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      基于譜方法求解器的非均電介質(zhì)下 電勢分布特性的研究

      2020-07-16 04:17:58孫毅祥
      關(guān)鍵詞:電介質(zhì)方程解泊松

      孫毅祥

      (1. 北京長征天民高科技有限公司, 北京 100176; 2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院第十五研究所, 北京 100076)

      0 引言

      靜電學(xué)在工程中有諸多應(yīng)用, 如靜電場探測系統(tǒng)[1]、靜電屏蔽技術(shù)[2]等. 在靜電場的計(jì)算模擬中, 電勢求解是關(guān)鍵的一環(huán). 由于均勻電介質(zhì)中靜電場高斯定理可以轉(zhuǎn)換為泊松方程[3], 因此靜電場不用求解復(fù)雜的麥克斯韋方程, 而只需求解二階橢圓型偏微分方程. 泊松方程常見的數(shù)值求解方法包括有限差分法[4]、譜方法[5]、有限元法等.

      譜方法相比于有限差分法、有限元法而言, 其特點(diǎn)之一是用于近似的基函數(shù)不是局部點(diǎn)的低階多項(xiàng)式, 而是全局多項(xiàng)式[6](如Legendre 多項(xiàng)式、Chebyshev 多項(xiàng)式). 當(dāng)方程解光滑時(shí)其收斂速度很快, 可以在較少的網(wǎng)格點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)高精度數(shù)值模擬[7,8], 適合于泊松方程的高效準(zhǔn)確求解. 譜方法一般分為三類[9]: 譜-Galerkin法、譜配置法和譜-τ 法. 其中譜配置法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為矩陣方程, 且對于Chebyshev 多項(xiàng)式其配置點(diǎn)可顯式給出, 因此無論從計(jì)算效率還是編程復(fù)雜度而言都是較優(yōu)的選擇. 對于泊松方程來說, 若在極坐標(biāo)系下求解, 譜方法可以直接給出電勢在徑向和周向的變化, 但需要額外處理方程在極坐標(biāo)系原點(diǎn)奇異的問題. 目前主要有兩種解決方法, 一種是構(gòu)造奇點(diǎn)處的特殊邊界條件[10,11], 另一種則是選取合理的配置點(diǎn)(如Chebyshev-Gauss-Radau 配置點(diǎn))來避開奇點(diǎn)位置[12,13]. 本文采用第二種奇點(diǎn)處理方式, 建立了極坐標(biāo)系下的泊松方程譜方法求解器.

      雖然對均勻電介質(zhì)而言靜電場高斯定理可以轉(zhuǎn)化為泊松方程, 但對于非均勻電介質(zhì), 原方程將多出介電系數(shù)的空間梯度項(xiàng), 若此時(shí)仍用原始泊松方程進(jìn)行求解, 將會引入誤差, 且誤差隨介電系數(shù)的空間梯度增大而增大. 非均勻電介質(zhì)在實(shí)際中也有對應(yīng)情況, 如存在介質(zhì)分界面(水-空氣)或介質(zhì)本身連續(xù)非均勻. 因此電介質(zhì)非均勻的情形無論是理論研究還是實(shí)際應(yīng)用都有一定價(jià)值. 然而目前較少有研究直接關(guān)注非均勻介電系數(shù)對電勢的具體影響機(jī)制, 盡管近年有部分研究者注意到對修正泊松方程進(jìn)行求解更符合實(shí)際(如Nagel[14]的工作), 但并未對介質(zhì)非均勻如何影響電勢分布進(jìn)行研究與分析. 本文基于譜方法求解器對非均勻電介質(zhì)的修正泊松方程進(jìn)行求解, 主要研究電介質(zhì)非均勻時(shí)仍采用原始泊松方程求解而引入的結(jié)果誤差, 以及電介質(zhì)非均勻?qū)Ψ匠探獾挠绊?

