利用GeoGebra讓行星的逆行現(xiàn)象不再神秘

張 靜 于文高

(1. 江蘇省淮陰中學(xué)，江蘇 淮安 223002； 2. 淮安市教學(xué)研究室，江蘇 淮安 223001)

人教版高中物理教材(必修2)中提到了行星的逆行現(xiàn)象，行星逆行現(xiàn)象為日心說提供了有力證據(jù)，但是行星的逆行現(xiàn)象一般的中學(xué)生難以觀察到，很難想象這是怎么回事，充滿了神秘感．可以利用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra對這一現(xiàn)象進行比較精確的模擬，從而讓學(xué)生對這一現(xiàn)象形成很直觀的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上可以比較容易地發(fā)現(xiàn)行星逆行的一些規(guī)律.

1 模擬金星繞太陽的運動

1.1 行星公轉(zhuǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)

查得地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑為1 AU(即一個天文單位)、周期為365.24天，金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為0.72 AU、周期為224.70天，火星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為1.67 AU、周期為686.98天.

1.2 模擬金星、地球的公轉(zhuǎn)

在GeoGebra中任意作出一點A作為太陽.

以A為圓心作一半徑為1的圓作為地球的公轉(zhuǎn)軌道，并在其上作一動點B表示地球，并設(shè)置B點的動畫速度為1.

以A為圓心作一半徑為0.72的圓作為金星的軌道，并在其上作一動點C表示金星，并設(shè)置C點的動畫速度為13/8.

設(shè)置各對象的其它屬性，使視覺效果簡潔、美觀.

分別右擊B點、C點在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“地球”和“金星”繞“太陽”運轉(zhuǎn)起來，如圖1所示.

圖1

此時，已經(jīng)模擬出了金星、地球繞太陽的公轉(zhuǎn)情況，但是還不能直觀地看出金星的逆行現(xiàn)象．因為，這是從太陽的視角來看金星與地球的運行情況，而金星的逆行是金星相對于地心的運動過程中出現(xiàn)的特殊現(xiàn)象，怎么來模擬呢？

2 模擬金星相對于地球的運動

在表示太陽的A點的右側(cè)適當(dāng)位置畫出一定點D，用來表示不動的地球.

在GeoGebra的指令欄中輸入C-B+D，得到一個新的點E，用來表示不動的地球(D點)周圍的金星，并在右鍵菜單中設(shè)置跟蹤(Trace on).

設(shè)置D、E兩點的其它屬性，使視覺效果簡潔、美觀.

(1) 每經(jīng)過一段時間后金星相對于地球的繞行方向發(fā)生改變，這就是金星的逆行現(xiàn)象.

(2) 金星的逆行現(xiàn)象都是發(fā)生在金星與地球相距較近的時候.

(3) 經(jīng)過足夠長時間后，可發(fā)現(xiàn)金星相對于地球的運動軌跡構(gòu)成了一個簡單、規(guī)則的圖形，如圖2所示，從內(nèi)側(cè)向外側(cè)由若干層“5瓣形”組成.

為了方便讀者觀察，特將動畫制作成視頻文件上傳至百度網(wǎng)盤，網(wǎng)址為“https://pan.baidu.com/s/1llqKNOYC5tm1k8Fptw89kg”，需要的讀者可以下載.

圖2

3 對行星逆行現(xiàn)象的進一步研究

3.1 火星有逆行現(xiàn)象嗎？

金星是一顆內(nèi)行星，作為外行星的火星有逆行現(xiàn)象嗎？

可以通過GeoGebra來驗證一下，根據(jù)前面查得的相關(guān)數(shù)據(jù)對這個動畫作一些調(diào)整.

隱藏表示金星軌道的圓及表示金星的兩個點C、E．以A點為圓心作半徑為1.67的圓(火星的公轉(zhuǎn)半徑為1.67 AU)表示火星的軌道，在其上作一動點F表示火星，設(shè)置其動畫速度為0.5317(火星與地球的公轉(zhuǎn)角速度之比為0.5317).

在指令欄中輸入F-B+D，得到一個新的點G，用來表示不動的地球(D點)周圍的金星，并在G點的右鍵菜單中設(shè)置跟蹤(Trace on).

右擊F點，在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“火星”繞“太陽”運轉(zhuǎn)起來，運行動畫，一段時間后可得到類似于圖3所示的軌跡，仔細(xì)觀察動畫后可發(fā)現(xiàn)有一小段時間火星發(fā)生逆行，并且逆行都是發(fā)生在火星與地球相距較近的位置．運行較長時間后可發(fā)現(xiàn)火星相對于地心的運動軌跡不是一個簡單規(guī)則的圖形，足夠長時間后可發(fā)現(xiàn)火星幾乎可到達其與地球間距離為最小與最大所決定的環(huán)形區(qū)域的任一位置.

圖3

那么，所有的行星都會發(fā)生逆行嗎？什么條件下行星相對于地球的運行軌跡是一個簡單規(guī)則的圖形？所形成的簡單圖形的“瓣數(shù)”由什么決定呢？

3.2 行星發(fā)生逆行的簡單解釋

由于地球與除太陽外的其他恒星相距都非常遙遠(yuǎn)，即使地球、恒星都在運動，以地心的視角來觀察時，天球上各個恒星(不含太陽)的位置在有限時間內(nèi)都是幾乎不變的.

人們常說的“斗轉(zhuǎn)星移”是由于地球的自轉(zhuǎn)及公轉(zhuǎn)導(dǎo)致人們在地面上觀察天球的視角方位發(fā)生變化而造成的.

