內(nèi)蘊(yùn)平方函數(shù)在分?jǐn)?shù)次Morrey空間上的加權(quán)有界性

李 瑞, 陶雙平

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

經(jīng)典平方函數(shù)[1-2]在調(diào)和分析中具有重要作用， 內(nèi)蘊(yùn)平方函數(shù)的廣義平方函數(shù)[1]是對(duì)經(jīng)典平方函數(shù)的推廣. 設(shè)0<α≤1, 函數(shù)φ:n→滿足并對(duì)任意的x1,x2∈n, 有|φ(x1)-φ(x2)|≤. 滿足上述條件的φ構(gòu)成的函數(shù)族用Cα表示. 對(duì)于n), 記

f的內(nèi)蘊(yùn)平方函數(shù)定義為

(1)

相應(yīng)地,

(2)

(3)

設(shè)b是n上的局部可積函數(shù), 內(nèi)蘊(yùn)平方交換子分別定義為

(4)

(5)

(6)

設(shè)1≤p<∞,ω是一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù),f∈Lp(n,ω)和b∈BMO(n)分別定義為

定義1[3]設(shè)γ是(0,+∞)上的非負(fù)增函數(shù), 對(duì)任意的r≥0, 滿足

γ(2r)≤Dγ(r),

(7)

其中,D=D(γ)≥1與r無關(guān). 給定0≤η

其中,

易見, 當(dāng)η=0時(shí),Lp,0,γ(n,ω)即為文獻(xiàn)[4]引入的廣義加權(quán)Morrey空間Lp,γ(n,ω), 是經(jīng)典加權(quán)Morrey空間的推廣. 當(dāng)γ(r)=rδ(δ>0)時(shí),Lp,γ(n,ω)即為文獻(xiàn)[5]引入的加權(quán)Morrey空間Lp,δ(n,ω). 當(dāng)ω=1時(shí),Lp,δ(n,ω)即為文獻(xiàn)[6]引入的經(jīng)典Morrey空間Lp,δ(n). 關(guān)于Morrey空間上的研究結(jié)果可參見文獻(xiàn)[7-9]. 當(dāng)γ(r)=1時(shí),Lp,γ(n,ω)即為加權(quán)Lebesgue空間Lp(n,ω)[10]. 受文獻(xiàn)[1-3,8]的啟發(fā), 本文研究?jī)?nèi)蘊(yùn)平方函數(shù)和交換子在廣義分?jǐn)?shù)次加權(quán)Morrey空間上的有界性.

設(shè)10, 使得

非負(fù)局部可積函數(shù)ω(x)∈RHs(n)(s>1)是指對(duì)n中的任意球B, 存在常數(shù)C>0, 使得

本文主要結(jié)果如下.

定理2設(shè)1≤D(γ)<2n且滿足式(7), [b,Sα]由式(4)定義,b∈BMO(n). 則存在s>1, 使得當(dāng)時(shí), 存在不依賴于f的常數(shù)C>0, 滿足

‖[b,Sα](f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

當(dāng)0<α≤1時(shí), 文獻(xiàn)[1]研究表明,gα(f)(x)可由Sα(f)(x)逐點(diǎn)控制, 因此由定理1和定理2, 可知如下推論成立.

推論1設(shè)gα由式(2)定義. 在定理1的條件下, 存在不依賴于f的常數(shù)C>0, 使得

‖gα(f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

推論2設(shè)[b,gα]由式(5)定義. 在定理2的條件下, 存在不依賴于f的常數(shù)C>0, 使得

‖[b,gα](f)‖Lp,η,γ(ω)≤C‖f‖Lp,η,γ(ω).

2 主要結(jié)果的證明

引理1[2]如果ω∈Ap, 則當(dāng)0<α≤1, 10, 使得

‖Sα(f)‖Lp(ω)≤C‖f‖Lp(ω).

引理2[12]設(shè)ω∈RHs,s>1. 則對(duì)于任意球B的可測(cè)子集E, 存在常數(shù)C>0, 使得

ω(E)/ω(B)≤C(|E|/|B|)(s-1)/s.

引理3[13-14]設(shè)1≤p<∞, 則當(dāng)b∈BMO(n)時(shí), 有

引理4[15-16]設(shè)1

引理5[16]設(shè)0<α≤1, 1

‖Sα,2j(f)‖Lp(ω)≤C·2jn‖Sα(f)‖Lp(ω).