      1 極坐標(biāo)系下修正泊松方程的求解

      靜電場高斯定理的微分形式為

      其中φ 為電勢, ρ 為電荷密度, ε 為介電系數(shù). 若在真空中或電介質(zhì)空間分布均勻, 介電系數(shù)可從梯度算子中提出, 式(1)便化為標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程. 但對于電介質(zhì)非均勻的情況, 式(1)便轉(zhuǎn)化為

      式(2)等號左端第二項(xiàng)即為電介質(zhì)非均勻時(shí)的額外項(xiàng), 若忽略此項(xiàng)并按原始泊松方程進(jìn)行求解, 將會引入誤差. 下面推導(dǎo)修正泊松方程(2)在極坐標(biāo)系下的形式, 并給出譜配置法的求解細(xì)節(jié).

      極坐標(biāo)系下, 梯度算子可寫作徑向和周向單位矢量的組合:

      將其代入式(2)并在等號兩側(cè)乘以r2, 于是式(2)轉(zhuǎn)化為

      其中包含g1、g2的項(xiàng)分別為介電系數(shù)在徑向和周向梯度引入的額外項(xiàng), 表達(dá)式為

      為方便使用譜配置法, 本文只考慮g1與g2分別僅與r 和θ 有關(guān)的情況, 即 g1= g1( r), g2= g2(θ ). 此時(shí)式(4)左端系數(shù)已實(shí)現(xiàn)變量分離, 可將解φ 展開為基函數(shù)與各配置點(diǎn)處解的乘積的線性組合. 本文考慮在去除極點(diǎn)的圓盤 (0, R0] × [0,2π )上求解式(4), 徑向采用Chebyshev 多項(xiàng)式展開, 同時(shí)為避開奇點(diǎn), 采用Chebyshev-Gauss-Radau 配置點(diǎn)

      在周向則采用Fourier 展開, 配置點(diǎn)為

      注意到r 與配置點(diǎn) jα 定義域不同, 因此采用坐標(biāo)變換

      此時(shí)式(4)轉(zhuǎn)化為

      在徑向與周向分別展開, 式(9)最終表示為矩陣方程的形式[15]:

      系數(shù)矩陣及源項(xiàng)矩陣的元素為

      其中徑向一階導(dǎo)數(shù)算子對應(yīng)的離散矩陣元素

      這里

      徑向二階導(dǎo)數(shù)算子對應(yīng)的離散矩陣

      周向一階、二階導(dǎo)數(shù)算子對應(yīng)的離散矩陣則跟Nθ的奇偶性有關(guān), 這里給出Nθ為偶數(shù)時(shí)的離散矩陣, 奇數(shù)情況參見文[9]:

      以上即為修正泊松方程的離散求解形式. 若要考慮 r = R0處的第一類邊界條件, 只需在式(10)兩側(cè)減去 r = R0處的源項(xiàng)值F(BC)即可. 在本文中, F(BC)的各元素可寫作[15]

      對形如式(10)的矩陣方程, 可采用文[15]中的兩步算法進(jìn)行求解, 最終得到電勢φ 的離散解.

      2 原始泊松方程對非均勻電介質(zhì)的電勢求解誤差研究

      若采用原始泊松方程對非均勻電介質(zhì)的電勢進(jìn)行計(jì)算, 即忽略式(2)左端第二項(xiàng), 則會引入誤差, 本節(jié)擬對此誤差進(jìn)行評估. 首先給出計(jì)算采用的參數(shù)條件. 為與解析解進(jìn)行比較, 對解 φ = exp( - r2)sinθ(單位: V)對應(yīng)的修正泊松方程進(jìn)行數(shù)值求解, 源項(xiàng)可通過將解析的電勢解代入式(2)求出. 這里需要給定介電系數(shù)的表達(dá)式以數(shù)值求出φ. 本文擬分別考慮介電系數(shù)在徑向和周向梯度下的影響, 并對徑向部分舍去高階項(xiàng)而只考慮線性相關(guān)項(xiàng), 因此給定如下表達(dá)式:

      其中真空中介電常數(shù) ε0= 8.854 × 10-12(F/m), 正弦函數(shù)可使得介電系數(shù)ε 在周向?yàn)橹芷诤瘮?shù), 常數(shù)C1和C2其中之一為0, 以滿足式(5)中g(shù)1與g2分別只與r 和θ 有關(guān)的條件. 取 C3= 3, 目的是在模擬的參數(shù)范圍內(nèi)保證 ε > ε0以符合物理實(shí)際. 此外半徑 R0= 1m.

