讓智力生長 讓智慧開花
——以“邊邊角”問題探究為例

■馬 紅

在蘇科版八年級上冊第一章“全等三角形”的教學(xué)過程中，許多學(xué)生會問，為什么沒有“邊邊角”判定法？筆者雖然舉出了反例,但仍然沒有消除學(xué)生的疑問。我要給“邊邊角”一個機會，給學(xué)生一個探究的機會。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)及判定的基礎(chǔ)上，對“邊邊角”問題做的進一步探究，旨在幫助學(xué)生更為理性地分析問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗。

一、教學(xué)目標

通過對“邊邊角”問題的研究，學(xué)生經(jīng)歷感知、猜想、驗證、歸納等環(huán)節(jié)，提高分析問題和解決問題的能力；研究特殊情況下，“邊邊角”可以證明三角形全等的依據(jù)；學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，在積極思考中形成勇于探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

二、教學(xué)重、難點

探索特殊情況下“邊邊角”可證明三角形全等。

三、教學(xué)過程

1.溫故知新，引起思考。

問題1：本章節(jié)中，我們是沿著什么樣的路徑來探究判定三角形全等的條件的？

設(shè)計意圖：判定兩個三角形全等，需要從三角形的組成元素邊、角入手，為后面進一步研究兩個三角形的邊角關(guān)系做好鋪墊。如果所給的條件不能確定三角形的形狀和大小，就不能判定三角形全等。

問題2：如圖1，已知AC=DF，添加適當?shù)臈l件使得△ABC≌△DEF。

設(shè)計意圖：設(shè)計開放性的問題，培養(yǎng)學(xué)生有序思考問題的習(xí)慣，在學(xué)生舉例的過程中，可以引出“邊邊角”不能判斷三角形全等。

2.合作探究，激活思維。

問題3：“邊邊角”為什么不能判定三角形全等呢？先畫圖說明，再與你的同桌交流。

設(shè)計意圖：學(xué)生進一步感受并理解滿足“邊邊角”條件的兩個三角形可能不全等，大部分學(xué)生會畫出圖2來說明。畫圖的過程中，學(xué)生進一步體會到，只有所給的條件能確定三角形的形狀和大小，才能夠說明兩個三角形全等。

問題4：“邊邊角”能確定一個形狀和大小唯一的三角形嗎？

問 題5：已 知 線段m 和∠α（見 圖3），畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（0°<α<90°），線段n取何值時，能且只能畫出一個△ABC？

給學(xué)生充足的思考時間，讓學(xué)生在動手操作的過程中找到解決問題的突破口。

設(shè)計意圖：所給的條件具有“邊邊角”的特點。教師可引導(dǎo)學(xué)生從確定的一邊和一角入手，分析確定△ABC 的關(guān)鍵是確定∠A 的對邊BC。如圖4，當點B 確定時，點C 需要滿足兩個條件：在射線AE 上和到點B 的距離為n。當以B為圓心、n 為半徑的圓與射線AE 的交點只有一個時，點C 確定，△ABC 也隨之確定。變中又有不變。通過控制變量，結(jié)合分類討論思想，學(xué)生動手操作，自主探索，深化理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

問題6：通過以上探究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：如圖5、圖6，當“邊邊角”條件中的“角”α（0°<α<90°）的對邊n 等于點B 到AE 的垂直距離或n≥m時，“邊邊角”能確定△ABC。

設(shè)計意圖：通過問題驅(qū)動，學(xué)生在畫圖的過程中經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證等環(huán)節(jié)，學(xué)會表達，學(xué)會歸納。

3.探尋本質(zhì)，深化理解。

問題7：通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)，當0°<α<90°時，具有上述結(jié)論。你還能提出什么問題？

學(xué)生很自然地會提出，畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（α=90°或90°<α<180°），線段n 取何值時，能且只能畫一個△ABC？

設(shè)計意圖：促進學(xué)生全面思考問題，合理、有序地開展進一步的數(shù)學(xué)探究活動，完善對“邊邊角”的探究過程。通過分析，學(xué)生畫出滿足條件的圖7和圖8，發(fā)現(xiàn)當n>m時，△ABC確定。

問題8：在什么樣的條件下，“邊邊角”能確定一個三角形呢？

設(shè)計意圖：問題指向高階認知活動。要把這個問題表達清楚，對于學(xué)生來說是有難度的。在學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動之后，留給學(xué)生充分的思考時間，給予學(xué)生思維發(fā)展的機會。教師在這個過程中需要扮演好“助產(chǎn)師”的角色，不給學(xué)生現(xiàn)成答案，而是用反問和反駁，讓學(xué)生主動尋找答案。

問題9：“邊邊角”在哪些特殊的情況下能判定兩個三角形全等？

已知兩個三角形的兩邊及一邊的對角對應(yīng)相等，當?shù)冉菫橹苯?，“邊邊角”就是“HL”，兩個三角形全等；當?shù)冉菫殁g角，兩個三角形全等；當?shù)冉菫殇J角，等角的對邊大于或等于另一邊，或等角的對邊等于另一邊與此角的正弦的積時（注：對于八年級學(xué)生，可借助圖形來說明），兩個三角形全等。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是思維活動。引發(fā)思考的對話是活動的靈魂，深度對話能引導(dǎo)學(xué)生始終在數(shù)學(xué)思考中發(fā)現(xiàn)和生成，也體現(xiàn)對學(xué)生思維主體性和主觀能動性的尊重。教師應(yīng)告訴學(xué)生盡最大努力，讓他們自己想辦法、說出來。師生對話中的“等待”是十分有必要的，因為從不等待的對話，即使問題再好，也是一種缺乏誠意的形式。我們要讓每一名學(xué)生參與到探究中，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位。

4.交流展示，成果分享。（略）

綜上，學(xué)生在探究中經(jīng)歷感知、猜想、驗證、歸納的過程，這是解決很多幾何問題的一般方法。數(shù)學(xué)的教學(xué)價值可能有很多理解，但其根本的要義，是讓學(xué)生學(xué)會理性思考，學(xué)會探究，學(xué)會創(chuàng)新，并在此過程中，讓智力生長，讓智慧開花。