基于GM(1,1)改進模型在變形預(yù)測中的應(yīng)用研究

楊 靜,汪堅明,汪堯峰

(1.中國水利水電第八工程局有限公司科研設(shè)計院，湖南 長沙 410000；2.浙江廣盛環(huán)境建設(shè)集團有限公司，浙江 舟山 316000；3.舟山市海洋勘測設(shè)計院，浙江 舟山 316021)

社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，大型工業(yè)建筑、高層建筑物、大壩等大型建(構(gòu))筑物不斷涌現(xiàn)，這些建(構(gòu))筑物在施工或運營期間，受到多方面因素的影響會發(fā)生一定的變形，如果變形超過一定的規(guī)范限度或發(fā)生較大的不均勻變形會影響工程的正常使用，嚴重時會造成安全事故，對人們的生命與財產(chǎn)造成巨大威脅[1]。顯然，對建(構(gòu))筑物信息化施工與運營更加有必要，但現(xiàn)有監(jiān)測技術(shù)只能得到事前時間序列數(shù)據(jù)，屬于部分已知數(shù)據(jù)。只有分析事前信息，建立預(yù)測模型，才能有效指導(dǎo)施工與運營[2]。因此，如何建立有效預(yù)測模型是一件有價值的研究。

1 傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型

1.1 灰色理論基本原理

灰色理論(Grey Theory)是由我國著名學(xué)者鄧聚龍教授于1982年首次提出。它是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念，定義了灰導(dǎo)數(shù)、灰微分方程，進而用離散數(shù)據(jù)建立了微分方程型的動態(tài)模型[3]。其中，GM模型是一個近似的差微分方程模型，具有微分、差分、指數(shù)兼容等性質(zhì)，模型參數(shù)可調(diào)，結(jié)構(gòu)隨時間而變，一定程度上避免了在建模中要求數(shù)據(jù)多，從而擺脫難以得到“微分”性質(zhì)的局限。利用GM模型可對所研究系統(tǒng)進行全局觀察、分析及預(yù)測[4]。由預(yù)測因子的數(shù)目來確定預(yù)測模型是一階多元預(yù)測模型GM(1,N)還是一階一元預(yù)測模型GM(1,1)，通常工程應(yīng)用較多的是GM(1,1)模型[5]。

1.2 傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的建立

(1)設(shè)有n個非負原始觀測數(shù)據(jù)序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(n)]，則由X(0)序列累加(1-AGO)得到序列X(1)為：

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(2)由序列X(1)構(gòu)造背景值序列Z(1)為：Z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…，z(1)(n)]

其中,Z(1)取X(1)緊鄰均值生成序列，即z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]

(3)建立灰色GM(1,1)模型的一級白化微分方程為：

(1)

式中，a用來控制系統(tǒng)發(fā)展事態(tài)的大小，稱為發(fā)展系數(shù)；b用來反映資料變化的關(guān)系，稱為灰色作用量。

(4)根據(jù)最小二乘原理，灰色GM(1,1)模型的參數(shù)列為：

A=[a,b]T=(BTB)-1BTY

(2)

將計算求得的參數(shù)a，b帶入式(1)，并求解微分方程，取初始條件x(0)(1)，得X(1)的時間響應(yīng)函數(shù)為：

(3)

(5)對式(3)再作一階累減函數(shù)還原計算(1-IAGO)，得到原始序列X(0)的還原值為：

(4)

當(dāng)k≤n時，所得值為原始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k≥n時，所得數(shù)據(jù)為預(yù)測值。

1.3 傳統(tǒng)模型的局限性分析

在以上建模思路過程中，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)模型主要存在以下不足之處：

(1)由式(2)可知，傳統(tǒng)GM(1,1)模型的擬合與預(yù)測精度取決于常數(shù)a和b，而a和b的值又依賴于原始序列和背景值的構(gòu)造形式，因此，構(gòu)造背景值公式是決定擬合誤差的關(guān)鍵因素之一。

2 GM(1,1)改進模型

2.1 優(yōu)化原始數(shù)據(jù)

對于傳統(tǒng)GM(1,1)的預(yù)測結(jié)果受到原始數(shù)據(jù)是否滿足指數(shù)增長規(guī)律的影響，因此，當(dāng)原始數(shù)據(jù)波動較大時，需要對其平滑處理[6]。本文采用滑動平均法對原始數(shù)據(jù)x(0)(k)進行預(yù)處理，生成新的序列。

X(0)(k)=[x(0)(k-1)+2x(0)(k)+x(0)(k+1)]/4,(1

(5)

左右端點的計算式為：

X(0)(1)=[3x(0)(1)+x(0)(2)]/4

(6)

X(0)(n)=[x(0)(n-1)+3x(0)(n)]/4

(7)