      首先給出網(wǎng)格收斂性與程序準(zhǔn)確性的驗(yàn)證. 取 Nr= Nθ, C1= C2= 0, 并定義數(shù)值解與解析解之差的二范數(shù)為誤差:

      圖1給出了誤差隨網(wǎng)格點(diǎn)數(shù) Nr+ Nθ的變化情況. 不難看出, 隨著網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的增多, 誤差呈指數(shù)級下降, 且僅需 Nr= Nθ=10時(shí)絕對誤差就已下降到 10-9量級, 即譜配置法僅需很少的網(wǎng)格點(diǎn)就可以達(dá)到足夠高的精度, 證明了此方法的優(yōu)越性, 也驗(yàn)證了本程序的準(zhǔn)確性. 另外, 誤差下降到一定程度后會出現(xiàn)反彈, 這是由計(jì)算機(jī)誤差累計(jì)引起的[16], 但此時(shí)誤差已經(jīng)足夠小, 不會對最終結(jié)果造成明顯影響.

      圖1 數(shù)值解與解析解的誤差隨網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的變化

      隨后, 對原始泊松方程(式(2)左端移去第二項(xiàng))和修正泊松方程(式(2))分別求解, 方程右端源項(xiàng)由解析解代入修正泊松方程計(jì)算得到, 介電系數(shù)給定為式(17), 離散點(diǎn)數(shù)取 Nr= 20, Nθ= 40. 圖2 給出了 C1= 10, C2= 0時(shí)的解析解、修正泊松方程解和原始泊松方程解. 可看出, 修正泊松方程解與解析解擬合良好, 但原始泊松方程解卻產(chǎn)生了偏離, 除 θ = 0°和180°外, 其余等勢線相對于解析解均向外擴(kuò)張, 且上下半平面分別越靠近θ = 90°和270°, 與解析解的差異越明顯, 而在靠近 θ = 0°和180°附近差異不明顯, 即呈現(xiàn)出各向異性的特性.

      以上是介電系數(shù)僅在徑向分布不均的情況. 當(dāng)介電系數(shù)僅在周向分布不均時(shí), 圖3 給出了解析解和C1=0, C2=0.1 時(shí)的原始泊松方程解(修正泊松方程解與解析解仍然吻合很好, 這里不再給出). 不難看出, 介電系數(shù)周向分布不均時(shí), 用原始泊松方程得到的解的等勢線不僅發(fā)生了偏移, 還破壞了解析解關(guān)于Y軸反對稱的特點(diǎn). 此外, 為評估原始泊松方程解與解析解的誤差, 仍用式(18)進(jìn)行計(jì)算. 結(jié)果發(fā)現(xiàn) C1= 10, C2= 0和 C1= 0, C2= 0.1時(shí), 原始泊松方程的誤差分別約為1.21 和19.07, 而修正泊松方程的誤差在 1 0-14量級. 綜合可知, 介電系數(shù)在周向存在很小的梯度( C2= 0.1), 就會使得用原始泊松方程求解造成比介電系數(shù)存在較大徑向梯度時(shí)( C1= 10)求解更大的誤差, 即介電系數(shù)徑向梯度影響更顯著.

      圖2 C1=10, C2=0 時(shí)電勢的解析解(云圖)、 修正泊松方程解(實(shí)線)、原始泊松方程解(虛線)

      圖3 C1=0, C2=0.1 時(shí)電勢的解析解(云圖)、 原始泊松方程解(虛線)

      3 非均勻電介質(zhì)對電勢的影響

      本部分采用修正泊松方程(式(2))對非均勻電介質(zhì)中的電勢分布進(jìn)行求解, 目的在于研究介電系數(shù)不均勻程度發(fā)生改變時(shí)電勢分布的變化, 從而表征電介質(zhì)非均勻效應(yīng)的影響. 與第2 部分不同的是, 本部分固定的是式(2)中的電荷密度ρ 的表達(dá)式, 該表達(dá)式由 φ = exp( - r2)sinθ, ε= C3ε0代入式(2)得到, 代表均勻電介質(zhì)下的電荷密度; 而變動(dòng)的則是ε 表達(dá)式(17)中的常數(shù)C1或C2, 從而解φ 也是變動(dòng)的, 于是可以評估C1或C2對解φ 的影響.