由于太陽系內(nèi)的行星離地球的距離相對其它恒星離地球的距離都小很多，不能當(dāng)作無限遠(yuǎn)．從地心視角觀察，行星在天球上的位置是不斷變化的，行進的.

由GeoGebra做出的動畫可以直觀看出，當(dāng)行星與地球相距比較遠(yuǎn)時，不會發(fā)生逆行，當(dāng)行星距地球較近時才會發(fā)生逆行.

3.2.1 內(nèi)行星逆行的簡單解釋

圖4

行星與地球繞太陽的公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，地球的自轉(zhuǎn)方向也是自西向東，從北極上空看起來，地球的公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)方向都是逆時針方向，[1]圖4就是大致從北極上空觀察行星與地球公轉(zhuǎn)的情況．[2]

對于內(nèi)行星，如圖4所示，當(dāng)行星相對于地球處于上合位置附近時，行星離地球較遠(yuǎn)，容易判斷出行星相對于地球的繞行方向為自西向東(逆時針)，此為順行．[3]

當(dāng)行星相對于地球處于下合位置附近時，由于內(nèi)行星的公轉(zhuǎn)速度vV大于地球的公轉(zhuǎn)速度vE，可判斷出此時行星相對于地球的繞行方向為自東向西(順時針)，發(fā)生了逆行.

圖5

3.2.2 外行星逆行的簡單解釋

對于外行星，如圖5所示，當(dāng)行星相對于地球處于合日位置附近時，行星離地球較遠(yuǎn)，容易判斷出行星相對于地球的繞行方向為自西向東(逆時針)，此為順行.

當(dāng)外行星相對于地球處于沖日位置附近時，由于外行星的公轉(zhuǎn)速度vM小于地球的公轉(zhuǎn)速度vE，可判斷出此時行星相對于地球的繞行方向為自東向西(順時針)，發(fā)生了逆行.

圖6

需要說明的是，這是在行星公轉(zhuǎn)軌道是圓的條件下得出的結(jié)論，那些軌道離心率比較大的小行星是否存在逆行現(xiàn)象還需進一步分析.

3.3 金星每次逆行持續(xù)多長時間?

如圖6所示，當(dāng)金星、地球與太陽連線的夾角恰好為某一角度α，金星與地球的公轉(zhuǎn)速度沿垂直于它們連線方向的分速度vV1、vE1相等時，金星相對于地心的速度方向恰好指向地球，金星在天球上的運行角速度恰為0，此時金星剛開始逆行．而當(dāng)金星相對于地球位于此位置關(guān)于日地連線的對稱位置時，金星相對于地球的速度方向背離地球，金星逆行恰好結(jié)束.

令rV、rE分別表示金星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑，由圖6，根據(jù)正弦定理，有

(1)

據(jù)高中知識容易求得金星、地球的公轉(zhuǎn)速度大小分別為

(2)

據(jù)以上分析，有vV1=vE1，即

vVcos(α+θ)=vEcosθ.

(3)

由(1)～(3)式可解得

代入rV=0.72rE，可求得

θ≈28.72°；α=13.18°.

金星與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的相對角速度

金星逆行持續(xù)的時間為

代入相關(guān)的數(shù)據(jù)可求得t逆=42.76天.

網(wǎng)上查得最近3次金星逆行的時間分別為：2015年7月25日～2015年9月6日、2017年3月4日～2017年4月15日和2018年10月5日～11月16日，3次逆行持續(xù)的時間分別為42天、42天和43天．算出的結(jié)果與實際數(shù)據(jù)吻合得很好！

3.4 金星每隔多長時間發(fā)生一次逆行

對于金星，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，可得T=583.96天.

由最近3次金星逆行的時間求得間隔的時間分別為588天、580天，吻合得較好.存在一些誤差的原因是實際上金星與地球公轉(zhuǎn)軌道都不是圓，而是橢圓.

3.5 行星在天球上的軌跡的“瓣數(shù)”取決于什么?

可以得出，若沿圓軌道公轉(zhuǎn)的行星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比不是無理數(shù)(非無理數(shù)一定可以用最簡分?jǐn)?shù)表示)，觀察到的行星相對地心的運動軌跡是一個規(guī)則的形狀，有一定的周期．如果這個最簡分?jǐn)?shù)的分子n與分母m都不太大，則軌跡的形狀比較簡單，并且軌跡的“瓣數(shù)”N=|m-n|．這一點也可以用GeoGebra來進行驗證，感興趣的教師可以嘗試.

4 結(jié)語

利用GeoGebra經(jīng)過簡單的幾步操作就可以模擬出行星運動，在模擬出行星相對于地球的運動后，可以很容易理解行星逆行現(xiàn)象的成因、特點，進而可以發(fā)現(xiàn)一些特別的規(guī)律.而這一切還不需要復(fù)雜高深的數(shù)學(xué)運算.這樣的體驗可以大大激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和探索星空的勇氣．進一步還可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的天文知識，如：會合周期、凌日現(xiàn)象等等，也可以引導(dǎo)學(xué)生自己利用Geogebra去探索、模擬.

在中國大學(xué)慕課網(wǎng)上跟隨北京大學(xué)唐大仕老師系統(tǒng)學(xué)習(xí)了GeoGebra的教學(xué)應(yīng)用后，越來越感受到GeoGebra功能強大，非常適用于高中物理問題的探索．唐大仕老師總結(jié)出利用GeoGebra探索問題的一般模式： (1) 提出問題； (2) 利用GeoGebra將問題可視化； (3) 解決問題； (4) 進一步提出新的問題．在實踐過程中發(fā)現(xiàn)確實如此，以探索行星逆行為例，本想僅模擬金星的逆行現(xiàn)象，沒想到竟然收獲了這么多的發(fā)現(xiàn).