一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其差分問(wèn)題的研究*

汪慶康

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引言

微分方程近來(lái)受到了數(shù)學(xué)和相關(guān)學(xué)科的高度關(guān)注，廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、通信工程等領(lǐng)域，然而一般分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論研究并沒(méi)有達(dá)到完全成熟的階段.在文[2]中研究了具有時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程

的Cauchy問(wèn)題及其相關(guān)性質(zhì).

與分?jǐn)?shù)階微分方程理論方面的大量工作相比，關(guān)于它數(shù)值分析的研究還是很少的，Sanz-Serna在文[3]中提出了一種時(shí)間半離散算法，并證明了一階收斂性；在文[4]中研究了方程

的差分形式及其相關(guān)性質(zhì).

本文首先研究了方程

初邊值問(wèn)題的解，通過(guò)利用變量分離法將其轉(zhuǎn)化為另一種形式的微分方程，再利用Yurii Luchko和Rudolf Gorenflo在文[1]中的定理得出原方程的解.然后在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上將微分方程差分化，研究了差分形式的唯一可解性、穩(wěn)定性和收斂性.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹相關(guān)的概念及其解決后續(xù)問(wèn)題所需的定理.

定義1[1]設(shè)α∈?，在L1[a，b]上定義α階分?jǐn)?shù)階Remann-Liouvlie積分算子，表示成

定義2[6]設(shè)α∈?+，函數(shù)f(x)定義在[a，b]上，n是大于等于α的最小整數(shù)，則α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定義3[1]函數(shù)f(x)，x>0，若存在實(shí)數(shù)p>α，α∈?，使得

且f1(x)∈C([0，+∞))，則有f(x)∈Cα.

定義4[1]函數(shù)f(x)，x>0，f(x)∈Cmα，當(dāng)且僅當(dāng)f(m)(x)∈Cα.

定義5[7]多參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)定義為

其中系數(shù)

特別地，當(dāng)n=1時(shí)

定理1[1]設(shè)μ>μ1> … >μi≥0，mi-1<μi≤mi，mi∈ ?0=? ∪ {0}，λi∈ ?，i=1，…，n.初值問(wèn)題

其中當(dāng)μ∈ ?，g∈C-1，當(dāng)μ? ?，g∈.則未知函數(shù)y(x)在中有唯一的解，其形為

其中

是問(wèn)題(2)具有零初值條件的解，且

由定義5中(1)式給出.

其中l(wèi)k，k=0，1，…，m-1由以下條件確定

如果mi≤k，i=1，…，m-1，則lk：=0；如果mi≥k+1，i=1，…，m-1，則lk：=n.

2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的求解

本節(jié)主要研究如下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題，其中0<α<1.

為了求非齊次邊界問(wèn)題(7)的解，我們令

其中w(x，t)滿足

v(x，t)具有如下表達(dá)

其中

用分離變量法求齊次方程(10)的解(f(x，t)=0時(shí))，設(shè)v(x，t)=X(x)T(t)滿足方程，我們可以得到微分方程

對(duì)應(yīng)特征函數(shù)為

假設(shè)非齊次方程的解是

為了確定Bn(t)，我們?cè)O(shè)級(jí)數(shù)(14)是可逐項(xiàng)微分的，將exp12xf(x，t)按特征函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)

則有

將(14)，(17)帶入方程(10)可得

即

同時(shí)v(x，t)滿足初始條件，我們有

于是

對(duì)于任意的n(n=1，2，…)，(19)和(21)構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問(wèn)題，由定理1可知方程的解為

其中

則(10)式的解為

于是(7)式的解是

3 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的差分形式

本節(jié)主要將方程(7)轉(zhuǎn)化為差分形式，研究其數(shù)值解的相關(guān)性質(zhì).

3.1 差分形式的建立

引理1[4,8]設(shè)u(x，t)∈C4，2([0，L]×[0，T])，則有

其中c是正常數(shù)，aj=(j+1)1-α-j1-α，j=0，…，n-1；1≤i≤M-1，1≤n≤N.

考慮初邊值條件有

引理2[9]設(shè)α∈ (0，1)，aj=(j+1)1-α-j1-α，j=0，1，2，…，則

(1-α)j-α

在(26)式中省略余項(xiàng)可得(7)式的差分形式

記 s=ταΓ(2-α).

3.2 唯一可解性

定理2 差分形式(27)是唯一可解的.

證明：記

由(27)我們知道u0已知，現(xiàn)在設(shè)前n個(gè)值u0，u1，…，un-1已唯一確定，則由(27)可得關(guān)于un的線性方程組.要證明它的唯一可解性，只需證明對(duì)應(yīng)齊次方程組

有且僅有零解.

設(shè) ‖un‖∞=||，其中in∈ {1，2，…，M-1}，將(29)改寫為

上式中令i=in，并取絕對(duì)值，再利用三角不等式得

所以‖un‖∞=0，從而un=0.

由歸納法可知定理成立.

3.3 穩(wěn)定性

定理3 設(shè){|0≤i≤M，0≤n≤N}為差分方程

的解，則有

其中

證明：將(30)改寫為

即

設(shè) ‖un‖∞=||，其中in∈ {1，2，…，M-1}，上式中令i=in，并取絕對(duì)值，在利用三角不等式得

于是

由引理2知

從而

對(duì)不等式(31)由數(shù)學(xué)歸納法得

3.4 收斂性

定理4 設(shè)|0≤i≤M，0≤n≤N}是微分方程(7)的解，{uin|0≤i≤M，0≤n≤N}是差分形式(27)的解，令

則有

‖en‖∞≤c TαΓ(1-α)(τ2-α+h2)，1≤n≤N.

證明：(26)與(27)相減得誤差方程

由定理3可知