電能質(zhì)量信號壓縮采樣匹配跟蹤算法研究

劉傳洋，孫 佐，劉景景*，方曙東,李春國，宋 康

(1.池州學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 池州 247000；2.東南大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；3.青島大學(xué) 電子信息學(xué)院，山東 青島 266071)

電氣信息化的發(fā)展及電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，提高了電力系統(tǒng)運(yùn)行的自動化、信息化水平，但是大量的電能質(zhì)量數(shù)據(jù)存儲和傳輸給電力系統(tǒng)運(yùn)行造成極大的負(fù)擔(dān)[1]。電力設(shè)備中非線性負(fù)載和沖擊負(fù)載的大量接入，電力設(shè)備電壓和電流波形產(chǎn)生嚴(yán)重畸變，造成電能質(zhì)量污染，使得電能質(zhì)量識別在電力系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用[2-3]。CS壓縮感知(Compressed Sensing)理論能夠以遠(yuǎn)小于香濃理論采樣標(biāo)準(zhǔn)對信號進(jìn)行隨機(jī)采樣，在變換域?qū)π盘栠M(jìn)行稀疏分解，利用與稀疏基不相關(guān)的觀測矩陣將高維稀疏信號降維到低維空間，通過求解優(yōu)化問題后重建原始信號[4]。

CS理論以重構(gòu)精度高的特點(diǎn)引起了很多學(xué)者的關(guān)注[5]。信號重構(gòu)方法有基于最小l1范數(shù)的凸松弛算法和基于最小l0范數(shù)的匹配追蹤類算法。凸松弛算法通常被用來解決凸優(yōu)化問題，具有較好的重構(gòu)性能，但是對噪聲敏感。匹配追蹤類算法包含稀疏度已知和稀疏度自適應(yīng)兩大類。稀疏度已知算法[6-8]是在匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)的一些算法，CoSaMP壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit)算法應(yīng)用最為廣泛[9]。CoSaMP算法運(yùn)算時(shí)間短、重構(gòu)精度高且具有很好的魯棒性，能夠在噪聲及干擾環(huán)境下較好地恢復(fù)壓縮信號，但是需要提前預(yù)知稀疏度，在稀疏度未知的情況下，該算法的使用將受到限制[10]。稀疏度自適應(yīng)算法采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)[11-12],該算法在信號稀疏度未知條件下恢復(fù)壓縮信號，但是迭代調(diào)整稀疏度運(yùn)行時(shí)間較長，重構(gòu)精度與固定步長設(shè)定有關(guān)，如果設(shè)定固定步長越大，迭代次數(shù)就越少，造成原始信號的重構(gòu)精度偏低；如果設(shè)定固定步長越小，相應(yīng)的迭代次數(shù)越多，重構(gòu)耗時(shí)就越長。

電能質(zhì)量信號的稀疏度通常是未知的，為了使電能質(zhì)量信號達(dá)到稀疏度自適應(yīng)和重構(gòu)效果好的目的，綜合CoSaMP算法和SAMP算法的優(yōu)點(diǎn)，研究提出一種稀疏度自適應(yīng)的壓縮采樣匹配追蹤算法(Sparsity Adaptive of Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaSAMP)，引入稀疏度估計(jì)對信號的初始稀疏度進(jìn)行迭代估計(jì)，利用遞歸和殘差變化動態(tài)調(diào)整稀疏度逼近信號的真實(shí)稀疏度，通過最小二乘法重構(gòu)原始信號最優(yōu)估值。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知理論

CS理論是Donoho等在2006年引入信號處理中的一種壓縮技術(shù),在電能質(zhì)量識別中已經(jīng)被廣泛使用。文獻(xiàn)[13]對隨機(jī)降維映射稀疏表示的電能質(zhì)量擾動多分類進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)電能質(zhì)量擾動的準(zhǔn)確識別；文獻(xiàn)[14]基于壓縮感知理論提出了暫態(tài)和短時(shí)電能質(zhì)量擾動信號的壓縮采樣與重構(gòu)方法；文獻(xiàn)[15]采用一組固定正交基對電能質(zhì)量擾動信號稀疏分解，對于未知復(fù)雜信號難以在變換域上足夠稀疏，CS理論依賴于信號的稀疏性對其進(jìn)行壓縮重構(gòu)。長度為N的信號x∈R具有K稀疏表示，在N維變換基Ψ∈RN下得到α∈R(x=Ψα)，其中α有K個(gè)非零元素，(N-K)個(gè)接近于零。CS理論通過矩陣ΦM×N進(jìn)行壓縮采樣(K

y=Φx=ΦΨα=Aα,

(1)

1.2 信號稀疏表示

一個(gè)N維度信號有K個(gè)非零值時(shí)，此信號是一個(gè)K稀疏可壓縮信號，在對信號進(jìn)行變換的基稱為稀疏基，稀疏基Ψ的選擇盡可能降低稀疏度K。壓縮感知中稀疏基通常采用正交變換基或基于學(xué)習(xí)算法構(gòu)成的稀疏字典[17-18]。傅里葉變換基作為一種常用的正交基，在頻域具有方便的稀疏性和簡易性，研究中稀疏基采用離散傅里葉變換基，DFT正變換定義為：

