一種基于壓縮感知的離格陣列測(cè)向方法

陳 俁

（南瑞集團(tuán)有限公司/國(guó)網(wǎng)電力科學(xué)研究院有限公司，南京，211000）

引 言

陣列信號(hào)處理技術(shù)經(jīng)過了幾十年的研究，目前被廣泛運(yùn)用在語(yǔ)音信號(hào)處理、無(wú)線通信、雷達(dá)和聲納等多個(gè)領(lǐng)域。陣列測(cè)向是陣列信號(hào)處理中的重要研究方向，已發(fā)展出了大量的經(jīng)典方法[1]，如多重信號(hào)分 類 法（Multiple signal classification，MUSIC）[2]、旋 轉(zhuǎn) 不 變 法（Rotational invariant techniques，ESPRIT）[3]等。這些子空間類測(cè)向方法通過探索信號(hào)子空間和噪聲子空間之間的正交性來實(shí)現(xiàn)角度的精確估計(jì)，具有比波束成形方法更加精確的超分辨率能力，能夠區(qū)分出角度間隔較近的兩個(gè)信號(hào)。子空間類方法在信號(hào)不相關(guān)的場(chǎng)景中可以看作是一種最大似然方法的大塊拍實(shí)現(xiàn)，其估計(jì)能力能夠逼近克拉美羅下界。然而，子空間方法的缺點(diǎn)也比較明顯：由于這類方法的估計(jì)過程建立在噪聲子空間和信號(hào)子空間的正交性之上，當(dāng)這種正交性得不到保證時(shí)，子空間類方法很容易失效[4]。因此，子空間類方法難以適用于諸如小快拍、高相關(guān)性等場(chǎng)景。盡管通過諸如空間平滑等方法能夠降低相關(guān)性，但同時(shí)也損失了陣列孔徑，其應(yīng)用場(chǎng)景受到了局限[5]。

為了克服子空間類方法的這些缺點(diǎn)，近些年來研究者從壓縮感知算法中受到啟發(fā)，根據(jù)入射信號(hào)來向在整個(gè)空間角度域中的稀疏特性，提出了基于壓縮感知的陣列測(cè)向方法[6-10]。這一類方法充分利用了角域稀疏性，而不是信號(hào)子空間和噪聲子空間之間的正交性，因此從原理上有別于傳統(tǒng)的子空間類測(cè)向方法，也能夠有效克服子空間類方法的各種缺點(diǎn)。壓縮感知類方法能夠適用于高相干性，甚至是相干信號(hào)，也能夠適用于小快拍，甚至是單快拍場(chǎng)景，從而大大擴(kuò)展了測(cè)向方法的適用范圍。基于這一原理，近10年來已經(jīng)發(fā)展出了大量的測(cè)向方法，如以l1范數(shù)奇異值分解重構(gòu)法（l1reconstruction after singular value decomposition，L1SVD）為代表的l1范數(shù)類測(cè)向方法[6-8]和以相關(guān)向量機(jī)（Relevance vector machine，RVM）為代表的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian learning，SBL）類測(cè)向方法[9-10]。L1SVD不僅可以適用于單快拍和相干信號(hào)場(chǎng)景，同時(shí)由于SVD技術(shù)的使用，L1SVD的信號(hào)重構(gòu)模型維數(shù)得到了大幅降低，因此其計(jì)算量不受限于快拍數(shù)的大小，在大快拍的場(chǎng)景中仍然能夠保持較小的計(jì)算量。但L1SVD的求解過程需要已知信號(hào)個(gè)數(shù)，而這一先驗(yàn)知識(shí)在實(shí)際應(yīng)用中通常難以獲取。同時(shí)，在L1SVD中還需要涉及到正則化因子的選取，而正則化因子最優(yōu)選取的問題還沒有得到較好的解決，不合適的正則化因子會(huì)對(duì)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生不良影響。基于SBL的RVM方法被證明與l0范數(shù)具有相同的全局收斂性[11]，因此能夠獲得比L1SVD更加精確的估計(jì)結(jié)果，但SBL的計(jì)算復(fù)雜度較高。

