單元教學立意下課時教學設計
——以人教版“不等式的性質”為例

□江蘇省南京市棲霞中學 章文旭

我結合自身教學實踐，嘗試在單元教學立意下，以單元為備課單元，整體構筑單元內容體系，分配課時的教學目標，并以人教版高中數學必修五不等式一節(jié)中的“不等式的性質”一課為例進行教學嘗試，以期引起同行關注，共同“求真問道”。

一、不等式章節(jié)整體設計

（一）單元內容和內容解析

1.內容。

相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎。本單元通過類比等式學習過程，構建不等式概念，探究不等式性質，掌握基本不等式，從函數觀點看二元一次不等式、一元二次不等式，并用不等式解決生活中的實際問題。

2.內容解析。

（1）內容的本質：不等式是式與式之間的一種大小關系，是實數的序關系的一般化。不等式的性質是不等式在運算中保持不變性，基本不等式是兩個實數的和a+b和積ab的不等關系。

（2）內容蘊含的數學思想和方法：不等式的性質探究中蘊含著數學研究運算中不變性的思想，基本不等式的證明中有數形結合的圖證思想，函數思想。一元二次不等式的解法又緊密聯系著二次函數和一元二次方程等知識，體現數學的整體性、數學知識之間豐富的聯系性。

（3）知識的上下位關系：本章在教材體系中的地位。

（4）本單元教學重點：掌握基本不等式并解決相應生活中的優(yōu)化問題。

（二）單元目標和目標解析

1.單元目標。

（1）了解不等式的背景，體會等式與不等式都是刻畫現實世界數量關系的數學模型，發(fā)展數學抽象素養(yǎng)。

（2）經歷不等式的性質的探究過程，掌握不等式的性質，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

（4）從實際情景中抽象出一元二次不等式，會求解一元二次不等式。

2.目標解析。

達成上述目標的標志是：

（1）學生能從實際問題中找到不等關系，并語言化、數量化不等關系。

（2）學生能從運算不變性的角度猜想并證明出不等式的性質。

（3）學生能用多種方法證明基本不等式，并靈活運用基本不等式解決生活中的最優(yōu)化問題。

（4）學生能借助二次函數圖像解出一元二次不等式的解法，熟練一元二次不等式解題程序，靈活轉化方程、不等式和函數條件：方程的根就是相應函數的零點，就是相應不等式解集的端點。

二、第2課時《不等式的性質》教學設計

問題一：上一節(jié)課我們從實際情景中抽象不等式這個概念，我們知道等式和不等式都是刻畫數量關系的數學語言。請同學們設想一下，下面我們要研究不等式哪些內容？

追問：（1）你為什么做出這樣設想呢？是基于什么而想到的？

（2）我們研究等式的基本過程是怎樣的？也就是說研究的基本套路是怎樣的？

引導語：初中時研究等式的過程：實際問題建立等式概念—等式的性質—解方程（一元一次方程、一元二次方程）—證明恒等式—解實際生活中方程問題。類比地得出不等式一章研究路徑：實際問題中建立不等式概念—不等式的性質—解不等式—證明基本不等式—用不等式解決實際生活中的問題。