2.2 優(yōu)化背景值

灰色模型預(yù)測實質(zhì)是指數(shù)預(yù)測模型，在預(yù)測過程中ea對模型的精度有較大的影響。有指數(shù)函數(shù)特性可知，當(dāng)a值較小時，預(yù)測曲線較平緩，誤差較??；當(dāng)a值較大時，指數(shù)函數(shù)增長速度較快，預(yù)測精度較差。本文根據(jù)文獻[7]的方法從新構(gòu)造背景值，其計算公式如下：

(8)

在傳統(tǒng)GM(1,1)模型采用的是一階Lagrange插值多項式代替被積函數(shù)的梯形積分公式來對背景值進行構(gòu)造。雖然計算過程很簡單，但是精度較低，如果采用Simpson積分公式進行運算[8]，計算精度將有所提高。具體優(yōu)化結(jié)果如下公式：

x(1)(k+1)]k=1,2,…,n-1

(9)

z(1)(k+1)=[5x(1)(k)+8x(1)(k+1)-x(1)(k+2)]/12

(10)

z(1)(n)=[-x(1)(n-2)+8x(1)(n-1)+5x(1)(n)]/12

(11)

其中，k=1,2,…，n-2

2.3 優(yōu)化初始值

(12)

式中，ck=-e-a(k-1)

殘差平方和為：

(13)

3 GM(1,1)模型的精度檢驗

為判斷GM(1,1)模型預(yù)測的可靠性，需要對模型的精度進行檢驗。GM(1,1)模型的精度檢驗通常是通過后驗差法。本文采用相對誤差、絕對誤差(殘差)、均方差比值C及小誤差概率P四個指標(biāo)來評價擬合預(yù)測效果。

3.1 殘差檢驗合格模型

假設(shè)GM(1,1)模型求出X(0)的預(yù)測值

e=[e(1),e(2),…,e(n)]

(14)

e表示擬合值、預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)的接近程度，因此e值越小越好。

相對誤差序列為：

(15)

相對誤差Δ表示預(yù)測殘差占原始數(shù)據(jù)的比例，因此，越小越好。

3.2 均方差比與小誤差概率合格模型

原始數(shù)列X(0)及殘差數(shù)列e的方差為：

(16)

(17)

計算后驗方差比值C和小誤差概率P，即

模型精度由C和P共同表示，C值越小則預(yù)測精度越好，P值越大說明你誤差較小的概率越大，模型精度越高。

表1 精度等級參照表

4 實例分析

本文是南方某大壩邊坡監(jiān)測點的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，來驗證GM(1,1)改進模型對大壩邊坡沉降預(yù)測的可行性。所測數(shù)據(jù)見表[10]。

監(jiān)測時間是從2013年5月1日開始，觀測周期為15 d。本文取前11期監(jiān)測數(shù)據(jù)資料進行試驗。其中，用前8期觀測數(shù)據(jù)作為原始序列建立模型，然后用9～11期數(shù)據(jù)來驗證預(yù)測結(jié)果。

表2 監(jiān)測點沉降監(jiān)測

表3 監(jiān)測點擬合預(yù)測結(jié)果檢驗表

由表3和圖1可知，改進GM(1,1)模型相對于傳統(tǒng)GM(1,1)的殘差有明顯的提高，尤其在監(jiān)測第4周期以后，殘差逐漸變小。到第8周期以后，改進模型和傳統(tǒng)模型存在一個轉(zhuǎn)折點。其中，改進模型預(yù)測值殘差在0值以上，離0值較近；而傳統(tǒng)模型預(yù)測值殘差在0值一下，且相對改進模型距離0值較遠。從監(jiān)測周期來看，傳統(tǒng)模型隨著時間序列推移殘差逐漸變大，而改進模型則殘差趨于穩(wěn)定。綜上，傳統(tǒng)模型對于短時間預(yù)測存在一定效果，但不適合長周期；而改進模型預(yù)測數(shù)據(jù)殘差均趨于穩(wěn)定狀態(tài)，適合長周期。

傳統(tǒng)模型與改進模型擬合值的相對殘差基本接近，只有若干點有所減小。但對預(yù)測值來說，改進模型相對傳統(tǒng)模型的相對殘差大幅度減小。

圖1 監(jiān)測點兩種模型的殘差曲線

將兩種模型進行精度對比分析，由表4可知，盡管兩種模型的小概率P均為1，為1級，但是改進的GM(1,1)相對傳統(tǒng)模型后驗差比更小。根據(jù)精度等級劃分，改進模型精度等級為1級，優(yōu)于傳統(tǒng)模型。

表4 兩種模型分別所在的精度等級

5 結(jié) 語

傳統(tǒng)GM(1,1)模型是帶有偏差的灰指數(shù)模型，存在著模型殘差大、精度低等問題。本文通過對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值、初始值以及原始數(shù)據(jù)進行優(yōu)化處理。最后應(yīng)用大壩邊坡沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行實例驗證，對比兩種模型預(yù)測精度，結(jié)果表明改進后的模型預(yù)測精度更高。將其方法應(yīng)用大壩變形監(jiān)測，更能滿足實際工程需要，具有一定的工程實用價值。