC)方案,用以解決一類具有未知時變延遲和輸入飽和的非線性參數(shù)化系統(tǒng)。文獻[16]針對一類具有未知時變參數(shù)和時變時滯的非線性系統(tǒng),通過參數(shù)分離技術并結合信號替換機制,提出了一種新的AILC方法。

控制方向在系統(tǒng)的設計過程中起著關鍵性的作用。Nussbaum增益技術則是解決控制方向未知問題的一種常用方法[17-18]。文獻[19]提出一種跟蹤周期軌跡的連續(xù)通用重復學習控制方法。文獻[20]將Nussbaum增益技術引入至Backstepping方法中,以解決控制方向未知的船舶航向系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能控制問題。文獻[21]采用參數(shù)分離技術和信號置換思想來處理系統(tǒng)中出現(xiàn)的時滯項,利用Nussbaum增益技術解決未知控制方向等問題。文獻[22]提出一種數(shù)據(jù)驅動的約束范數(shù)最優(yōu)迭代學習控制框架,用以解決跟蹤問題和點對點運動問題。文獻[23]提出一種基于倒推和DSC相結合的自適應徑向基函數(shù)神經網絡控制方法。文獻[24]通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決控制方向未知的問題。文獻[25]提出一種新的基于截斷的調節(jié)方法,使算法能夠自適應地找到正確的控制方向。文獻[26]提出一種基于障礙Lyapunov函數(shù)的反步自適應控制方法,首次解決了控制方向未知的全狀態(tài)約束非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題。文獻[27]在不使用努斯鮑姆增益的情況下,提出一種求解離散系統(tǒng)未知控制方向問題的新方法。文獻[28]提出一種魯棒自適應迭代學習控制算法。

本文在上述研究的基礎上進行改進,設計一種新的自適應迭代學習策略。利用微分-差分耦合型參數(shù)自適應律解決了雙線型參數(shù)中存在的時變和時不變類型的問題。使用局部的李普希茨連續(xù)條件,使得非參數(shù)化得到了良好的處理。將Nussbaum技術與ILC方法相結合,解決了系統(tǒng)中存在的控制方向未知問題?；谛盘柼鎿Q思想和參數(shù)重組技術,將具有時延的所有項組合成新的時變參數(shù),使得時變延遲問題得到了解決。

1 問題描述

本文設計的自適應迭代學習策略可表示為:

(1)

其中,t∈[0,T],T>0且為已知常數(shù),xi(t)∈R為系統(tǒng)狀態(tài),ui(t)∈R為控制輸入,?(t)∈R為隨時間變化的連續(xù)型參數(shù)且未知,θ∈R是與時間變化無關的連續(xù)型參數(shù)且未知,并假設其大于零。ξ(xi,t)為非線性連續(xù)函數(shù)且已知,f(,)是未知連續(xù)函數(shù),g(xi,t)為未知的非線性函數(shù),滿足局部Lipschitz連續(xù),τ(t)∈C[0,T]為未知時變延遲,且滿足τ(t)≤τmax,?t∈[0,T],τmax為已知常數(shù),i∈Z+為迭代次數(shù),v(t)給出了起始條件且為已知的連續(xù)型函數(shù),b(t)≠0為時變參數(shù)且未知,控制方向由其正負決定。

假設2f(,)滿足李普希茨連續(xù)條件,即:

|f(xi(t-τ(t)),t)-f(xd(t-τ(t)),t)|≤

l(|xi(t-τ(t))-xd(t-τ(t))|)

其中,l為未知的李普希茨常數(shù)。

假設3xi(0)=xi-1(T),xd(0)=xd(T)。

假設4系統(tǒng)1滿足xi(t)=xd(t),t∈[-τmax,0],顯然ei(t)=0,t∈[-τmax,0],?i∈Z+。

假設5g(x,t)是未知非線性函數(shù)且滿足李普希茨連續(xù)條件,即:

定義1v(·)為Nussbaum函數(shù),且滿足以下條件:

(2)

引理1v(·)和k(·)在[0,tf]上為光滑函數(shù),?t∈[0,tf],V(t)≥0,b(t)在B=[b-,b+],0?B內取值。若式(3)成立:

(3)

2 自適應迭代學習控制設計

下式為ei的k次迭代方程:

b(t)ui(t)+g(xi,t)+f(xd(t-τ(t)),t)-

f(xd(t-τ(t)),t)]=?(t)ξ(xi,t)θ+

b(t)ui(t)+g(xi,t)+φ(t)+Λi

(4)

由假設2可知,Λi滿足以下條件:

|Λi|≤l(|xi(t-τ(t))-xd(t-τ(t))|)≤

l(|ei(t-τ(t))|)

(5)

針對系統(tǒng)1設計一個處理時變時延遲的李雅普諾夫函數(shù),具體如下所示:

(6)

由式(6)給出Lyapunov函數(shù)的導數(shù)如下所示:

(7)

將式(4)代入式(7)可得:

(8)

由式(5)可得:

eiΛi≤|ei||Λi|≤l|ei||ei(t-τ(t))|

(9)

(10)