      圖4 C2 = 0 時(shí)不同C1 取值對θ = 45°處電勢的影響及漸進(jìn)解

      圖4 與圖5 分別給出了C2=0 時(shí), 不同C1取值對θ = 45°和 θ = 90°處電勢沿徑向分布的影響. 不難看出, 介電系數(shù)徑向梯度對θ = 45°和θ = 90°處的影響規(guī)律是相似的, 當(dāng) C1> 0即介電系數(shù)沿徑向有正梯度時(shí), 電勢下降, 且隨C1的增大而下降更多; 而當(dāng) C1< 0即介電系數(shù)沿徑向有負(fù)梯度時(shí), 電勢減小. 此外, 當(dāng)C1趨于無窮時(shí), 電勢分布有漸進(jìn)解, 這是因?yàn)楹瘮?shù) g1在C1趨于無窮時(shí)有極限, 代入式(2)可求出電勢的漸進(jìn)解.

      圖6 給出了 C1= 0時(shí), 不同C2取值對θ = 45°處電勢沿徑向分布的影響. 可看出, C2> 0時(shí)電勢升高, 反之則降低. 同時(shí), 電勢的變化相對于 C1≠ 0, C2= 0時(shí)更明顯, 如 C1= 0, C2= 0.5時(shí)最大電勢可達(dá)到均勻介質(zhì)( C1= C2= 0)時(shí)的13 倍左右, 而 C1= 10, C2= 0時(shí)最大電勢與均勻介質(zhì)的情況差異很小. 這意味著周向的影響更為顯著. θ = 90°處電勢分布規(guī)律與圖6 相似, 這里不再給出. 此外, C2趨于無窮時(shí), 電勢分布也有漸進(jìn)解, 但函數(shù) g2的極限在θ = 0°及180°時(shí)是奇異的, 因此數(shù)值計(jì)算未能給出此時(shí)漸進(jìn)解的分布.

      圖6 C1=0 時(shí)不同C2 取值對θ = 45°處電勢的影響

      4 結(jié)論

      以往研究中靜電場電勢求解問題主要是求解均勻電介質(zhì)的泊松方程. 本文針對非均勻電介質(zhì)的修正泊松方程進(jìn)行了譜方法求解并研究介電系數(shù)非均勻的影響. 首先建立了高效準(zhǔn)確的譜方法求解器, 在較少的網(wǎng)格點(diǎn)下數(shù)值解就能與理論解良好吻合. 隨后, 對采用原始泊松方程求解非均勻電介質(zhì)的電勢分布而引入的誤差進(jìn)行了研究, 發(fā)現(xiàn)介電系數(shù)存在徑向和周向梯度時(shí)均會產(chǎn)生誤差, 其中有周向梯度時(shí)仍用原始泊松方程求解不僅對電勢數(shù)值的影響更大, 還會破壞精確解本身的分布特性(如關(guān)于Y 軸的反對稱特性). 最后, 用修正泊松方程準(zhǔn)確求解了非均勻電介質(zhì)的電勢分布, 并研究了介電系數(shù)的梯度對電勢分布的影響. 結(jié)果表明, 介電系數(shù)梯度越大, 電勢分布變化更大, 且周向梯度對電勢分布的影響更為顯著. 此外, 當(dāng)介電系數(shù)的徑向梯度和周向梯度趨于無窮時(shí), 電勢分布具有漸進(jìn)解. 這些結(jié)論可以為靜電場電介質(zhì)非均勻效應(yīng)的后續(xù)分析及建模提供參考與啟發(fā).

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