(2)

1.3 測量矩陣

測量矩陣在CS理論中的作用是使壓縮采樣值能較好地保留原始信號的信息。高斯隨機(jī)矩陣通用性強(qiáng)，常選用高斯矩陣作為測量矩陣。不論選用哪一種稀疏基Ψ，高斯矩陣Φ都要使矩陣A=ΨΦ滿足RIP條件。由于RIP準(zhǔn)則過于復(fù)雜，文獻(xiàn)[19]計(jì)算測量矩陣Φ和稀疏基矩陣Ψ的乘積作為相關(guān)性系數(shù)，通過相關(guān)性系數(shù)大小判定測量矩陣的性能優(yōu)劣。兩個(gè)矩陣相干性表達(dá)式如下：

(3)

由于匹配追蹤類算法的測量矩陣大多采用高斯隨機(jī)矩陣，二元塊對角矩陣、高斯隨機(jī)矩陣在相同離散傅里葉變換基下的相干性對比曲線如圖2所示，其中N的維度為600。從圖2中看出，M的維度從50遞增到400，二元塊對角矩陣與離散傅里葉變換基的相干性從4降低到2，而高斯隨機(jī)矩陣與離散傅里葉變換基的相關(guān)性在4和5之間。因此，所設(shè)計(jì)的二元塊對角矩陣相比于高斯隨機(jī)矩陣具有更優(yōu)的性能。

2 重構(gòu)算法

綜合CoSaMP算法抗干擾能力強(qiáng)且重構(gòu)精度高和SAMP算法稀疏度自適應(yīng)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，利用遞歸思想提出了CoSaSAMP算法。該算法引入稀疏度估計(jì)方法提前對信號的初始稀疏度進(jìn)行迭代估計(jì)，利用遞歸算法通過殘差變化動態(tài)調(diào)整稀疏度逼近信號的真實(shí)稀疏度，通過最小二乘法重構(gòu)出原始電能質(zhì)量信號最優(yōu)估值。

ΦB=[1…1]︷m[1…1]︷m?[1…1]︷m圖1 二元塊對角矩陣圖2 相干性對比曲線

CoSaSAMP算法步驟如下：

輸入：觀測向量y，傳感矩陣Φ；

步驟2：計(jì)算u={ut|ut=|〈rt-1,φj〉|,j=1,2,…,N}，選取u中K0個(gè)最大值，映射在傳感矩陣Φ相應(yīng)列構(gòu)成索引集合Λ0。

步驟4：計(jì)算委托代理v=ΦTrk-1，選取v中2KS個(gè)最大值，將2KS個(gè)最大值在Φ中映射對應(yīng)的列序號加入索引集Ω。

步驟8：如果‖rk‖2<‖rk-1‖2,k=k+1，KS=KS+step，返回步驟4繼續(xù)迭代；如果‖rk‖2≥‖rk-1‖2或k≥L，停止迭代，K′=KS，進(jìn)入步驟9。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證提出的CoSaSAMP算法在電能質(zhì)量擾動處理中的可行性，研究以MATLAB 2014a作為信號處理平臺，進(jìn)行電壓暫降、電壓諧波、電壓閃變等多種電能質(zhì)量信號重構(gòu)處理，并對得到的結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 稀疏度估計(jì)

通過仿真驗(yàn)證CoSaSAMP算法稀疏度自適應(yīng)估計(jì)，以電壓閃變?yōu)槔?，電壓閃變信號的稀疏度設(shè)為30，通過30次試驗(yàn)，自適應(yīng)調(diào)節(jié)結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出，CoSaSAMP算法稀疏度估計(jì)曲線與ζk的選取有關(guān)，ζk設(shè)置越小，稀疏度估計(jì)越大。為了減少算法迭代次數(shù)，可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值設(shè)定為稀疏度初始值。

3.2 重構(gòu)效果

使用CoSaSAMP算法對電能質(zhì)量擾動信號進(jìn)行重構(gòu)，觀測矩陣采用二元塊對角矩陣，稀疏基采用傅里葉變換基，電壓基波頻率為50 Hz，壓縮采樣頻率為6 400 Hz，電能質(zhì)量信號長度N取2 048，觀測數(shù)M取256。正常電壓原始信號重構(gòu)曲線如圖4所示，電壓暫降和電壓諧波原始信號重構(gòu)曲線如圖5、圖6所示。從圖4、圖5、圖6中可以看出，CoSaSAMP算法可以精確重構(gòu)出電能質(zhì)量擾動信號。在稀疏基為傅里葉變換基，觀測矩陣分別是高斯隨機(jī)矩陣、二元塊對角矩陣的條件下，電壓閃變信號的重構(gòu)圖如圖7所示。通過對比得出，圖7b比圖7a的重構(gòu)誤差小、重構(gòu)精度高。由于二元塊對角矩陣與傅里葉變換矩陣的相干性小于高斯隨機(jī)矩陣與傅里葉變換矩陣，二元塊對角矩陣更容易滿足RIP準(zhǔn)則，因此觀測矩陣為二元塊對角矩陣要比高斯隨機(jī)矩陣具有更好的重構(gòu)效果。