意圖：以等式的基本性質和研究路徑為起點，類比得出研究不等式的基本套路，為本章研究提供“導游圖”，再明確本節(jié)課的研究內容：不等式的性質。

問題二：你能說一說等式的性質嗎？類比地，你能說一說不等式可能有怎樣的性質嗎？

追問：你能嚴格證明這條不等式的性質嗎？

預設：學生用自然語言敘述基本不等式可加性、可乘性。

意圖：通過類比熟悉的等式的性質猜想不等式的性質，然后再給予邏輯證明。

問題三：結合剛才等式和不等式的性質，你能說說討論不等式的性質的方法嗎？

預設：通過討論得到：考查運算中的不變性，規(guī)律性。

追問：我們知道除了加減乘運算，還有除法、乘方、開方運算，你能發(fā)現并證明更多不等式的性質嗎？

預設：學生發(fā)現不等式的可倒性，乘方性和開方性，并能夠借助于指數函數和冪函數的單調性證明乘方性和開方性。

設計意圖：代數學的根源在于運算，引導學生從運算的角度去思考討論等式的性質的思想方法，再類似地從運算不變性角度找到更多不等式的性質。

問題四：前面我們在不等式兩邊加、乘了相同的數，那在不等式兩邊加、乘不同的數，是否也具有保持不等號不變或改變的？

預設：學生發(fā)現并證明不等式同向可加性和同正同向可乘性。

問題五：我們通過類比獲得猜想，通過證明調整了先前猜想，得到規(guī)范的不等式性質，這樣再求不等式的解集就有了可靠的依據，試求解下面的不等式

意圖：學生學習完不等式的性質，但是對它的作用還不了解，通過解這個不等式感受不等式的性質是解不等式的理論根據。

三、教學設計的進一步闡釋

以上詳細整理了人教版必修五“不等式的性質“一節(jié)課的教學設計，從引導學生自己提出問題，到解決問題，得出數學結論，從復習舊知研究路徑類比新知研究基本套路，經歷完整的”創(chuàng)造“數學的過程，為了進一步說明教學設計的意圖，下面圍繞”單元教學“的立意進行說明。

1.單元教學需要清晰整章數學內容結構體系，分清每節(jié)課在整章中的地位，作用及其與相關概念的聯系性。

2.單元教學需要考慮學生學情，充分激發(fā)學生已有的知識基礎和研究方法。對本單元不等式而言，知識的生長點是等式的所有相關知識，不等式的概念、不等式的性質、解不等式、證明不等式，都可以類比等式猜想得出。因此課堂教學時需要讓學生充分回憶等式的學習內容，思索研究等式的基本套路，這樣不僅有利于課堂上順利生成新知，省時省力，還可以讓學生在基本套路的指導下學會主動提出問題，提出符合數學內在知識體系的、高質量的好問題，使他們成為善于發(fā)現和提出問題的人才。

四、單元教學的背景

（一）單元教學更能夠實現新課程改革提倡的從“知識立意“走向”素養(yǎng)立意“的要求

傳統的”知識教學“雖然每節(jié)課有教學內容精準，目標達成度高的優(yōu)點，但它的弊端在于知識碎片化嚴重，不能使學生站在一個較高的觀點上來看學習內容，導致學習失業(yè)狹窄，糾纏于細枝末節(jié)，只見樹木不見森林，不利于數學核心素養(yǎng)的生成。而單元教學站在了單元高度和學科高度，從知識的整體、結構和聯系入手，處理好分解與綜合、整體與局部的關系，把握知識的重點、難點和育人價值。

（二）教材的編寫適合單元教學

各種版本的教材，不論是數與代數，還是圖形與幾何、統計與概率，專家們的編寫除了要遵循《課程標準》的要求，還需要考慮數學研究的基本套路。例如對“函數”的研究，就是按照：實際背景——函數的定義、表示——圖像與性質——應用（基本初等函數）展開的。再者，對向量的研究過程是：力和位移背景——向量概念——表示——特殊向量——向量的關系。從中我們可以看出新概念研究的基本套路：實例——下定義——表示——特殊對象——特殊關系。它恰好能體現出用數學眼光觀察世界，用數學語言表達世界，用數學思維分析世界這一數學核心素養(yǎng)落實的全過程。

（三）單元教學更能培養(yǎng)學生發(fā)現和提出問題的能力

從數學內在邏輯看，有價值的問題可以從兩個方向考慮：從同一學課內再邏輯發(fā)展的必然性中產生，或從不同數學學科的聯系中產生。單元教學一方面強調不同章節(jié)之間、章節(jié)內部各組成部分之間的聯系性，也強調用一以貫之來研究數學基本套路、來處理數學知識的自然生成問題。