引理6[16]設(shè)0<α≤1, 2

‖Sα,2j(f)‖Lp(ω)≤C·2jnp/2‖Sα(f)‖Lp(ω).

2.1 定理1的證明

設(shè)B=B(x0,rB)是n中的一個(gè)以x0為中心、 以rB為半徑的球, 記f=f1+f2, 其中f1=fχ2B,χE表示E的特征函數(shù). 則有

由引理1和式(7), 得

下面估計(jì)I2. 對(duì)任意的φ∈Cα, 0<α≤1且(y,t)∈Γ(x), 有

注意到當(dāng)x∈B, (y,t)∈Γ(x),z∈(2k+1B2kB)∩B(y,t)時(shí), 有

2t≥|x-y|+|y-z|≥|x-z|≥|z-x0|-|x-x0|≥2k-1rB.

因此, 利用式(8)和Minkowski不等式, 得

利用H?lder不等式和Ap權(quán)條件, 得

由式(9)和式(10), 得

(11)

所以,

由于(k+1)(1/p-η/n)>0, 1≤D(γ)<2n, 所以I2≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 結(jié)合I1和I2的估計(jì)并對(duì)所有的球B取上確界, 即完成了定理1的證明.

2.2 定理2的證明

類似定理1的證明, 分解f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 則有

由引理4和式(7), 得

(13)

下面估計(jì)J2. 對(duì)任意的x∈B, (y,t)∈Γ(x), 有

因此

考慮一定的安全余量，并圓整上述數(shù)據(jù)可得到：驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)中輪對(duì)與內(nèi)空心軸、內(nèi)空心軸與電機(jī)垂向上空隙設(shè)計(jì)值Gd定為50 mm，垂向下空隙設(shè)計(jì)值Gu定為30 mm，以此保證車輛運(yùn)行過程中直驅(qū)機(jī)構(gòu)與驅(qū)動(dòng)軸不發(fā)生干涉。

由式(11)和式(12), 得

結(jié)合式(14),(15), 得

(16)

另一方面, 有

利用H?lder不等式, 有

記ν(z)=ω(z)-p′/p=ω(z)1-p′, 由于ω∈Ap, 由文獻(xiàn)[10]知,ν∈Ap′. 因此, 同式(15)的方法可知如下不等式成立：

(18)

利用式(17),(18), 得

(19)

由定理1的證明有t≥2k-2rB, 再利用式(19)和Minkowski不等式, 得

下面估計(jì)L4. 注意到b∈BMO(n), 由文獻(xiàn)[17]可知,

|b2k+1B-bB|≤C·(k+1)‖b‖*.

(21)

由式(10),(21)和Minkowski不等式, 得

由式(12), 得

再結(jié)合式(20),(22), 有

(23)

綜合式(13),(16),(23), 并對(duì)所有的球B取上確界, 即證得定理2.

2.3 定理3的證明

設(shè)B=B(x0,rB)是n中的任意一個(gè)球, 有

由定理1,H0≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 下面估計(jì)Hj(j=1,2,…). 設(shè)f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 則有

利用引理1、 引理5、 引理6和式(7), 得

t+2jt≥|x-y|+|y-z|≥|x-z|≥|z-x0|-|x-x0|≥2k-1rB,

因此, 利用式(8),(10)和Minkowski不等式, 得

進(jìn)一步, 利用式(12), 得

由于λ>max{p,3}, 所以

因此, 對(duì)所有的球B取上確界, 即完成了定理3的證明.

2.4 定理4的證明

設(shè)B=B(x0,rB)是n中的任意一個(gè)球, 記f=f1+f2, 其中f1=fχ2B, 則有

因此,

由定理2可知G0≤C‖f‖Lp,η,γ(ω). 下面估計(jì)Gj. 對(duì)任意給定的x∈B, (y,t)∈Γ2j(x),z∈(2k+1B(2kB))∩B(y,t), 有

因此,

由式(12),(15),(24), 得

另一方面, 有

類似定理2和定理3的證明, 有

由式(12), 得

由式(12), 得

由于λ>max{p,3}, 所以

對(duì)所有的球B取上確界, 即證得定理4.