需要注意的是，現(xiàn)在已有的壓縮感知類測(cè)向方法均基于網(wǎng)格劃分，即預(yù)先用大量網(wǎng)格對(duì)空間域進(jìn)行劃分，并假設(shè)入射信號(hào)無(wú)誤差地落在預(yù)設(shè)的網(wǎng)格之上。這一假設(shè)顯然與物理場(chǎng)景相違背，因?yàn)槿肷湫盘?hào)來向在整個(gè)角度域內(nèi)是連續(xù)分布的。如果信號(hào)來向偏離預(yù)先劃分的網(wǎng)格，就會(huì)使得信號(hào)模型與真實(shí)模型之間存在誤差[12]。雖然可以通過增加網(wǎng)格數(shù)來減小這一誤差，但由于有限等距準(zhǔn)則（Restricted isometry property，RIP）準(zhǔn)則的存在，這一減小量也非常有限。同時(shí)，大量的網(wǎng)格劃分還會(huì)帶來高計(jì)算量，從而進(jìn)一步降低了這一模型的適用場(chǎng)景。

針對(duì)這一問題，研究者提出了基于一階泰勒展開的離格類DOA估計(jì)方法：離格稀疏貝葉斯推斷法（Off-grid sparse Bayesian inference，OGSBI）[13]。該方法利用泰勒展開式，引入量化誤差參數(shù)對(duì)真實(shí)的陣列流形進(jìn)行逼近，從而能夠更好地?cái)M合真實(shí)信號(hào)模型。由于量化參數(shù)的引入使得優(yōu)化模型為非凸模型，該方法引入稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)理論對(duì)測(cè)向問題進(jìn)行求解。然而，該方法在很多情況下無(wú)法達(dá)到理論下界。

針對(duì)以上問題，本文提出了一種基于迭代優(yōu)化的離格測(cè)向方法。首先，利用接收信號(hào)建立起基于壓縮感知的在格信號(hào)模型，再將模型中的流形矩陣運(yùn)用泰勒公式進(jìn)行一階展開，從而建立起離格信號(hào)模型。為了實(shí)現(xiàn)模型求解，本文利用交替迭代法來求解對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格角度和偏差大小，同時(shí)通過降低模型維數(shù)、推導(dǎo)閉式解等方法來降低迭代過程中的計(jì)算復(fù)雜度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 信號(hào)模型

1.1 物理模型

如圖1所示，有k個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)sk()t,k=1,…,K以入射角θk,k=1,…,K入射到一個(gè)均勻線陣上。該線陣由N個(gè)全向接收陣元所組成。這一模型的陣列輸出x(t)=[x1(t),…,xN(t)]T為

圖1 均勻線陣中DOA估計(jì)示意圖Fig.1 Illustration of DOA estimation with ULA

式 中 ：A=[a(θ1),…,a(θK)] 為 陣 列 流 形 矩 陣 ；s(t)=為 入 射 信 號(hào)為第k個(gè)入射信號(hào)來向所對(duì)應(yīng)的陣列導(dǎo)向矢量；v(t)為加性高斯白噪聲。當(dāng)陣列接收到L個(gè)快拍時(shí)，陣列信號(hào)模型式(1)可以表示為

1.2 擴(kuò)展模型

根據(jù)壓縮感知原理，利用入射信號(hào)來向的角域稀疏性，本文對(duì)整個(gè)角度域空間[-90°,90°]進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到一個(gè)超完備的角度集合={?1,…,?~N}。在格類測(cè)向方法的基本假設(shè)是信號(hào)來向落在網(wǎng)格之上，即從而可以得到擴(kuò)展的陣列輸出模型為

