淺談向量組的線性相關(guān)性及判別方法

摘? 要：向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中十分重要的概念之一，有著極其廣泛的應(yīng)用。然而，在學(xué)習(xí)線性代數(shù)中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生學(xué)習(xí)向量組的線性相關(guān)性時(shí)，感覺很抽象，學(xué)習(xí)有些吃力。尤其是對(duì)于一般高校文科的學(xué)生以及民辦高校的本?？频膶W(xué)生，對(duì)于向量組的線性相關(guān)性的概念很模糊，更不知如何去判別向量組的線性相關(guān)性。本文主要根據(jù)自己多年來，在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中的一些經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，對(duì)向量組的線性相關(guān)性及其性質(zhì)，以及判別向量組的線性相關(guān)性都有那些常見的方法，進(jìn)行梳理，歸納和總結(jié)。為同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)向量組的線性相關(guān)性時(shí)提供一些思路。

關(guān)鍵詞：向量組;線性相關(guān);線性無關(guān);初等變換

一.向量組的線性相關(guān)性及其性質(zhì)和判別定理

1. 向量組的線性相關(guān)性的定義

定義1：如果向量組 中，至少有一個(gè)向量可以被其余向量線性表示，則稱向量組 線性相關(guān)，否則，向量組 線性無關(guān)。

定義2：如果存在一組不全為零的數(shù) ，使得 ，

則稱向量組 線性相關(guān)，否則，向量組 線性無關(guān)。

注：定義1表明，所謂向量組 線性相關(guān)，是指向量組 中至少有一個(gè)向量可以用其余向量線性表示，也即存在著線性關(guān)系。而線性無關(guān)是說向量組中的向量之間沒有線性關(guān)系。而定義2主要是用來判別向量組的線性相關(guān)性。顯然，定義1與定義2是對(duì)向量組的線性相關(guān)性的不同敘述方式，彼此之間是等價(jià)的。

2. 向量組的線性相關(guān)性的性質(zhì)

（1）如果向量組中只有一個(gè)向量 ，則當(dāng) 時(shí)，線性相關(guān)，當(dāng) 時(shí)，線性無關(guān)。

（2）如果向量組中有兩個(gè)向量 ，則 線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。

（3）如果向量組中含有零向量，則向量組一定線性相關(guān)。

（4） 維基本單位向量組 線性無關(guān)。

3.向量組的線性相關(guān)性的判別定理

（1）向量組 線性相（無）關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組 有非零解（只有零解）（其中 ）。

（2） 。

（3）如果 線性相關(guān)，而 線性無關(guān)，則 可以由 線性表示，且表示式是唯一的。

（4）如果向量組中的部分向量組成的新的向量組線性相關(guān)，則原來的向量組也線性相關(guān)。

簡(jiǎn)稱為部分相關(guān)，整體相關(guān);而整體無關(guān)，則部分無關(guān)。

（5）設(shè) ，則

線性無關(guān)，則 線性無關(guān)。簡(jiǎn)稱為低維無關(guān)，高維無關(guān)。而高維相關(guān)，低維相關(guān)。

（6）設(shè)向量組（I） 和（II） ，如果（I）可以由（II）線性表示，且 ，則 線性相關(guān);如果 線性無關(guān)，則 。

（7）向量個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必線性相關(guān)。

二.判別“具體”的向量組的線性相關(guān)性常用的方法

1.定義法：根據(jù)定義設(shè) ，由于此式是一個(gè)關(guān)于 為未知量的一個(gè)齊次線性方程組的向量形式，如果此線性方程組有非零解，則 線性相關(guān)，如果此線性方程組只有零解，則 線性無關(guān)。

2.求秩法：首先將向量組 寫成矩陣 ，然后求出矩陣 的秩，如果? ，則向量組 線性相關(guān)，如果 則向量組 線性無關(guān).

3.行列式法：對(duì)于 個(gè) 維向量組 ，構(gòu)造 階方陣 ，如果 ，則向量組 線性無關(guān)，如果 ，則向量組 線性相關(guān).

注：行列式法僅適用于向量個(gè)數(shù)與維數(shù)相同的向量組。

4.利用有關(guān)結(jié)論法：用向量組的線性相關(guān)性的性質(zhì)和判別定理判別向量組的線性相關(guān)性。

由于篇幅所限，這里就不再舉例，如有興趣的讀者，請(qǐng)參看參考文獻(xiàn)。

三.判別“抽象”的向量組的線性相關(guān)性常用的方法

1.定義法：根據(jù)定義，假設(shè) （*），然后，充分利用已知條件，對(duì)（*）式作恒等變換，將其化為關(guān)于 的齊次線性方程組，如果此齊次線性方程組有非零解，則向量組 線性相關(guān)，如果此齊次線性方程組只有零解，則向量組 線性無關(guān)，

2.求秩法：完全類似于判別“具體”的向量組的線性相關(guān)性的求秩法：仍然是，首先

設(shè) ，如果 ，則向量組 線性相關(guān)，如果 ，則向量組 線性無關(guān).但該方法在使用中，常常利用如下結(jié)論：如果向量組

可以用線性無關(guān)的向量組 線性表示，即

則 ， .

3.利用有關(guān)結(jié)論法：完全類似于判別“具體”的向量組的線性相關(guān)性的利用有關(guān)結(jié)論法。

4.反證法：根據(jù)相反結(jié)論，相辦法推出與假設(shè)相矛盾的結(jié)果。

例：設(shè)向量組 線性無關(guān)，證明： 也線性無關(guān)。

證明：1.定義法 設(shè) ，則

解得 ，故 線性無關(guān)。

（*）

又因?yàn)?，所以 可逆，從而 ，故 線性無關(guān)。

3.利用有關(guān)結(jié)論法 由（*）式，以及 可逆，可得 ，即向量組 也可以由 線性表示，從而兩個(gè)向量組 與 等價(jià)，因此它們由相同得秩，即 ，所以 線性無關(guān)。

4.反證法 如果 線性相關(guān)，則 ，又由（*）式，及 可逆，有 ，從而 線性相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故 線性無關(guān)。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。