圖7 基于高斯隨機(jī)觀測矩、二元塊對角矩陣的電壓閃變重構(gòu)信號圖

為了分析CoSaSAMP算法對電能質(zhì)量信號重構(gòu)的效果，引入能量恢復(fù)系數(shù)(ERP)、均方根誤差百分值(MSE)、重構(gòu)信噪比(SNR)重構(gòu)評價(jià)指標(biāo)。對各種電能質(zhì)量擾動信號分別進(jìn)行100次仿真重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，通過式(4)、式(5)、式(6)求平均值，得到電能質(zhì)量信號重構(gòu)性能評價(jià)指標(biāo)如表1所示，研究所提出的算法對電能質(zhì)量擾動重構(gòu)效果較好。

(1)能量恢復(fù)系數(shù)(ERP)：

(4)

(2)重構(gòu)信噪比(SNR):

(5)

(3)均方根誤差百分值(MSE)：

(6)

表1 電能質(zhì)量信號重構(gòu)性能評價(jià)指標(biāo)

3.3 重構(gòu)性能對比

在相同的傅里葉稀疏基和二元塊對角觀測矩陣的情況下，將所研究算法與SAMP算法、CoSaMP算法對電能質(zhì)量信號進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行多個(gè)方面對比分析。以電壓閃變?yōu)槔?，分別進(jìn)行100次仿真重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，在相同的仿真實(shí)驗(yàn)條件下，上述三種重構(gòu)算法的ERP、SNR、MSE以及運(yùn)行時(shí)間如表2所示。由表2中數(shù)據(jù)分析可知，在對電能質(zhì)量信號進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，研究提出的CoSaSAMP算法與SAMP算法、CoSaMP算法相比，在ERP、SNR、MSE、運(yùn)行時(shí)間方面都有不同程度的優(yōu)勢。CoSaSAMP算法在稀疏度未知的情況下，保留了CoSaMP算法重構(gòu)效率高、運(yùn)行時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)；與SAMP算法相比，減少了信號的迭代次數(shù)，降低了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了重構(gòu)精度。

表2 三種算法重構(gòu)性能對比

以電壓閃變電能質(zhì)量信號為例，在不同稀疏度和不同測量值條件下使用三種算法對原始信號精確重構(gòu)概率曲線。稀疏度K從20遞增到70，三種算法在相同條件下仿真實(shí)驗(yàn)100次，通過計(jì)算平均值得到精確重構(gòu)概率曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，CoSaSAMP算法與SAMP算法曲線相近，在相同精確重構(gòu)概率下CoSaMP算法對應(yīng)的稀疏度要大于其他兩種算法，這是因?yàn)槠渌麅煞N算法的設(shè)計(jì)思想是自適應(yīng)調(diào)整稀疏度，最終得到的稀疏度要小于真實(shí)稀疏度，而CoSaMP算法是在稀疏度已知且為真實(shí)稀疏度條件下運(yùn)行。稀疏度K固定值為30，測量值M從50變化到120，三種算法在相同條件下仿真實(shí)驗(yàn)100次，通過計(jì)算平均值得到精確重構(gòu)概率曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，在相同重構(gòu)概率下，CoSaSAMP算法的測量值M要小于其他兩種算法。因此CoSaSAMP算法相比于SAMP算法、CoSaMP算法具有較好的重構(gòu)效果。

圖8 不同稀疏度下精確重構(gòu)概率 圖9 不同測量值下精確重構(gòu)概率

4 結(jié)論

在CS理論的基礎(chǔ)上，提出了一種用于電能質(zhì)量信號壓縮重構(gòu)的CoSaSAMP算法，在稀疏度未知的情況下，通過稀疏度自適應(yīng)調(diào)整和遞歸思想實(shí)現(xiàn)電能質(zhì)量信號的精確重構(gòu)。仿真結(jié)果表明，用所提出算法重構(gòu)電能質(zhì)量信號時(shí)，信噪比SNR均高于35 dB，能量恢復(fù)系數(shù)ERP達(dá)到99.6%以上，最小均方誤差MSE在2%以內(nèi)；在相同條件下，CoSaSAMP算法的重構(gòu)信噪比、均方誤差百分比和能量恢復(fù)系數(shù)優(yōu)于CoSaMP算法和SAMP算法；在相同傅里葉變換稀疏基下，測量矩陣為二元塊對角矩陣，與高斯隨機(jī)矩陣相比，測量矩陣與稀疏基的相干性小，電能質(zhì)量信號的重構(gòu)效果更好。研究提出的CoSaSAMP算法在稀疏度未知的情況下，具有抗噪能力強(qiáng)、魯棒性能強(qiáng)、重構(gòu)效率高的優(yōu)點(diǎn)，降低了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了電能質(zhì)量信號的壓縮重構(gòu)精度。