該模型為典型的LASSO問題，可以用CVX等工具箱進(jìn)行求解[14]，進(jìn)而畫出空間功率譜便可以得到角度的估計(jì)值。然而，這種擴(kuò)展模型與真實(shí)模型直接存在一個(gè)擬合誤差，因此該模型將始終無(wú)法得到真實(shí)的測(cè)向結(jié)果，當(dāng)網(wǎng)格劃分不夠密時(shí)，所得到的結(jié)果會(huì)更加偏離真實(shí)方向。

1.3 離格擴(kuò)展模型

在離格信號(hào)模型中，入射信號(hào)來向不再假設(shè)精確落在網(wǎng)格之上，而是采用更加一般的假設(shè)，即入射信號(hào)來向集合不再屬于預(yù)先劃分好的超完備角度集合，即基于這一假設(shè)，本文從式(3)出發(fā)得到離格條件下的信號(hào)模型為

模型的量化誤差。結(jié)合式(3)可以看到，在格類信號(hào)模型可以看成是離格類信號(hào)模型的一種特殊形式：當(dāng)量化誤差Δ為零時(shí)，式(6)與式(3)等價(jià)[13]。由于真實(shí)信號(hào)來向是分布在一個(gè)連續(xù)的角度域空間，因此式(6)能夠更加精確地模擬真實(shí)信號(hào)模型，進(jìn)而得到更加精確的估計(jì)結(jié)果。根據(jù)式(5)的推導(dǎo)，可以得到如下用以求解式(6)的優(yōu)化模型

2 交替迭代方法

第1步：保持δ的大小不變，對(duì)S~進(jìn)行更新

式中上標(biāo)(q)表示第q次迭代過程。

在第1步中，模型的維數(shù)取決于快拍數(shù)L。而在測(cè)向過程中，快拍數(shù)通常遠(yuǎn)大于陣元數(shù)，因此求解該問題需要大量的計(jì)算量。為了避免高計(jì)算復(fù)雜度，參考L1SVD方法，本文利用SVD方法來降低模型維數(shù)。將X進(jìn)行SVD分解得到

而在第2步對(duì)δ的優(yōu)化過程中，式(9)是一個(gè)關(guān)于δ的加權(quán)最小二乘問題，可以通過類似文獻(xiàn)[14,15]的方法求得最優(yōu)解。為了對(duì)式(9)求得閉式解以簡(jiǎn)化計(jì)算，本文先將其中的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換（為了簡(jiǎn)化表述，式(9)忽略了上標(biāo)表示）

式中：?和*分別表示哈達(dá)瑪乘積和共軛運(yùn)算；tr和R分別表示求矩陣的跡和取實(shí)部運(yùn)算；diag表示取矩陣的對(duì)角線元素。根據(jù)式(12)，對(duì)式(9)的求解可通過對(duì)式(12)中的δ進(jìn)行求導(dǎo)得到，即

當(dāng)?shù)K止時(shí)，陣列測(cè)向結(jié)果可表示為

式中：θ為迭代終止時(shí)對(duì)進(jìn)行一維譜峰搜索得到的角度粗估值；δ^final為迭代終止時(shí)式(13)的輸出。

該算法的流程圖如表1所示。

表1 算法流程Tab.1 Flow of the proposed algorithm

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文將通過若干仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提出算法的有效性。為了進(jìn)行對(duì)比，本文在實(shí)驗(yàn)中加入了子空間類代表性方法MUSIC、在格類代表性方法L1SVD和離格類代表性方法OGSBI等測(cè)向方法，并且選用7陣元的均勻線陣作為接收陣列。壓縮感知類方法均采用網(wǎng)格~?={-90°,-88°,…,88°,90°}對(duì)整個(gè)空間域進(jìn)行角度劃分，同時(shí)L1SVD還引入迭代網(wǎng)格優(yōu)化的思想對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分[6]。MUSIC方法在一維搜索中的搜索步長(zhǎng)依據(jù)信噪比選取為本文所提方法將最大迭代次數(shù)設(shè)置為50，并且采用測(cè)向均方根誤差（Root mean square error，RMSE）對(duì)各方法的估計(jì)性能進(jìn)行評(píng)估，表達(dá)式為

