Hom-Jordan李超代數(shù)的交換擴(kuò)張

馬麗麗, 李 強(qiáng)

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

1 引言與基本概念

當(dāng)Hom李代數(shù)的扭曲映射為恒等映射時(shí), Hom李代數(shù)即為傳統(tǒng)的李代數(shù). 目前, 關(guān)于Hom李代數(shù)的研究已有很多成果[1-2], 且Hom李代數(shù)的某些成果已推廣到Hom李超代數(shù)[3]和Hom李色代數(shù)[4]. 文獻(xiàn)[5]介紹了Hom李超代數(shù)理論, 刻畫了Hom李超代數(shù)并給出了一個(gè)構(gòu)造定理; 文獻(xiàn)[6]得到了Hom李超代數(shù)的上同調(diào)結(jié)構(gòu); 文獻(xiàn)[3]研究了Hom李超代數(shù)的算子和T*-擴(kuò)張結(jié)構(gòu); 文獻(xiàn)[7-9]討論了Hom-Jordan李(超)代數(shù)的導(dǎo)子、T*-擴(kuò)張和各種形變. 文獻(xiàn)[9]研究了Hom-Jordan李代數(shù)的交換擴(kuò)張, 本文進(jìn)一步研究Hom-Jordan李超代數(shù)交換擴(kuò)張的性質(zhì)及其等價(jià)交換擴(kuò)張.

下面先給出Hom-Jordan李超代數(shù)的定義和表示, Hom-Jordan李超代數(shù)是Hom李代數(shù)和李超代數(shù)的推廣. 符號(hào)|·|表示元素·的2-階化次數(shù).

定義1[8]Hom-Jordan李超代數(shù)(L,[·,·]L,α,δ)由超空間L和一個(gè)滿足

[x,y]=-δ(-1)|x||y|[y,z],δ=±1,

(1)

的二元雙線性運(yùn)算[·,·]L:L×L→L構(gòu)成.

顯然, 當(dāng)α=I時(shí), Hom-Jordan李超代數(shù)即為Jordan李超代數(shù).

定義2[8]1) 若α為態(tài)射, 滿足α([x,y])=[α(x),α(y)], 則Hom-Jordan李超代數(shù)(L,[·,·]L,α,δ)稱為保積的;

2) ?x∈η,y∈L, 若α(η)?η并且[x,y]∈η, 則超子空間η?L稱為Hom-Jordan李超代數(shù)(L,[·,·]L,α,δ)的Hom理想.

定義3[8]Hom-Jordan李超代數(shù)(L,[·,·]L,α,δ)的表示為向量超空間V上關(guān)于A∈pl(V)的線性映射:

ρA:L→pl(V),

使得任意的u,v∈L, 滿足

ρA([u,v]L)°A=ρA(α(u))°ρA(v)-δ(-1)|u||v|ρA(α(v))°ρA(u).

(3)

這里

f(x1,…,xi,xi+1,…,xk)=-δ(-1)|xi||xi+1|f(x1,…,xi+1,xi,…,xk).

2 主要結(jié)果

定義4設(shè)(T,[·,·],α,δ)是Hom-Jordan李超代數(shù), (V,ρA,δ)為T-模, 則線性映射ω: ?2→V稱為2-上圈, 滿足：

ω(u0,u1)=-δ(-1)|u0||u1|ω(u1,u0),

定義51) Hom-Jordan李超代數(shù)T的理想是超子空間I, 使得[I,T]?I;

2) 若滿足[T,I]=0, 則理想I稱為交換理想.

定理1設(shè)ρA是保積Hom-Jordan李超代數(shù)(T,[·,·],α,δ)在V上的表示, 這里V是由(T,[·,·],α,δ)全體線性變換構(gòu)成的超空間. 線性映射ω:T×T→gl(V)滿足

ω([x,y],α(z))=-(-1)|z|(|x|+|y|)ω(α(z),[x,y]),

且

ω(x,y)°α=-(-1)|x||y|α°ω(x,y).

雙線性運(yùn)算定義為

[x+f,y+g]T⊕V=[x,y]+ω(x,y)-(-1)|x||y|g°ρA(x)+δf°ρA(y),

(4)

α′(x+f)=α(x)+f°α, ?x,y∈T,f,g∈gl(V).

(5)

則T⊕V關(guān)于式(4),(5)定義的運(yùn)算構(gòu)成保積Hom-Jordan李超代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)ω為2-上圈.

證明: 首先驗(yàn)證式(1)成立.

其次驗(yàn)證運(yùn)算滿足式(2).

同理

且

從而

(6)

定理2(V,αV,θ,δ)是(T,α,δ)的表示, 且不依賴于σ的選取, 從而等價(jià)交換擴(kuò)張可給出相同的表示.

p(σ(xi)-σ′(xi))=xi-xi=0?σ(xi)-σ′(xi)∈V?σ′(xi)=σ(xi)+ui,

表明θ不依賴σ的選取.

其次, 證明(V,αV,θ,δ)是(T,α,δ)的表示. 通過計(jì)算可知,

αV(θ(x))(v)=δαV[σ(x),v]=δ[αV(σ(x)),αV(v)]=δ[σ(α(x)),αV(v)]=θ(α(x))αV(v).

θ([x,y])°αV(v)=δ[σ[x,y],αV(v)]=δ[[σ(x),σ(y)],αV(v)],

且

從而可知式(3)成立. 于是, 可知(V,αV,θ,δ)是(T,α,δ)的表示.

(7)

其中u,v∈T.

證明: 由式(6)和式(7)得,