借助數(shù)軸尋找隱性分點(diǎn)的策略

吳梨娟 戴欽彪

[摘要]數(shù)學(xué)分類(lèi)討論問(wèn)題一直讓學(xué)生頭疼，分類(lèi)的分界點(diǎn)不好找.我們可以借助數(shù)軸尋找隱性分點(diǎn).

[關(guān)鍵詞]隱性分點(diǎn);數(shù)軸;尋找

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0013-02

中學(xué)數(shù)學(xué)很多應(yīng)用題都要應(yīng)用分類(lèi)討論思想.有些應(yīng)用題的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)很明顯，這些明顯分界的點(diǎn)我們稱(chēng)它為顯性分點(diǎn)，可是有些題目卻很難直觀分類(lèi)，這時(shí)我們可以借助數(shù)軸尋找隱性分點(diǎn)，劃分區(qū)域進(jìn)行討論，

一、利用數(shù)軸上的顯性分點(diǎn)求解應(yīng)用題

[例1]某書(shū)店推出售書(shū)優(yōu)惠方案：①一次性購(gòu)書(shū)不超過(guò)100元，不享受優(yōu)惠;②一次性購(gòu)書(shū)超過(guò)100元但不超過(guò)200元，一律打9折;③一次性購(gòu)書(shū)超過(guò)200元，一律打8折，已知小明一次性購(gòu)書(shū)付款188元，求他所購(gòu)書(shū)的原價(jià)，

分析：題目提供了100，200這兩個(gè)顯性數(shù)據(jù)，借助數(shù)軸可分為三段進(jìn)行討論，分別是O200這三段，再判斷哪一段可能書(shū)款為188元，如此題中的100，200在數(shù)軸上可直觀標(biāo)識(shí)進(jìn)行分類(lèi)的點(diǎn)稱(chēng)為顯性分點(diǎn).

解：設(shè)原價(jià)為x元，∵188>100，∴x>100.

如圖1，①若100 200（舍）.

②若x> 200，則0.8x=188，解得x=235.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

二、利用數(shù)軸尋找隱性分點(diǎn)求解應(yīng)用題

[例2]為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的，該市自來(lái)水收費(fèi)的價(jià)目表如下（注：水費(fèi)按月份結(jié)算，m³表示立方米）：

若某戶(hù)居民1月份用水8m³，應(yīng)繳水費(fèi)為2×6+4×（8-6）=20（元）.

請(qǐng)根據(jù)價(jià)目表提供的信息解答下列問(wèn)題：

（1）若某戶(hù)居民2月份用水5m³，則應(yīng)繳水費(fèi)______元;

（2）若某戶(hù)居民3月份應(yīng)繳水費(fèi)19.2元，則用水_______m³;

（3）若某戶(hù)居民4、5兩個(gè)月共用水14m³（5月份用水量超過(guò)了4月份），設(shè)4月份用水a(chǎn)m³，求該戶(hù)居民4、5兩個(gè)月共繳水費(fèi)多少元？（用含a的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）

分析：第（3）題中以4月份中的用水量a為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，且5月份用水量超過(guò)了4月份，則a<7.又5月份用水量（14-a）大于7，則5月份用水量有可能取顯性分界點(diǎn)10（不可能取6），可求得a=4，在此求出一個(gè)點(diǎn)7，一個(gè)點(diǎn)4，使得數(shù)軸被分為O

解：（1）該戶(hù)居民2月份用水5m³，應(yīng)繳水費(fèi)=5×2=10元;

（2）由于6×2=12，12+4×4=28，則設(shè)用水x m³，根據(jù)題意得6×2+（x-6）×4=19.2，解得x=7.8.

（3）如圖2，當(dāng)O

當(dāng)4

當(dāng)6

[例3]某超市在春節(jié)期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：

（1）王老師若一次性購(gòu)物550元，他實(shí)際付款_____元.

（2）若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元，當(dāng)x小于500元但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款______元，當(dāng)x大于或等于500元時(shí)，他實(shí)際付款______元.（用含x的代數(shù)式表示）

（3）如果王老師兩次購(gòu)物貨款合計(jì)820元，第一次購(gòu)物的貨款為a元（a>200），用含a的代數(shù)式表示兩次購(gòu)物王老師實(shí)際付款多少元.

分析：第（3）問(wèn)中a的取值不明確，a>200到底有幾種情況？第二次購(gòu)物的貨款又落在哪個(gè)范圍？對(duì)于此類(lèi)明知要分類(lèi)卻無(wú)從下手的問(wèn)題，我們就可以借助數(shù)軸解決問(wèn)題，數(shù)軸已經(jīng)被顯性分點(diǎn)200，500分成三段，說(shuō)明第一次貨款?？扇?00500這兩種情況，但是當(dāng)a只在這兩個(gè)區(qū)間時(shí)，第二次貨款求得范圍320≤820-a<620，200<820-a<320.從第二次貨款范圍分類(lèi)不明確，類(lèi)比例2，我們發(fā)現(xiàn)第二次購(gòu)物貨款也可以取200，500這兩個(gè)顯性分點(diǎn)，即820-a=200，820-a=500可求得兩個(gè)隱性分點(diǎn)a=320，a=620.這樣數(shù)軸就被200，320，500，620這4個(gè)不同的值劃分為五段，又a>200，所以a只要在200

解：（1）490元;（2）0.9x（過(guò)程略）;

（3）設(shè)兩次購(gòu)物共付款w元，

①200

w=0.9a+500×0.9+0.8 ×（820-a-500）

=O.la+706.

②300

③500≤a≤620時(shí)，200≤820-a≤320， w=500×0.9+（a-500）×0.8+0.9×（820-a）=-O.la+788.

④620

綜上所述，w=O.la+706（200

w=738（320

w=-O.la+788（500≤a≤620），

w=0.2a+870（620

借助數(shù)軸找顯性和隱性分點(diǎn)求解分類(lèi)討論型應(yīng)用題會(huì)事半功倍.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）