實(shí)驗(yàn)1收斂情況驗(yàn)證。假設(shè)兩個(gè)不相關(guān)信號(hào)以[-5°,5°]的方向入射，快拍數(shù)為100。本文方法在迭代過程中的RMSE如圖2所示，可以看出，本文方法具有較好的收斂性，且大約在30次迭代時(shí)能夠接近收斂。

實(shí)驗(yàn)2估計(jì)精度驗(yàn)證。本文假設(shè)2個(gè)窄帶不相關(guān)信號(hào)以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上。陣列接收到200個(gè)快拍且接收信噪比為0dB。本文對(duì)比MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空間譜如圖3所示?？梢钥闯觯?種方法均能夠?qū)@2個(gè)信號(hào)進(jìn)行正確測(cè)向。相比較MUSIC和OGSBI來說，本文方法具有更加尖銳的譜峰。同時(shí)，從2個(gè)子圖可以看出，本文方法的估計(jì)精度優(yōu)于其他方法。

實(shí)驗(yàn)3不同信噪比下的RMSE對(duì)比。假設(shè)2個(gè)不相關(guān)信號(hào)以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上。接收快拍數(shù)為200。本文比較了上述4種方法的RMSE，其結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，本文方法能夠始終具有最佳的估計(jì)性能，并且在信噪比大于5dB時(shí)就能夠貼近克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）。相比之下，MUSIC在低信噪比時(shí)的性能不佳，而L1SVD和OGSBI則始終不能達(dá)到CRLB。

實(shí)驗(yàn)4不同相關(guān)性下的RMSE對(duì)比。假設(shè)2個(gè)相關(guān)信號(hào)以[-15°,5°]入射到接收陣列上，快拍數(shù)為100，信噪比為10dB。本文對(duì)各方法RMSE隨信號(hào)相關(guān)性的變化情況進(jìn)行了研究，結(jié)果如圖5所示。可以看出，隨著相關(guān)性的不斷增強(qiáng)，各個(gè)方法的估計(jì)性能都在不斷惡化。MUSIC和L1SVD在信號(hào)高度相關(guān)時(shí)的估計(jì)性能嚴(yán)重下降。相比之下，本文方法仍然能夠貼近CRLB且要優(yōu)于OGSBI，體現(xiàn)出了良好的抗相干特性。

圖2 本文方法的收斂性分析Fig.2 Convergence analysis of the proposed method

實(shí)驗(yàn)5 不同快拍數(shù)下的RMSE對(duì)比。假設(shè)兩個(gè)不相關(guān)信號(hào)以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上，且信噪比為10dB。本文對(duì)不同快拍數(shù)下各方法的RMSE進(jìn)行比較。如圖6所示，L1SVD和OGSBI均不能達(dá)到誤差下界，并且在這種情況下，其精度沒有隨著快拍數(shù)的增加而提高。而MUSIC和本文方法能夠較好地逼近CRLB，并且精度隨著快拍數(shù)的增加而提高。

圖3 MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空間譜Fig.3 Spectra comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI

圖4 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文方法在不同信噪比下的估計(jì)性能比較Fig.4 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different SNRs

圖5 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在相關(guān)信號(hào)場(chǎng)景下的估計(jì)性能比較Fig.5 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with correlated sources

圖6 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在不同快拍數(shù)下的估計(jì)性能比較Fig.6 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different number of snapshots

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于壓縮感知的陣列測(cè)向方法中的網(wǎng)格失配情況。在分析在格類模型存在缺陷的基礎(chǔ)上提出了一種離格類測(cè)向模型，該模型可以看成是在格類模型的一般化形式。在特定場(chǎng)景中，所提模型可退化為在格類模型。同時(shí)，針對(duì)這一模型，本文提出了基于交替迭代優(yōu)化的測(cè)向算法。該算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)來向的精確估計(jì)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了所提方法的有效性。