向量及其應(yīng)用

徐宇濤　楊付貴

摘? 要：通過分析和考察了起源于力與速度的平行四邊形法則的向量理論。發(fā)現(xiàn)了在19世紀(jì)上半葉，向量的研究與物理力學(xué)緊密地聯(lián)系在一起。當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家雖有使用向量，但并沒有完全意識到向量思維在物理中的重要性，也沒有將其抽象成數(shù)學(xué)對象進(jìn)行深入研究。

通過對一些有關(guān)向量的著作，來證明向量在物理和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的作用。最重要的是促進(jìn)了各國學(xué)者對向量的研究并以此思想去促進(jìn)物理學(xué)科的進(jìn)步（尤其在電磁領(lǐng)域）。

關(guān)鍵詞：向量;物理;平行四邊形法則

向量的發(fā)展來源于物理學(xué)，最初的向量為物理所使用，很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng) 向量度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。隨著時(shí)間的發(fā)展，向量的使用也從物理學(xué)發(fā)展到數(shù)學(xué)之上，18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a+bi（a，b為有理數(shù)，且不同時(shí)等于0），人們便利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算。以復(fù)數(shù)作為起點(diǎn)，向量就漸漸融入到數(shù)學(xué)的海洋中。但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系。19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量.他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)。隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析。

綜上所言，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或物理領(lǐng)域中向量能分為平面向量（定義：在一平面內(nèi)既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量叫做向量）和空間向量（定義：在一空間中具有大小和方向的量叫做空間向量）;同時(shí)為了方便表示向量，也利用編程語言，向量有起點(diǎn)，有方向。常用一個(gè)帶箭頭的線段表示。

一、向量的平行四邊形法則

向量的平行法則要追溯到早期物理學(xué)對速度的研究。這就涉及到最基本的數(shù)學(xué)思想——向量的加法。其的定義為兩個(gè)有共同起點(diǎn)的向量并以這兩個(gè)向量互作鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線表示兩向量的相加。就如下圖可視，向量AD=AB+AC。

然而速度的平行四邊形法則可以追溯到古希臘。亞里士多德在《力學(xué)》（Mechanica）（公元前四世紀(jì)）中寫道：“當(dāng)一個(gè)物體以一定比率移動時(shí)（即含有兩個(gè)有常數(shù)比率的線性運(yùn)動），物體一定沿一直線運(yùn)動，這兩條直線是由這兩條有給定比率的直線形成的平行四邊形對角線?！?/p>

在此思想的影響下，牛頓（Isaac Newton，1643—1727）在其的著作《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）中也有類似的運(yùn)用，它作為運(yùn)動定律的一個(gè)推論敘述如下：“物體同時(shí)受兩個(gè)力作用時(shí)，其運(yùn)動將沿平行四邊形的對角線進(jìn)行，所用時(shí)間等于二力分別沿兩邊所需時(shí)間。”

盡管牛頓在他自己研究的力學(xué)之中，已經(jīng)在使用平行四邊形的平行法則，但他并沒意識到自己運(yùn)用了向量相加的數(shù)學(xué)思想。其唯一欠缺的是沒有把這種力學(xué)中的具體運(yùn)營概述成運(yùn)算理論，只是在其思維中有一個(gè)抽象的概念，沒有形成一個(gè)系統(tǒng)化的觀念。

二、向量的應(yīng)用

在向量的應(yīng)用上就不能繞開一些相關(guān)方面的著作，它們對向量的接受起著重要的作用。

1.E.B威爾遜（Edwin Bidwell Wilson，1879-1964）1901年著作《向量分析：吉布斯講義的科學(xué)和物理學(xué)生使用教科書》（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）

這是第一本正式出版的完全致力于表達(dá)向量理論的教科書，也是篇幅最長的最好的向量理論教科書之一。這本書表達(dá)準(zhǔn)確、清楚，例題豐富，幾乎包括了吉布斯所有早期著作的材料，另外還增加了一些新內(nèi)容。全書共15章，即：基本的符號和算子，向量分析的幾何應(yīng)用，向量積，積的幾何應(yīng)用，結(jié)晶學(xué)，向量的純量微分，微分和積分算子，勢、牛頓算子、拉普拉斯算子和麥克斯韋算子，拋物線軌道理論，線性向量函數(shù)，轉(zhuǎn)動和應(yīng)動，二次曲面，曲面的曲率，固體動力學(xué)，流體力學(xué)。此書獲得了很好的評價(jià)，到1943年都已經(jīng)出了第8版。

2.德國學(xué)者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer，1863-1927）1903年的著作《理論物理的向量分析基礎(chǔ)》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）

這是德國出版的第一部關(guān)于現(xiàn)代向量分析的著作。布雪勒在向量的興趣來自于麥克斯韋的電磁理論，同時(shí)在書中也提到E.B威爾遜的作品。此書中包含了大量的向量分析的內(nèi)容，如向量的基本運(yùn)算、向量的微分、位勢論以及變換理論等內(nèi)容，此外還提供了選自力學(xué)、流體力學(xué)和電學(xué)等方面的大量應(yīng)用問題。

3.俄羅斯數(shù)學(xué)家P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）1907年的著述《向量分析及其應(yīng)用》（Vector analysis and its applications）。

這是俄羅斯出現(xiàn)的第一部關(guān)于向量分析方法的著作，也是早期的關(guān)于向量分析的最成功的著作之一。在這本書中，P.O索莫夫處理了向量分析的基礎(chǔ)知識以及包括線性函數(shù)在內(nèi)的較高層次的內(nèi)容，編入了許多來自力學(xué)的題目，另外還對麥比烏斯和哈密頓系統(tǒng)等做了簡練的解釋。

由此可見，向量的發(fā)展無論是物理學(xué)還是現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有很大的助益。向量很大程度上給人們研究數(shù)學(xué)和物理提供了一個(gè)新角度。

結(jié)論：

通過向量的發(fā)展溯源，向量起源于物理學(xué)中的速度與力的平行四邊形概念，這是向量起源的重要概念。同時(shí)在發(fā)展之中種種著作都有不同程度的關(guān)聯(lián)性，相互聯(lián)系，相互補(bǔ)充。對于近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)和物理學(xué)起到了很大的貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]? 孫慶華. 向量理論歷史研究[D].西北大學(xué)，2006.

[2]? 亞里士多德（Aristotle）.《力學(xué)》（Mechanica）[M]

[3]? 牛頓（Isaac Newton）.《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）[M]

[4]? E.B威爾遜（Edwin Bidwell Wilson）.《向量分析：吉布斯講義的科學(xué)和物理學(xué)生使用教科書》.（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）[M]

[5]? 德國學(xué)者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer）.《理論物理的向量分析基礎(chǔ)》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）.[M]

[6]? P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）.《向量分析及其應(yīng)用》（Vector analysis and its applications）.[M]