將式(10)代入式(8)可得:

ei[?(t)ξ(xi,t)θ+b(t)ui(t)+g(xi,t)-

ei[?(t)ξ(xi,t)θ+b(t)ui(t)+g(xd,t)+φ(t)+

(11)

由假設5得到:

(12)

將式(12)代入式(11)中,得到:

(13)

第i次迭代的控制律為:

(14)

?(t)的學習律為:

(15)

θ的學習律為:

(16)

L的學習律為:

(17)

(18)

(19)

(20)

3 收斂性分析

定理1系統(tǒng)(1)在假設1～假設5、學習控制律式(14)以及參數(shù)學習律式(15)～式(17)下,保證了:

2)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界。

證明構造的Lyapunov泛函為:

(21)

對任意t∈[0,T],V(t)在區(qū)間[0,T] 上的差分為:

ΔV(t)=(V1,i(t)-V1,i-1(t))+

(22)

根據(jù)式(4)和式(14)計算式(22)右邊第1項可得:

α(xi,xd,t)ei(t)]dσ+V1,i(0)-V1,i-1(t)=

V1,i(0)-V1,i-1(t)

(23)

(24)

根據(jù)參數(shù)學習律式(16),計算式(22)右邊第4項可得:

(25)

根據(jù)式(17),計算式(22)右邊第5項可得:

(26)

將式(23)～式(26)分別代入式(22)可得:

(27)

(28)

重復利用式(28)可以得到:

(29)

(30)

進一步得到Vi(t)的倒數(shù)為:

(31)

表示E(t+(i-1)T)=Vi(t)。對?t∈[0,T],由式(29)～式(31)可得:

(32)

當i→,可以得到:

(33)

下面證明V0(T)的有界性。

對任意?t∈[0,T],V0(t)的倒數(shù)為:

(34)

對式(34)兩端從0到T進行積分可得:

(35)

(36)

?(t)在[0,T]上是連續(xù)型函數(shù),因此?(t)在[0,T]上為有界函數(shù),綜合已知條件得,存在M1,M2,M3,M4使下式成立:

(37)

將式(37)代入式(36)可得:

V0(0)=M1+M2+M3+M4<

(38)

證明結束。

4 實例仿真

不確定系統(tǒng):

目標軌線:

xd(t)=cost

在仿真實驗中取:t∈[0,2π],η=0.5,c=0.5,q1=0.5,q2=0.4,q3=0.5

1)當b(t)>0時,取b(t)=5+0.2sin(πt)。通過仿真實驗得出系統(tǒng)中各參數(shù)的迭代曲線圖如圖1～圖6所示。

圖1 最大跟蹤誤差|ei|sup變化曲線1

圖2 Nussbaum型函數(shù)v(·)變化曲線1

圖3 時變參數(shù)?(t)的變化曲線1

圖4 時不變參數(shù)θ的變化曲線1

圖5 時不變參數(shù)L的變化曲線1

圖6 控制器ui(t)的變化曲線1

2)當b(t)<0時,取b(t)=-(5+0.2sin(πt))。通過實驗仿真,得出系統(tǒng)中各參數(shù)的迭代曲線圖如圖7～圖12所示。

圖7 最大跟蹤誤差|ei|sup的變化曲線2

圖8 Nussbaum型函數(shù)v(·)的變化曲線2

圖9 時變參數(shù)?(t)的變化曲線2

圖10 時不變參數(shù)θ的變化曲線2

圖11 時不變參數(shù)L的變化曲線2

圖12 控制器ui(t)的變化曲線2

從圖1～圖12可以看出,本文設計的非線性系統(tǒng)在迭代次數(shù)小于20次的情況下,系統(tǒng)的最大跟蹤誤差和Nussbaum型函數(shù)已經開始收斂于0。根據(jù)文獻[29]設計的非線性系統(tǒng)以及提供的仿真結果表明,在方向為非時變常參數(shù)且不包含時變延遲的情況下,其系統(tǒng)最大跟蹤誤差以及Nussbaum型函數(shù)在迭代次數(shù)120次以上才開始趨于收斂于0。通過與文獻[29]比較可得出,在時變未知控制方向和含有時變延遲的雙重不確定條件下,本文設計的系統(tǒng)依然能夠以較少的迭代次數(shù)以及較高的執(zhí)行效率運行,也說明了本文系統(tǒng)在時效上的優(yōu)越性和可行性。

5 結束語

本文針對控制方向未知且含有非線性延遲及參數(shù)和非參數(shù)化的不確定性系統(tǒng)進行了深入分析。利用Nussbaum函數(shù)和通過導入差分耦合型更新定律,并結合Lyapunov函數(shù)給出系統(tǒng)收斂的充分條件,設計出全新的自適應迭代方案,使跟蹤誤差最終收斂于0,并證明各信號的有界性。仿真結果證明了本文設計的合理性以及結果的可行性。

通過以上理論推導和實驗仿真結果說明本文設計的自適應迭代學習策略在一階系統(tǒng)中的有效性。在下一步研究工作中,可以考慮將其應用到二階或高階的非線性不確定系統(tǒng)中,通過與其他相關技術相結合,用以解決未知控制方向和時變延遲對高階不確定系統(tǒng)產生的影響。