線彈性斷裂力學(xué)問題的擴(kuò)展自然單元法

陳莘莘，刁呈巖，肖樹聰

(華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西，南昌 330013)

無網(wǎng)格法[1-3]可以克服傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法對(duì)于單元或者網(wǎng)格的依賴性，不僅可以保證計(jì)算的精度，而且可以減小計(jì)算的難度。經(jīng)過諸多學(xué)者的研究，目前發(fā)展的無網(wǎng)格方法主要有無單元Galerkin 法[4-5]、無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin 法[6-7]、邊界無單元法[8]、重構(gòu)核粒子法[9-10]、二階一致無網(wǎng)格法[11-12]和自然單元法[13-14]等。其中，自然單元法在眾多無網(wǎng)格法中展示了其突出的優(yōu)點(diǎn)。自然單元法的近似函數(shù)滿足插值性，可以方便地施加本質(zhì)邊界條件，并且形函數(shù)的計(jì)算不涉及矩陣求逆以及人為參數(shù)的選擇問題。因此，自然單元法具有良好的發(fā)展前景，并且已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[15-19]。

雖然無網(wǎng)格法在處理裂紋問題上具有有限元等傳統(tǒng)數(shù)值方法不可比擬的優(yōu)越性，但仍然存在一些問題。為了較好地模擬裂紋尖端的應(yīng)力奇異性，無網(wǎng)格法主要采用了修正裂紋附近的權(quán)函數(shù)、內(nèi)部增強(qiáng)、外部增強(qiáng)以及單位分解增強(qiáng)等技術(shù)手段[20]。其中，單位分解增強(qiáng)法[21-22]的附加變量不多，并且計(jì)算精度較高?；趩挝环纸夥ㄋ枷?，美國(guó)西北大學(xué)Mones 等[23]在有限元框架內(nèi)提出了擴(kuò)展有限元法(XFEM)，用以求解強(qiáng)和弱不連續(xù)問題。受XFEM 的啟發(fā)，Ventura 等[24]基于單位分解法思想提出了擴(kuò)展無網(wǎng)格法(XEFG)。Shi等[25]應(yīng)用XEFG 法對(duì)不同長(zhǎng)度和傾角的裂紋共存時(shí)的相互影響進(jìn)行了研究。Rabczuk 和Zi[26]采用XEFG 法對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)粘性裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了分析。針對(duì)XEFG 法處理本質(zhì)邊界條件比較困難的缺點(diǎn)，馬文濤等[27]提出了擴(kuò)展徑向點(diǎn)插值無網(wǎng)格法(XRPIM)。此外，王峰等[28]將滑動(dòng)Kriging插值法引入XEFG 法中，并將其用于含夾雜復(fù)合材料問題的求解。

鑒于自然單元法的優(yōu)越性，本文在單位分解框架下提出了擴(kuò)展自然單元法(extended natural element method, XNEM)，試圖為線彈性斷裂力學(xué)問題提供更為適用的數(shù)值分析方法。該方法在自然單元法的位移模式中加入階躍函數(shù)和裂尖漸進(jìn)位移場(chǎng)函數(shù)，并通過水平集方法(level set method, LSM)確定裂紋面和裂尖區(qū)域。典型的數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。

1 擴(kuò)展自然單元法不連續(xù)位移模式

1.1 自然鄰接點(diǎn)插值

1.2 擴(kuò)展自然單元法的位移模式

2 離散方程的導(dǎo)出

3 互作用積分法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子

4 數(shù)值算例

4.1 單邊裂紋板受拉伸作用

4.2 單邊裂紋矩形板受剪切作用

4.3 中心斜裂紋矩形板受拉力

5 結(jié)論

自然單元法采用計(jì)算點(diǎn)的自然鄰接點(diǎn)、Voronoi結(jié)構(gòu)和無網(wǎng)格的方式構(gòu)造整體求解的近似位移函數(shù)，不僅保證了計(jì)算精度而且簡(jiǎn)化了數(shù)值計(jì)算的前處理過程。需要特別指出的是，自然單元法的形函數(shù)不僅滿足插值性，而且形函數(shù)的計(jì)算不涉及矩陣求逆，更沒有人為參數(shù)的選擇問題。基于單位分解思想，在自然單元法的位移模式中加入擴(kuò)展項(xiàng)表征不連續(xù)位移場(chǎng)和裂紋尖端奇異場(chǎng)的基礎(chǔ)上，本文首次提出了擴(kuò)展自然單元法。算例分析表明，擴(kuò)展自然單元法能夠較好地求解線彈性斷裂問題，具有較高的計(jì)算精度。由于近似函數(shù)滿足插值性，擴(kuò)展自然單元法較XEFG 可以更方便地施加本質(zhì)邊界條件。